ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

L'arithmétique de Gauss      Congruences | Théorème chinois | Distribution des nombres premiers
      Résidu  & loi de réciprocité quadratique | Anneau Z/nZ  
  Tout au long de cette page, voir aussi exos LYC, SUP

Une des contributions majeures de Gauss en mathématiques sera dans ses Recherches arithmétiques (Disquisitiones arithmeticae, 1801, disponibles en français sur Gallica (traduction de A.-C.-M. Poullet-Delisle,1807) où il crée une théorie arithmétique nouvelle avec le concept de congruence en énonçant des résultats et théorèmes fondamentaux.

Il faut cependant noter que le concept implicite de congruence apparaît déjà en Grèce avec Diophante d'Alexandrie et en Inde avec Brahamagupta. On le retrouvera aussi dans la mathématique chinoise du 13è siècle avec Qin Jiushao (1202-1261) qui écrivit un Traité de Mathématiques en Neuf Chapitres, à l'instar de celui du même nom au 1er siècle après J.-C.

L'intervention des structures algébriques, avec l'anneau Z/nZ des entiers modulo n et l'étude des corps de nombres algébriques permettent de parler de théorie algébrique des nombres.

L'introduction de l'analyse en théorie des nombres, principalement dans l'étude de la distribution des nombres premiers, sera encore le fait de Gauss mais aussi de Euler qui, avant lui, "découvrit" les célèbres fonctions zeta : on parle là de théorie analytique des nombres. Une théorie qui nous entraîne au cœur des mathématiques les plus difficiles avec l'hypothèse de Riemann, loin de l'arithmétique classique des entiers naturels de Pythagore, Euclide ou Nicomaque.

Une autre branche de l'arithmétique est la théorie additive des nombres, étudiant la décomposition d'un entier en somme d'entiers pairs, impairs, premiers ou de puissances de tels nombres. Elle naît avec Pythagore et son célèbre théorème; on la rencontre au cours des siècles avec Diophante, Goldbach, Waring et Lagrange par exemple et jusqu'à nos jours où elle se mêle à la théorie analytique comme le montre la preuve du grand théorème de Fermat ou encore la conjecture de , l'étude des nombres premiers jumeaux et plus généralement des nombres premiers en progression arithmétique.

La théorie des congruences :

Si a, b et p désignent des entiers relatifs on écrit a ≡ b  [p] pour signifier que a - b est un multiple de p.

On dit que a est congru à b modulo p. L'entier p est le module de la congruence. On doit à Gauss, dans cet ouvrage, ce signe des congruences arithmétiques.

Les écritures  a ≡ b  (p) ou a ≡ b  (mod. p) se rencontrent également. On vérifiera facilement cette première proposition :

a ≡ b  [p] si et seulement si a et b ont même reste dans la division euclidienne par p.

La relation est une relation d'équivalence. L'ensemble des classes d'équivalence constitue l'anneau des classes résiduelles modulo p.

  Un résultat trivial mais fondamental :     

Dans le cas où a et b sont éléments de N, b étant non nul, soit r le reste de la division euclidienne de l'entier a par l'entier b : on a l'égalité a = bq + r où q est le quotient et r le reste de la division avec 0 r < b. Dans ces conditions : a ≡ r  [b]. La réciproque de ce résultat est valide à condition de bien imposer la condition 0 r < b. On dira que r est le résidu de a modulo b.

On montrera sans difficulté (sinon cliquez sur l'ampoule... ) que :

  1. si a b [p] , alors pour tout n : a x n b x n  [p]  
      réciproque est fausse : par exemple, 4 x 5 ≡ 4 x 8  [6] mais non pas 5 ≡ 8  [6].

  2. si a b [p] et c d [p], alors : i/ a + c b + d [p]   ii/ a - c b - d [p]   iii/ a x c b x d [p]

  3. si a b [p] et si a, b et p sont divisibles par d, alors : a / d b / d  [p / d]

  4. si a b [p] et si a et b sont divisibles par d et pgcd(d,p) = 1 , alors : a / d b / d  [p]       ( lemme de Gauss)

  5. si a b [p] , alors an b[p]    
     Mais réciproque fausse : 26 ≡ 56  [7] mais on n'a pas 2 ≡ 5  [7] ou encore : 93 ≡ 43  [7] mais non pas 9 ≡ 4  [7].

