Ses travaux ont porté sur la résolution de certaines équations différentielles en liaison avec la mécanique, dont celle des fluides : il travailla comme son père aux problèmes hydrauliques des villes de Venise et de Bologne.

Mais on doit principalement à Riccati la mise en place, avant Lambert, de la trigonométrie hyperbolique (Vincentii Riccati, Tomus primus opusculorum, Bologne, 1757). Nombreuses publications en mathématiques et en mécanique (cf. in fine)

La trigonométrie hyperbolique :            étude des fonctions hyperboliques , leurs réciproques

A l'instar des fonctions circulaires (qu'il nomme lignes trigonométriques et note Cc. et Sc.), Vicenzo Riccati définit les fonctions sinus et cosinus hyperboliques qu'il nota Ch. et Sh. par des considérations d'aires sous l'hyperbole équilatère x² - y² = r². Il établira de nombreuses formules (duplication, addition, ...) analogues aux fonctions trigonométriques usuelles. L'apogée de ses travaux sera la publication (1765-67), d'un vaste traité de calcul intégral Institutiones Analyticae, écrit en collaboration avec son élève Girolamo Saladini (1731-1813), mathématicien et astronome à Bologne.

Les fonctions trigonométriques classiques, dites circulaires, sin et cos, vérifient cos² x + sin² x = 1 sur le cercle unité (cercle trigonométrique) d'équation x² + y² = 1.

• Considérons le point P sur le quart de cercle ci-dessous. Si x est son abscisse, il existe un nombre a, exprimé en radians, tel que x = cos a et l'aire en vert définie par le contour mixtiligne OAP est alors tout simplement a/2.

• Remplaçons le cercle par l'hyperbole d'équation x² - y² = 1 avec x > 1 et considérons le point M(x,y) de la courbe. Posons x = ch a, cosinus hyperbolique de a.
  
  Le nombre a est ici appelé argument. On définit de même le sinus hyperbolique par l'ordonnée de M. On aura donc la formule fondamentale ch² a - sh² a = 1. Mais qu'est-ce que l'argument a ? ce nombre est défini de sorte que l'aire du contour mixtiligne OAM soit encore a/2 :

Une intégration par parties permet de vérifier facilement que l'aire sous l'hyperbole est mesurée par :

Par suite, l'aire du contour mixtiligne OAM sera, par différence :

Dans le cas circulaire, a est le double de l'aire du contour mixtiligne OAP; en décidant de même dans le cas hyperbolique, nous avons donc :

On retrouve ainsi l'expression de la fonction réciproque Arg ch x (Argument ch x) de la fonction cosinus hyperbolique restreinte à x >1 : domaine où xch x est strictement croissant.

Constatant que :

,

on déduit de l'expression de a ci-dessus :

et, par addition : 2x = e^a + e^-a, mais x = ch a, d'où l'expression fonctionnelle du cosinus hyperbolique :

On établirait facilement :

La tangente hyperbolique correspond au segment de tangente au sommet de l'hyperbole et l'on a :

Courbes des sinus et cosinus hyperboliques :           Courbes des tangente et cotangente hyperboliques :              

Dérivation et comparaison aux fonctions circulaires

Formules Ch nj, Sh nj, Cos nj, Sin nj  -  le texte surligné exprime une mise entre ()

En haut de cette page extraite du Quibus utilitas calculi suinuum et cosinuum in infinitesimorum analysi demonstratur, avec r = 1, on retrouve la formule de Moivre.

Les autres formules expriment par exemple :

• 2Ch nj = (Chj + Shj)ⁿ + (Chj - Shj)ⁿ
  formule obtenue immédiatement si l'on utilise la notation exponentielle car on a e^j = Ch j + Sh j.

• 2Cos nj = (Cosj + iSinj)ⁿ + (Cosj - iSinj)ⁿ

  Une autre approche de sh et ch... :

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 Pour en savoir plus :

• Oeuvres (numérisées) de Vincenzo Riccati (université de Bologne) : http://serials.cib.unibo.it/cgi-ser/start

• http://www.syllogismos.it/libristorici/riccativincenzo.htm : une belle page (en italien, anglais et latin !) pour la résolution de l'équation différentielle a³y' =  ax² + by².

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Euler  Castillon

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