ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

RAMANUJAN Srinivasa Aaiyangar, indien, 1887-1920        Inde

Passionné dès le plus jeune âge par les mathématiques, Srinivasa Ramanujan commence une carrière de greffier (préposé aux archives des tribunaux) tout en s'adonnant seul à sa matière de prédilection au détriment d'études universitaires conventionnelles.

Il découvre (ou retrouve), principalement en arithmétique et en analyse numérique où il s'avère un prodigieux calculateur, des résultats remarquables (développements en série, fractions continues) dont les démonstrations, lorsqu'il les donne, font preuve d'une géniale intuition, même si elles ne sont pas toujours correctes. Son approche en arithmétique rappelle celle du non moins génial Pierre de Fermat.

L'Inde est alors aux mains des Anglais (depuis le milieu du 18è siècle, elle obtient son indépendance en 1947). Ramanujan se tourne vers l'Angleterre pour faire connaître ses travaux : il écrit à Hardy, lequel l'invite à Cambridge, en Angleterre (1914), où ils collaboreront en théorie des nombres. Littlewood et Hardy lui accorderont l'équivalent d'un doctorat (1916) suite à ses recherches sur la décomposition en facteurs premiers des grands nombres (sujet important aujourd'hui pour le cryptage des données). Leurs résultats, Collected Papers, ne seront publiés qu'en 1927 mais les travaux de Ramanujan furent reconnus auparavant par la Royal Society : il y fut élu en 1918.

Conjecture de Ramanujan (1911) :

L'égalité x2 + 7 = 2n , xN, nN, n'est possible que pour n = 3, 4, 5, 7 ou 15

Cette conjecture ne fut prouvée que relativement récemment (en 1960) par le mathématicien norvégien Nagell Trygve, en travaillant dans l’extension de corps Q(-7).

Hilbert et corps de nombres algébriques :

  Nagell Trygve : mathématicien norvégien, spécialiste en théorie des nombres algébriques, professeur à l'université d'Oslo, sa ville natale, puis à Upsal (Uppsala, Suède) de 1931 à 1962.

Nombre (ou constante) de Ramanujan :

Il s'agit du célèbre (dans le monde mathématique...) nombre, exponentielle de π√163, rencontré par Ramanujan dans des calculs relatifs à des approximations du nombre π, (Modular Equations and Approximations to π, 1912).

Ce nombre, que l'on rencontre dans l'étude de certaines fonctions, fut prétendu entier d'autant que le regretté Martin Gardner, mathématicien et malicieux, s'était ingénié à le faire croire en 1975 :

En fait, ce nombre est transcendant et on sait, grâce aux progrès des calculateurs électroniques, qu'on a sensiblement :

Une colle de Ramanujan :

   Vous avez n cubes identiques. De combien façons peut-on les grouper ?

si n = 3, on a 3 possibilités :

si n = 4, on a 5 possibilités :

si n = 5, on a ? possibilités :

  ?     ?     Réponse

Le cas général est très compliqué; Rademacher en donna la solution : la formule est  abominable... Ramanujan en trouva indépendamment une approximation relativement simple : si on appelle g(n) le nombre des groupements de n cubes, on a :

       (source : J. conway, Le livre des nombres)

Autres curiosités :

Cette formule frôle donc π à près de 10-9 près...

Calculs de π dans ChronoMath (programmes JavaScript "on line") :

Élèves de Terminale :  sans chercher à prouver cette jolie formule..., contrôlez votre aptitude à vous servir de la calculatrice. Vous devriez trouver, en vous limitant au développement indiqué, et en limitant le dernier terme affiché, 1 + e-6π/(1 + ...) à 1 + e-6π, que les deux membres sont égaux à 0,2840790438 (à 10-11 près). La convergence est rapide : on peut le vérifier grâce à l'inégalité de Legendre,

Longueur de l'ellipse selon Ramanujan :


Radon   Skolem
© Serge Mehl - www.chronomath.com

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Solution :

       

 
 


© Serge Mehl - www.chronomath.com