ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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FONTAINE des BERTINS Alexis, français, 1705-1771

Originaire de Claveyson, près de Valence (Drôme), Alexis Fontaine voué à des études de droit par la volonté de son père, rencontre à Paris le père jésuite Louis Bertrand Castel, un physicien mondain qui va orienter le jeune homme vers les sciences en l'introduisant dans la société savante parisienne où il se lie à Clairaut et Moreau de Maupertuis.

Fontaine se fit remarquer par ses premiers essais sur le calcul intégral et les équations différentielles en apportant des méthodes de résolution innovantes relatives aux problèmes de maximis et minimis issus de la physique et relevant du calcul des variations. Grâce à ses appuis, il entre comme adjoint à l'Académie des sciences en 1733 (il n'a que 28 ans). En 1737,  il présente son mémoire Sur les courbes tautochrones ( Jakob Bernoulli & réf. 2), difficile sujet sur lequel travaillait Jean Bernoulli, en y apportant une élégante solution. Il apporte également des résultats intéressants sur les enveloppes de courbes et les trajectoires orthogonales d'une famille de courbes.

Fontaine obtiendra son fauteuil à l'Académie royale en 1739 suite à son mémoire sur les équations différentielles à une ou plusieurs variables (équations aux dérivées partielles) où il tenta d'exhiber des algorithmes généraux de résolution quel que soit l'ordre. L'introduction de la notion d'équation différentielle homogène, et de son usage dans le cas de plusieurs variables pour en réduire le nombre, lui est attribuée indépendamment des travaux de Clairaut et d'Euler sur le sujet.

Résolution d'une équation différentielle homogène :

Peu communicant, souvent ignorant des travaux de ses contemporains, Fontaine fut critiqué pour ses démêlés avec les mathématiciens de son époque, et non des moindres, comme les Bernoulli, Lagrange, Euler et d'Alembert, en s'attribuant la paternité de certains de leurs résultats ou sujets d'étude, comme, en dynamique, le principe de d'Alembert :

Il est vrai que ses mémoires, qu'il transmettait à l'Académie des sciences, ne furent publiés qu'en 1764, un an avant son retrait sur ses terres de Bourgogne (à Cuiseaux, Saône-et-Loire). Raison pour laquelle il ajouta systématiquement dans l'édition tardive de ses travaux une note précisant la date à laquelle tel concept ou résultat avait été mis en place ( réf. 2) :

Ci-dessus, à droite, Fontaine écrit la différentielle totale de la fonction µ de plusieurs variables. Il demande de bien distinguer la différentielle de µ divisée par dx et dµ/dx en tant que coefficient de dx dans la différentielle (totale) de µ. C'est là toute l'ambigüité de la notation dµ/dx plutôt que la notation normalisée ∂µ/∂x due à Legendre : une étourderie conduirait, pour trois variables x, y, z,  à dµ = 3dµ...

Différentielle d'une fonction de plusieurs variables, différentielle totale :

Quoi qu'il en fut, après les premières résolutions, grâce au calcul des variations, de difficiles problèmes posés par les physiciens, les années 1730 sont une période très fertile de l'analyse mathématique au sein de laquelle le jeune mathématicien français a apporté une contribution non négligeable face à la prédominance de ses puissants contemporains suisses : Euler, la dynastie des Bernoulli, Cramer.

Un théorème de Fontaine (théorème 1 du calcul intégral, Première méthode) :   

Soit F une fonction différentiable de n variables x, y, z, ... Sa différentielle totale est de la forme dF = Adx + Bdy + Cdz + ... où A, B, C, ... sont des fonctions de x, y, z, ... Dans ces conditions, Ax + By + Cz + ...  = nF  (preuve en réf. 2.c)


 Pour en savoir plus :

  1. Biographie d'Alexis Fontaine par Nicolas de Condorcet (Histoire de l'académie royale des sciences), sur Google livres  :
    https://books.google.fr/books?id=GZ4SAAAAYAAJ&pg=PA194&dq=alexis+fontaine+mathématicien
  2. Traité de calcul différentiel et intégral par M. Fontaine de l'Académie Royale des Sciences (1770)  sur archive.org :
    https://archive.org/stream/traitdecalculdi00fontgoog#page/n10/mode/2up
    2.b  Sur les courbes tautochrones : https://archive.org/stream/traitdecalculdi00fontgoog#page/n30/mode/2up
    2.c  Le calcul intégral, Première méthode : https://archive.org/stream/traitdecalculdi00fontgoog#page/n44/mode/2up
  3. Étude du traité de dynamique de d'Alembert, dont le célèbre principe sur CultureMath :
    http://culturemath.ens.fr/histoire des maths/htm/dalembert/articles/article2/traite-dynamique.html#principe


Cramer   Buffon
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