L'arithmétique des congruences, on parle depuis peu d'arithmétique modulaire est un outil puissant dans la résolution des équations en nombres entiers et, plus généralement, en théorie des nombres, comme par exemple, dans l'étude de la distribution des nombres premiers et les progressions arithmétiques de tels nombres.

Calculs de congruences (JavaScript) :          Calcul d'une clé INSEE (NIS) :         Calcul d'une clé RIB :

Petits exos avec indications ou solution :

  1. Montrer que le carré de tout entier naturel non multiple de 5 est congru à  ± 1 modulo 5. Rép : très simple...

  2. La preuve par 9 des écoliers :   Adam Riese

  3. Déterminer les entiers x tels que x2 + x + 4 soient divisibles par 3 et par 5.
    Rép :
    cela revient à résoudre le système x2 + x + 1 ≡ 0 [3] ,  x2 + x - 1 ≡ 0 [5]; on cherche d'abord les x vérifiant la 1ère condition : x = 3k + 1; on cherche ensuite les valeurs possibles de k : k = 5u + 2; d'où x = 3(5u + 2) + 1 = 15u + 7, u entier quelconque. On peut aussi faire usage du théorème chinois ci-après si l'on «s'aperçoit» que 7 est solution et que le système équivaut à  x2 + x + 4 ≡ 0 [3]  ,  x2 + x + 4 ≡ 0 [5].

  4. Bac C &974 : Déterminer les entiers naturels n tels que 52n + 5n soit divisible par 13. Rép : clic...

  5. Bac 2006, Ter SpéMath : déterminer les solutions du système nZ, n ≡ 13 [19] , n ≡ 6 [12]. Rép : clic...

  6. Étudier des variantes de l'exercice 5 comme : a) nZ, n ≡ 5 [9] , n ≡ 6 [12]      b) nZ, n ≡ 5 [9] , n ≡ 8 [12]. Rép : a) impossible.   b) n = 36k - 4

  7. Critère de Lucas-Lehmer et devoir niveau licence.

  8. a) Quels sont les entiers relatifs qui, divisés par 5 et par 3 donnent respectivement les restes 1 et 2 ? Rép : clic...
    b) Quels sont les entiers n tels que 4n2 + 1 soit multiple de 5 ?
    Rép : clic...

Critères de divisibilité :          Classes résiduelles modulo n :           Bézout


1. Polynômes P fournissant des images P(x) qui sont des nombres premiers pour des valeurs consécutives de x.
2. Des exercices niveau Sup : réf.7, univ. Rennes/Paris 7

  Rappelons ici que parler de nombres a et b premiers entre eux signifient que leur seul diviseur commun est 1, autrement dit leur plus grand diviseur commun est réduit à 1 :  pgcd(a,b) = 1, ce qu'on écrit parfois a b = 1.

  Un théorème fondamental dit théorème (ou lemme) de Gauss :    

Si l'entier d divise un produit ab d'entiers et si a et d sont premiers entre eux, alors d divise b

Avec la notation a | b pour signifier « a divise b » :

Si d | ab  et pgcd(a,d) = 1, alors d | b

Preuve : si a et d sont premiers entre eux, il existe des entiers u et v tels que au + dv = 1 (théorème de Bézout). Multiplions par b les deux membres de l'égalité : aub + dvb = b. Puisque d divise le produit aub (puisqu'il divise ab) et d divise évidemment dvb, alors d divise b.

  Corollaire fondamental, dit parfois lemme d'Euclide :    

Si p est premier et divise le produit ab, alors d divise a ou d divise b 
     
(le ou n'étant pas exclusif)

Preuve : si p ne divise pas a, p étant premier, a et p sont premiers entre eux. Et on applique le théorème de Gauss.

  Remarque 1 :   

On vient d'utiliser un résultat très utile dans la pratique :

Si p est premier, alors pour tout n de N,  pgcd(n,p) = 1  ssi  p ne divise pas n

Remarque 2 : 

Et le lecteur prouvera encore facilement en conséquence du théorème de Gauss que :

a) Si pgcd(d1,d2) = 1, alors si d1 et d2 divisent n, leur produit d1d2 divise n
b)
Si pgcd(d1,d2) = d, alors si d1 et d2 divisent n, leur produit ppmc(d1,d2) = d1d2/d divise n

En termes plus littéraires :  

Si un entier n est divisible par d1 et d premiers entre eux, alors n est divisible par leur produit.
Lorsque d
1 et d2
ne sont pas premiers entre eux, n est divisible par leur PPMC
(qui n'est autre que leur produit divisé par leur PGCD)

 PPMC et PGCD :


a) Etablir (ou admettre car c'est très évident...) que si p et q sont premiers entre eux, il en est de même de p et q3
b) Prouver que si a/b, non entier et irréductible, est solution de l'équation (e) :  3x3 - 2x2 + 6x - 4 = 0 alors a divise 4 et b divise3.
En déduire que la seule solution rationnelle de (e) est 2/3.

