ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Calcul de ζ(4)           calcul de ζ(2)

Si l'on applique l'égalité de Parseval à la fonction f définie comme étant 2p-périodique et égale à | x | sur l'intervalle [-π,+π],

on obtient :

C'est la valeur de ζ(4). Pour démontrer ce résultat, on développe f en série de Fourier : les b_n sont nuls, a_o = π et :

Voir le calcul de z(2) :

Sur [o,π], f(x) = x et par symétrie, on voit que :

L'application de l'égalité de Parseval fournit :

Or , on peut écrire, en distinguant les termes de rang pair et impair :

,  soit : 

Ce qui conduit au résultat annoncé vu que 1 - 1/16 = 15/16.

 Pour info : :

• 1 - 1/2⁴ + 1/3⁴ - 1/4⁴ + ... + (-1)^n-1/n⁴ + ... = 7π⁴/720
• 1 - 1/2^p + 1/3^p - 1/4^p + ... + (-1)^n-1/n^p + ... = (1 - 1/2^p-1)ζ(p)
• 1 + 1/3^p + 1/5^p + 1/7^p + ... + 1/(2n+1)^p + ... = (1 - 1/2^p)ζ(p)
• ζ(3) : Apery
• ζ(6) = 1 + 1/2⁶ + 1/3⁶ + 1/4⁶ + ... = π⁶/945
• ζ(8) = 1 + 1/2⁸ + 1/3⁸ + 1/4⁸ + ... = π⁸/9450

Ces nombres sont liés aux nombres de Bernoulli B_n par la formule :