ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Calcul de ζ(4)           calcul de ζ(2)

Si l'on applique l'égalité de Parseval à la fonction f définie comme étant 2π-périodique et égale à | x | sur l'intervalle [-π,+π],

on obtient :

 

C'est la valeur de ζ(4). Pour démontrer ce résultat, on développe f en série de Fourier : les bn sont nuls, ao = π et :

Voir le calcul de ζ(2) :

Sur [o,π], f(x) = x et par symétrie, on voit que :

L'application de l'égalité de Parseval fournit :

Or , on peut écrire, en distinguant les termes de rang pair et impair :

,  soit : 

Ce qui conduit au résultat annoncé vu que 1 - 1/16 = 15/16.


 

 Pour info :

Les nombres ζ(2n) sont liés aux nombres de Bernoulli Bn par la formule :

ζ(2n) = 1 + 1/22n + 1/32n + 1/42n + ... = 22n-1 × π2n × Bn/(2n)!


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