  Application à la recherche d'un zéro rationnel d'un polynôme à coefficients entiers :   

Considérons le polynôme :

P(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + ... + a2x2 + a1x + ao

dont les coefficients sont tous entiers. Si x = p/q est un zéro rationnel non entier sous sa forme irréductible, en remplaçant dans P(x), on se ramène à :

p(anpn-1 + an-1pn-2q + an-2pn-3q2 + ... + a2pqn-2 + a1qn-1) = - aoqn

p divise donc aoqn. En application du théorème de Gauss, p étant premier avec q, p divise ao. De la même façon, q divise an. Si ao et an sont relativement petits dans Z, on pourra déterminer une solution rationnelle éventuelle par épuisement des cas. 

  Le théorème chinois (ou des restes chinois) :       Chine

a) Soit n1 et n2 deux entiers naturels et x un entier relatif vérifiant le double système de congruences x ≡ r1  [n1] et x ≡ r2  [n2].
Alors :

  1. si n1 et n2 sont premiers entre eux, le système est résoluble et la la solution générale est tout x ≡ xo [n1n2] où xo est une solution particulière obtenue au moyen de l'identité de Bézout : n1u + n2v = 1 et xo = n1r2u + n2r1v.

  2. si pgcd (n1 , n2) = d > 1, le système est résoluble sous la condition r1 ≡ r2  [d] (c'est à dire r1 - r2 divisible par d) ; la solution générale est x ≡ xo [ppmc(n1,n2)] où xo = n1u +  r1 = r2 - n2v est une solution particulière obtenue au moyen de l'identité de Bézout : n1u + n2v = r2 - r1.

Preuve :   

1. Lorsque n1 et n2 sont premiers entre eux, il existe, selon un célèbre théorème de Bézout, un couple (u,v) d'entiers relatifs tels que n1u + n2v = 1. On vérifie facilement que xo = n1ur2 + n2vr1 est une solution particulière. Soit alors x une autre solution : on a x - xo 0 [n1] donc n1 divise x - xo, et il en est de même pour n2. Or n1 et n2 sont premiers entre eux, donc selon la remarque 2 ci-dessus, n1n2 divise x - xo. Ainsi x xo  [n1n2]. Inversement si n1n2 divise x - xo, alors ce dernier l'est par  n1 et par n2 selon la même remarque 2.
2. Lorsque pgcd(n1 , n2) = d > 1, en écrivant x = n1q1 + r1 et x = n2q2 + r2, le système conduit à l'équation en nombres entiers n1q1 - n2q2 = r2 - r1. L'entier d doit donc diviser r2 - r1, soit r1 ≡ r2  [d]. On procède alors comme dans le cas 1 en recherchant cette fois u et v tels que n1u + n2v = r2 - r1. Ceci étant fait, on voit que n1u +  r1 = r2 - n2v : le premier membre vérifie x ≡ r1  [n1] et le second x ≡ r2  [n2]. Nous avons donc une solution particulière. Comme précédemment, si x est une autre solution n1 et n2 doivent diviser x - xo. Or n1 et n2 ne sont pas premiers entre eux, donc  n1 et n2 sont divisibles par n1n2 /d, c'est à dire par leur pgcd. Ainsi x
xo  [ppmc(n1,n2)]. Inversement tout entier de cette forme est manifestement solution.

Par exemple :   

Résidu quadratique, Loi de réciprocité quadratique de Gauss-Legendre :

On dit que r est un résidu quadratique modulo n lorsqu'il est congru à un carré modulo n. autrement dit :

Il existe un entier x tel que x2 ≡ r [n] : r est un carré dans Z/nZ

Groupe des classes résiduelle modulo n :

Cette congruence est dite du second degré. Legendre et Gauss furent les premiers à étudier ce type de congruence dont la forme générale est de deux types : ax2 + bx + c ≡ 0 [n] (trinôme du second degré en x) et ax2 + bxy + cy2 ≡ 0 [n] (forme homogène du second degré, appelée forme quadratique que l'on retrouve en algèbre bilinéaire et calcul matriciel. Dans le premier cas, a est non nul dans  Z/nZ (non divisible par n), sinon la congruence est du 1er degré. Dans le second cas, a et c ne sont pas tous deux nuls.

