ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

MERSENNE Marin, français, 1588-1648

Philosophe, abbé, ordonné en 1611, après des études de théologie à la Sorbonne, Marin Mersenne compléta ses études au collège royal de la Flèche en compagnie de Descartes avec lequel il nouera une grande amitié. C'est ainsi qu'il se passionna (1625) pour les sciences physiques et mathématiques.

En son couvent des Minimes, il recevait les grands penseurs et savants de passage à Paris et établit une correspondance avec les plus grands physiciens et mathématiciens comme Roberval, Torricelli, Galilée, Pascal, Fermat, Huygens et, tout particulièrement, Descartes. Ainsi put s'établir une sorte de journal de la recherche scientifique de son époque.

En physique, les travaux de Mersenne portent essentiellement en mécanique galiléenne tendant à confirmer la rotation de la Terre sur elle-même : défenseur de l'orthodoxie chrétienne, il soutint cependant les idées de Galilée et de Copernic. Il intervint également en musique (théorie musicale) et en acoustique (Harmonie universelle, 1636, » réf.5), ainsi qu'en optique où il s'interroge sur la  nature de la lumière (L'optique et la catoptrique, œuvre posthume, 1657).

» Liens analogiques : nombres premiers , nombres de Fermat , nombres pseudo-premiers , nombres pratiques , nombres premiers de Wieferich

Les nombres de Mersenne sont les entiers naturels premiers de la forme M_n = 2ⁿ - 1, où n est un entier naturel. Ces nombres interviennent fréquemment en arithmétique, en particulier dans la formule exprimant les nombres parfaits pairs qu'étudia Pythagore et que caractérisa Euler.

Mersenne étudia la primarité (ou primalité en franglais) de ces nombres mais émit quelques résultats faux : il crut, par exemple, prouver que M₆₁ était composé (c'est à dire non premier). Lucas montra sa primarité en 1886 et découvrit 10 ans plus tôt , M₁₂₇, 12è nombre de Mersenne.

Voici un résultat presque évident... :         Nombres pseudo-premiers :  »

Si un nombre M_n est premier, alors n est premier

Preuve : raisonnons par l'absurde : si n n'est pas premier, n = kp avec k et p distincts de 1. Ainsi 2ⁿ - 1 = (2^k)^p - 1 = (2^k)^p - 1p. Sachant que a^p - b^p est divisible par a - b, 2ⁿ - 1 admet 2^k - 1 comme diviseur autre que 1.

 !   La réciproque est fausse : le plus petit exemple est 2047 = 2¹¹ - 1 = 89 × 23   !

Critère de Lucas-Lehmer :  »

Il faut noter que ces nombres sont (en valeur) fantastiques et leur étude fort complexe, même à l'aide d'ordinateurs et d'algorithmes sophistiqués : M₆₁, 9è nombre de Mersenne, est "déjà" de l'ordre de 2,3.10¹⁸...  En 1722, Euler découvrit M₃₁ =  2³¹ - 1 = 2 147 483 647, 8è nombre premier de Mersenne, un beau résultat à une époque où l'illustre mathématicien n'avait pas la moindre calculette pour l'assister.

Les 9 premiers nombres premiers de Mersenne :    

Les nombres premiers de Mersenne sont numérotés M1, M2, M3, ... (sans indice). Les M_n diffèrent donc ainsi des Mn :

 i   M₁₇ et M₁₉ furent découverts en 1603 par le mathématicien italien Pietro Cataldi (1548-1626), natif de Bologne, qui s'intéressa tout particulièrement à l'arithmétique, aux nombres irrationnels et leurs calculs approchés. On lui doit aussi de vaines recherches sur la preuve du 5è postulat d'Eulide à l'aide des quatre premiers.

Caractériser les nombres de Mersenne premiers (on en connaît aujourd'hui, février 2013, que 48) et affirmer leur infinitude sont des problèmes ouverts. En 1903, on découvrit que M₆₇ était composé (non premier), puis que M₁₀₇ est premier, 11è du nom (Ralph E. Powers, USA, 1916)  et M₂₅₇ composé (non premier).

Ces nombres continuent à faire l'objet de recherches. Leur étude nécessite des techniques de décomposition complexes et de puissants ordinateurs ordinateurs tournant 24h/24 ! Les retombées de ces recherches peuvent paraître vaines mais elles sont loin d'être négligeables eu égard aux avancées dans le domaine du cryptage des données (factorisation de grands nombres).

Noter que les nombres de  Mersenne ne sont pas nécessairement découverts en ordre croissant. Entre deux découvertes, il s'agit de vérifier qu'il n'y en a pas un caché. Pour cette raison, il est précisé ci-après la confirmation éventuelle du rang. Le dernier rang confirmé est le 42è, en décembre 2012.

Avis aux amateurs : en collaboration avec le GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search), L'Electronic Frontier Foundation offrit 100 000 dollars de récompense au découvreur de M₄₅ , premier nombre premier de Mersenne possédant plus de 10 millions de chiffres. Alors, vite, à vos PC !

