ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

MERSENNE Marin, français, 1588-1648                
     
Armand Jean du Plessis, futur cardinal de Richelieu (1585-1642), a 3 ans

Philosophe, abbé, ordonné en 1611, après des études de théologie à la Sorbonne, Marin Mersenne compléta ses études au collège royal de la Flèche en compagnie de Descartes avec lequel il nouera une grande amitié. C'est ainsi qu'il se passionna (1625) pour les sciences physiques et mathématiques.

En son couvent des Minimes, il recevait les grands penseurs et savants de passage à Paris et établit une correspondance avec les plus grands physiciens et mathématiciens comme Roberval, Torricelli, Galilée, Pascal, Fermat, Huygens et, tout particulièrement, Descartes. Ainsi put s'établir une sorte de journal de la recherche scientifique de son époque.

En physique, les travaux de Mersenne portent essentiellement en mécanique galiléenne tendant à confirmer la rotation de la Terre sur elle-même : défenseur de l'orthodoxie chrétienne, il soutint cependant les idées de Galilée et de Copernic. Il intervint également en musique et en acoustique (Harmonie universelle, 1636), ainsi qu'en optique où il s'interroge sur la  nature de la lumière (L'optique et la catoptrique, œuvre posthume, 1657).

Mersenne, membre fondateur de l'Académie parisienne, futur Académie des sciences :
Nombres premiers de Mersenne :                          nombres de Fermat

Ce sont les entiers naturels premiers de la forme Mn = 2n - 1, où n est un entier naturel. Ces nombres interviennent fréquemment en arithmétique, en particulier dans la formule exprimant les nombres parfaits pairs qu'étudia Pythagore et que caractérisa Euler.

Mersenne étudia la primarité de ces nombres mais émit quelques résultats faux : il crut, par exemple, prouver que M61 était composé (c'est à dire non premier). Lucas montra sa primarité en 1886 et découvrit 10 ans plus tôt , M127, 12è nombre de Mersenne.

Voici un résultat presque évident... :

Si un nombre Mn est premier, alors n est premier

Preuve : raisonnons par l'absurde : si n n'est pas premier, n = kp avec k et p distincts de 1. Ainsi 2n - 1 = (2k)p - 1 = (2k)p - 1p. Sachant que ap - bp est divisible par a - b, 2n - 1 admet 2k - 1 comme diviseur autre que 1.

La réciproque est fausse : le plus petit exemple est 2047 = 211 - 1 = 89 x 23

Critère de Lucas-Lehmer :

Il faut noter que ces nombres sont (en valeur) fantastiques et leur étude fort complexe, même à l'aide d'ordinateurs et d'algorithmes sophistiqués : M61, nombre de Mersenne, est "déjà" de l'ordre de 2,3.1018...  En 1722, Euler découvrit M31231 - 1 = 2 147 483 647, nombre premier de Mersenne, un beau résultat à une époque où l'illustre mathématicien n'avait pas la moindre calculette pour l'assister.

Les 9 premiers nombres premiers de Mersenne... :    

Les nombres premiers de Mersenne sont numérotés M1, M2, M3, ... (sans indice). Les Mn diffèrent donc ainsi des Mn :

M1 = M2 = 3
M2 = M3 = 7
M3 = M5 = 31
M4 = M7 = 127

M5 = M13 = 8191

M6 = M17
= 131 071
M7 = M19
= 524 287
M8 = M31
= 2 147 483 647
M9 = M61 = 2 305 843 009 213 693 951

  M17 et M19 furent découverts en 1603 par le mathématicien italien Pietro Cataldi (1548-1626), natif de Bologne, qui s'intéressa tout particulièrement à l'arithmétique, aux nombres irrationnels et leurs calculs approchés. On lui doit aussi de vaines recherches sur la preuve du 5è postulat d'Eulide à l'aide des quatre premiers.

Caractériser les nombres de Mersenne premiers (on en connaît aujourd'hui, février 2013, que 48) et affirmer leur infinitude sont des problèmes ouverts. En 1903, on découvrit que M67 était composé (non premier), puis que M107 est premier, 11è du nom (Ralph E. Powers, USA, 1916)  et M257 composé (non premier).

Ces nombres continuent à faire l'objet de recherches. Leur étude nécessite des techniques de décomposition complexes et de puissants ordinateurs ordinateurs tournant 24h/24 ! Les retombées de ces recherches peuvent paraître vaines mais elles sont loin d'être négligeables eu égard aux avancées dans le domaine du cryptage des données (factorisation de grands nombres).

Noter que les nombres de  Mersenne ne sont pas nécessairement découverts en ordre croissant. Entre deux découvertes, il s'agit de vérifier qu'il n'y en a pas un caché. Pour cette raison, il est précisé ci-après la confirmation éventuelle du rang. Le dernier rang confirmé est le 42è, en décembre 2012.

Avis aux amateurs : En collaboration avec le GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search), L'Electronic Frontier Foundation offrit 100 000 dollars de récompense au découvreur de M45 , premier nombre premier de Mersenne possédant plus de 10 millions de chiffres. Alors, vite, à vos PC !

Les tout derniers nombres de Mersenne trouvés :        (source : www.mersenne.org)

21è siècle :    

20è siècle :

On remarquera que le nombre Ln de chiffres en base 10 des nombres de Mersenne peut être approché assez finement en arrondissant la mantisse de son logarithme décimal. 1 étant considéré comme négligeable devant 2n, si Ent désigne la fonction partie entière par défaut, l'entier le plus proche est donné :

Ln = Ent (log102n + 0,5) Ent (0,30103n + 0,5)

Par exemple : pour M19 = 524287, on obtient L19 Ent(6,219...) = 6. Pour M57 885 161  possédant 17425170, on obtient L57 885 161 = Ent(0,3010357885161 + 0,5) = Ent(174251170,52) = 17425170. Pas mal...

Nombres premiers :   Nombres pseudo-premiers :   Nombres parfaits :


Niveau Sup
: http://perso.univ-rennes1.fr/antoine.chambert-loir/2005-06/a2/td4.pdf  ( §2)

Pour en savoir plus :


Grégoire de Saint-Vincent  Desargues
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