Résoudre une congruence du second degré est simple tant que le module n est "petit". Il suffit d'écrire le tableau des carrés des résidus possibles modulo n. Mais cela procède du tâtonnement. Les mathématiciens se devaient établir des méthodes plus rationnelles.

Étude de la congruence ax2 + bx + c ≡ 0 [n], pour n premier , n ≥ 3    

Le cas n = 2 ne soulève aucune difficulté : a, b et c étant donnés, il s'agit de connaître les valeurs paires du trinôme ax2 + bx + c. Dans Z/2Z qui est un anneau intègre, même un corps, réduit à 2 éléments : 0, classes des nombres pairs et 1 classes des impairs, on résoudra aisément la congruence :

En supposant désormais n ≥ 3, donc n impair, on peut multiplier la congruence par 4a, nombre pair, sans changer le nombre de solutions car n est alors premier avec 4a ( théorème de Gauss). En développant, on peut écrire la congruence sous la forme :

(2ax + b)2 = b2 - 4ac

Posons Δ = b2 - 4ac. On est ramené à étudier Δ en tant que résidu quadratique modulo n. Et on peut limiter les valeurs des résidus r entre 0 et n - 1 en recherchant parmi ces valeurs lesquelles sont des carrés.

i/ Le cas Δ = 0 est trivial car n étant premier, l'équation X2 = 0 [n] équivaut à X = 0 [n]. Dans le cas présent, cela nous ramène à une congruence élémentaire du 1er degré.

ii/ Supposons Δ 0 : (n - r)2 = n2 - 2nr + r2 = r2 [n] : c'est dire que les résidus de rang r et n - r ont même carré. Ce qui limite les résidus quadratiques non nuls à (n - 1)/2. Les autres résidus ne sont pas des résidus quadratiques et, dans ce contexte, sont qualifiés de non-résidus (quadratiques).

Résidu 1 2 ... r ... (n-1)/2 ...   n - r ...   n - 1
Carré 1     r2         r2     1
cas n=13 1 4 9 3 12 10 10 12 3 9 4 1


Montrer que le produit de deux résidus (quadratiques) ainsi que celui de deux non-résidus est un résidu
et que le produit d'un résidu par un non résidu est un non résidu.

Ce petit exercice rappelle la règle des signes. Raison pour laquelle Legendre a utilisé une notation pratique dans ses calculs :

Notation de Legendre :    

Remarque :   

On sait que si a ≡ b [n] et  c ≡ d [n], alors  ac ≡ bd [n], donc si x2 ≡ r [n] et  x'2 ≡ r' [n] alors (xx')2 ≡ rr' [n].

Autrement dit :

Loi de réciprocité quadratique :     

Afin de déterminer si un nombre premier est résidu quadratique ou non, Legendre énonça un très beau résultat (1830) mais en donna une preuve erronée. Démontrée élégamment par Gauss, elle est d'une grande importance en théorie additive des nombres. Avec la notation de Legendre, elle peut ainsi s'énoncer :

p et q désignant des entiers impairs premiers, dont l'un (au moins) est de la forme 4n + 1, on a (p/q) = (q/p).
Si p et q sont de la forme
4n + 3, alors (p/q) = -(q/p).

Application pratique ( Borel, réf.5.a, p.52) :

On désire résoudre x2 ≡ 7  [97]. Cette équation se ramène à la question 7 est-il résidu quadratique de 97 ? On remarque 97 = 244 + 1, est de la forme 4n + 1. Selon le résultat précédent, on a  (7/97) = (97/7). Or, 97 = 137 + 6. 97 ≡ 6  [7]. Par conséquent (7/97) = (6/7). Mais seuls 1, 2 et 4 sont résidus quadratiques modulo 7.