Les tout derniers nombres de Mersenne trouvés :        (source : www.mersenne.org)

21è siècle :    

• 7 janvier 2016 : découverte de M_{74 207 281}, 49è du nom, rang non confirmé, 22 338 618 chiffres, trouvé par Curtis Cooper (univ. du Missouri).
• 25 janvier 2013 : découverte de M_{57 885 161}, 48è du nom, rang non confirmé, 17 425 170 chiffres, trouvé par Curtis Cooper (univ. du Missouri).
• 12 avril 2009 : découverte de M_{42 643 601}, et s'insère probablement comme le 46è du nom, 12 837 064 chiffres.
• 23 Août/6 septembre 2008 : à deux semaines d'intervalle découverte de M_{37 156 667} et M_{43 112 609}, 45è et 47è du nom, rangs non confirmés, respectivement 11 185 272 et 12 978 189 chiffres, trouvé par Curtis Cooper (univ. du Missouri) et GIMPS.
• 4 décembre 2006 : découverte de M_{32 582 657}, 44è du nom, rang non confirmé, 9 808 3582 chiffres, trouvé par deux professeurs américains.

• 15 décembre 2005 : découverte de M_{30 402 457}, 43è du nom, rang non confirmé, trouvé par les mêmes chercheurs américains; 9 152 052 chiffres.

• 18 février 2005 : découverte de M_{25 964 951}, 42è du nom (confirmé en décembre 2012), trouvé par l'allemand Martin Nowak; il possède 7 816 230 chiffres.

• 15 Mai 2004 : découverte de M_{24 036 583}, 41è du nom (confirmé en décembre 2011), trouvé dans le cadre du GIMPS; plus de 7 000 000 chiffres.

• 17 Novembre 2003 : découverte de M_{20 996 011}, 40è du nom, découvert par un passionné, Michael Shafer (Floride, USA) chercheur au GIMPS. Il possède 6 320 430 chiffres.

• 14 novembre 2001 : découverte de M_{13 466 917}, 39è du nom, découvert par Michael Cameron, chercheur au GIMPS. Il possède 4 053 946 chiffres.

20è siècle :

• 1952 : On doit à Robinson la découverte de 4 nombres premiers de Mersenne : M13 = M₅₂₁, M14 = M₆₀₇, M15 = M₁₂₇₉, M16 = M₂₂₀₃.
• 1961 : Hurwitz découvre M19 = M₄₂₅₃, M20 = M₄₄₂₃.
• 1979-1996 : David Slowinski, ingénieur en informatique chez Cray Research obtient sur les superordinateurs Cray-1 puis Cray-2, les nombres M27 à M34.
• 1996 : en France aussi, on a des idées et on sait calculer... : le français Joël Armangeaud a découvert le 35è : M_{1 398 269} , il possède 420 921 chiffres. On trouvera une liste exhaustive sur Wikipédia, ainsi que sur MathWorld.

On remarquera que le nombre L_n de chiffres en base 10 des nombres de Mersenne peut être approché assez finement en arrondissant la mantisse de son logarithme décimal. 1 étant considéré comme négligeable devant 2ⁿ, si Ent désigne la fonction partie entière par défaut, l'entier le plus proche est donné :

L_n = Ent (log₁₀2ⁿ + 0,5) ≅ Ent (0,30103n + 0,5)

Par exemple : pour M₁₉ = 524287, on obtient L₁₉ ≅ Ent(6,219...) = 6. Pour M_{57 885 161}  possédant 17425170, on obtient L_{57 885 161} = Ent(0,30103 × 57885161 + 0,5) = Ent(174251170,52) = 17425170. Pas mal...

Nombres de Mersenne et nombres parfaits pairs : »              Nombres puissants et nombres premiers de Wieferich : »

 ➔    Pour en savoir plus :

1. L'Univers des nombres, par Ian Stewart, Éd. Belin •Pour la science - Paris, 2000
2. Le site "officiel" de fans des nombres de Mersenne, le GRIMPS : http://www.mersenne.org/prime.htm
3. Liste exhaustive des nombres premiers de Mersenne :
   a)  http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_de_Mersenne_premier
   b) http://mathworld.wolfram.com/MersennePrime.html
4. The prime pages (prime number research, records and resources) : http://www.utm.edu/research/primes/
5. Le site de Gérard Villemain : http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Premier/record.htm#Mersenne
6. a/ Harmonie universelle contenant la pratique et la théorie de la musique, Marin Mersenne, 1636, sur Gallica (BnF) :
   http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5471093v
   6b/ La tradition arithmétique en musique, l'exemple de Gassendi, par Brigitte van Wymeer :
   http://www.peiresc.org/beta/wp-content/uploads/2014/06/VanWymeersch.pdf.

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Grégoire de Saint-Vincent  Desargues

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