ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
  Calcul de
ζ(4) »
calcul de
ζ(2) |
Si l'on applique l'égalité de Parseval à la fonction f définie comme étant 2π-périodique et égale à | x | sur l'intervalle [-π,+π],
on obtient :
C'est la valeur de ζ(4). Pour démontrer ce résultat, on développe f en série de Fourier : les bn sont nuls, ao = π et :
Voir le calcul de ζ(2) : »
Sur [o,π], f(x) = x et par symétrie, on voit que :
L'application de l'égalité de
Parseval
fournit :
Or , on peut écrire, en distinguant les termes de rang pair et impair :
, soit :
Ce qui conduit au résultat annoncé vu que 1 - 1/16 = 15/16.
i Pour info :
Les nombres ζ(2n) sont liés aux nombres de Bernoulli Bn par la formule :