Cas particuliers :   

Les cas d'un résidu quadratiques égal à -1 et ± 2 sont particuliers :

 L'entier -1 est résidu quadratique modulo p premier lorsque p est de la forme 4k + 1

L'entier 2 est résidu quadratique modulo p premier lorsque p est de la forme 8k ± 1
(résultat connu depuis Fermat, Borel, réf.5.a, p. 73)

L'entier -2 est résidu quadratique modulo p premier lorsque p est de la forme 8k + 1 ou 8k + 3

Grâce à sa théorie des congruences et aux propriétés des résidus quadratiques, Gauss obtient en particulier ces trois jolis résultats :

1 - Tout nombre premier de la forme 4n + 1 se décompose de façon unique en somme de deux carrés
(résultat connu depuis Euler, 1754, Borel, réf.5.a)

     Entiers de Gauss :              Goldbach , Lagrange

2 - Tout nombre premier de la forme 4n + 3 peut se décomposer en somme de quatre carrés pouvant se réduire à trois,
cette décomposition n'étant pas toujours unique
( Borel, réf.5.a)

Par exemple (Borel, réf.5.a) : 31 = 47 + 3 = 52 + 22 + 12 + 12 = 32 + 32 + 32 + 22 , 43 = 410 + 3 = 52 + 32 + 32 = 42 + 32 + 32 + 32

Programmation du théorème des 3 carrés :                 Waring , Lagrange

4 - Tout nombre parfait pair se termine par 6 ou 8.

Plus difficile est le résultat suivant, prouvé par Gauss avait été vainement étudié par Legendre qui l'avait conjecturé :

5 - Tout nombre entier qui n'est pas de la forme 4n(8m + 7) est somme de trois carrés.

Pour un développement plus complet de cet important chapitre d'arithmétique modulaire, on consultera en particulier les réf.4-5-6, in fine.  

La distribution des nombres premiers, le théorème des nombres premiers, le logarithme intégral :

On sait depuis Euclide que l'ensemble des nombres premiers est infini et les mathématiciens se demandaient depuis quelle était leur répartition dans l'ensemble des entiers naturels pour n "grand", nN. On parle de distribution asymptotique des nombres premiers.

Des calculs "à la main" montrent leur raréfaction : si π(n) désigne le nombre de nombres premiers inférieurs à l'entier naturel, une conjecture d'Euler, dite aujourd'hui conjecture d'Euler-Gauss également appelée Gauss-Legendre, fut validée par Gauss en 1792 et par Legendre en 1798. Elle peut ainsi s'énoncer (le signe ~ signifiant une équivalence pour n "grand") :

π(n) désignant le nombre de nombres premiers inférieurs à n, on a π(n) ~ n/ln n
ln désignant le logarithme népérien
.

En d'autres termes, (εn) désignant une suite numérique de limite nulle, on a π(n) =  (1 + εn)n/ln n. Ou encore, comme l'avait prédit Tchebychev en 1848 :

En recherchant manuellement le nombre de nombres premiers par tranches de 1000 entiers consécutifs, Gauss, alors âgé de 72 ans (1849), estime leur densité à 1/ln(n) et en introduisant la fonction logarithme intégrale notée li :

il montre que l'on peut écrire, (O désigne la notation de Landau, certes anachronique ici) : 

10 ans plus tard, en 1859, Riemann affine l'expression de π(n) au moyen des nombres de Möbius µ(n) :

    ( réf.12)

La conjecture d'Euler-Gauss eut par la suite des formulations beaucoup plus subtiles et précises, comme :

          ( réf.13)          fonction zêta

et constitue ce que l'on appelle généralement aujourd'hui le théorème des nombres premiers car elle fut prouvée en 1852 par Tchebychev et en 1896 par Hadamard et La Vallée-Poussin.

Nombreux sont les mathématiciens, comme ceux désignés ci-dessous, qui apportèrent leur contribution à une nouvelle preuve où à un affinement de ce théorème :

  Tchebychev , Dirichlet , Hardy , Littlewood , Ramanujan , Brun , Landau , Selberg , Erdös , Mendes France , Tao

En guise de conclusion de cette page :     

Les méthodes d'investigation purement arithmétiques (science du nombre, du grec arithmos = nombre) en théorie des nombres ne suffisent plus aujourd'hui au regard de la complexité des sujets étudiés. On l'a vu en particulier avec la preuve par Wiles, en 1995, du fameux théorème de Fermat. Comme on le voit ci-dessus, l'entrée de l'analyse dans l'arithmétique est particulièrement spectaculaire. On la retrouve également dans les méthodes d'approximation diophantienne pour la résolution d'équations en nombres entiers. On considère que Dirichlet, qui succéda à Gauss à Göttingen, est le fondateur de cette branche moderne et féconde de la théorie des nombres.

Pour les mathématiciens grecs, l'arithmétique fut l'étude des entiers et des rationnels (fractions) en rapport avec la géométrie (voyez, par exemple, Nicomaque). Depuis plus de 400 ans, les nombres premiers sont des stars incontestés et on est loin d'avoir percé tous les secrets de leur beauté. Outre l'aspect purement mathématique, avec la volonté de résoudre des problèmes anciens non résolus (voyez, par exemple, Goldbach,  ils ont trouvé un nouveau champ d'application dans la cryptographie, on parle même aujourd'hui de cryptologie. Autrefois utilisée par les seuls militaires ou gouvernements, cette "science" nouvelle voit son application dans les problèmes de confidentialité liés aux télécommunications et à l'Internet en particulier.

Cryptographie et cryptogramme :

Aujourd'hui, avec l'aide du calcul différentiel et intégral, des séries, des fonctions analytiques (développables en série), de l'analyse complexe et harmonique, on parle de théorie analytique des nombres. Le lecteur pourra comparer les différentes éditions du Que sais-je n°571 Les nombres premiers rédigés par Émile Borel en 1953, Jean Itard en 1969 et Gérald Tenenbaum & Michel Mendes-France en 1997 où l'immixtion de l'analyse est respectivement quasiment nulle, peu présente, omniprésente...


Vidéo YouTube : Le Monde est-il mathématiques ? Les nombres premiers


 Pour en savoir plus :

  1. Distribution des nombres premiers et fonctions zeta(s) par Hubert Delange (séminaire Delange-Pisot) :
    http://archive.numdam.org/item/SDPP_1959-1960__1__A1_0

  2. Répartition des nombres premiers par J.-L. Nicolas, Séminaire Delange-Pisot-Poitou :
    http://archive.numdam.org/item/SDPP_1967-1968__9_2_A12_0

  3. Les Nombres premiers, Gérald Tenenbaum, Michel Mendès-France, Que Sais-je n°571, Ed. PUF.  
    Cette édition 1997, de niveau universitaire, étudie la distribution des nombres premiers au moyen de l'analyse réelle et complexe.

  4. Introductory Number Theory, par Michael Stoll (univ. Bayreuth), congruences linéaires et quadratiques, nombres premiers, cryptologie ... :
    http://www.mathe2.uni-bayreuth.de/stoll/lecture-notes/IntroductoryNumberTheory.pdf

  5. Résidus quadratique et réciprocité :
    a) Les nombres premiers, par Émile borel, Que-sais-je? n°571 - Paris, 1953.
    b) Arithmétique et théorie des nombres, par Jean Itard, Que-sais-je? n°1093 - Paris, 1963.

  6. a) Mémoire de Cyril Banderier, niveau maîtrise, univ. de Rouen 1996-97 : http://algo.inria.fr/banderier/Recipro/recipro.html
    b) Cours d'Emmanuel Fricain (univ. Lille1) : http://math.univ-lille1.fr/~fricain/M1-ARITHMETIQUE/chap3.pdf
    c) Theory of Numbers de Robert Carmichael :
        https://archive.org/stream/cu31924063439008#page/n61/mode/2up/search/quadratic

  7. Théorie analytique des nombres, par Michel Waldschmidt (univ. Paris VI), 2008.
    http://www.math.jussieu.fr/~miw/articles/pdf/TdN2008fasc8.pdf

  8. Exercices & problèmes, congruences, permutations (niveau licence) avec corrections (pour certains), par A. Chambert-Loir (univ. Paris 7) :
    http://webusers.imj-prg.fr/~antoine.chambert-loir/enseignement/2005-06/a2/index.xhtml
    http://webusers.imj-prg.fr/~antoine.chambert-loir/enseignement/2005-06/a2/td5.pdf

  9. Conjecture de Legendre : http://www.mathpages.com/home/kmath032.htm

  10. La fonction ζ de Riemann, par Javier Fresàn : http://jfresan.files.wordpress.com/2011/04/lecture-de-riemann.pdf

  11. Revue La Recherche, spécial Nombres, n°278, juillet/Août 1995 - Article de Henri Cohen, page 760-765.

  12. Les Cahiers de Science & Vie, juin 2000 - Dossier : l'origine des nombres.

  13. Le livre des nombres, par J.H. Conway et R.K. Guy
    Éd. Eyrolles - 1998. Traduit de l'édition originale The Book of Numbers (Éd. Springer-Verlag, New York - 1996).

  14. L'Univers mathématique, Philip J. Davis & Reuben HershÉd. Gauthier-Villars - 1990


© Serge Mehl - www.chronomath.com