ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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Euler et la fonction exponentielle ex         Nombreux exercices tout au long de la page

Dans son traité Introductio in Analysin infinitorum de 1748, Euler procède à une vaste synthèse des connaissances en matière de fonctions (outre trigonométriques) logarithmiques et exponentielles de base a en posant, pour tout réel a strictement positif distinct de 1, l'égalité y = ax pour signifier que x est le logarithme de y dans la base a :

a > 0, a 1, x :  y = ax   x = loga y

Il élargit par ailleurs la définition au cas d'une variable complexe par usage de développements en série.

Développement en série de la fonction exponentielle :

Euler utilisait déjà (1728) la notation e (première lettre du mot exponentielle) pour la base des logarithmes népériens (qu'il dénomme à l'époque hyperbolique ) dont il donnait le développement infini (1739) comme cas particulier de celui de la fonction x ax, développé à partir de la série du binôme de Newton pour a 1 :

En posant az = 1 + kz, puis auz = (1 + kz)u dans ladite série, Euler obtient formellement, pour tout nombre x, après quelques subtilités :

où c ne dépend que de la base a.

Si c = 1, on retrouve la série de Mercator, développement de ln(x + 1) où ln désigne la fonction logarithme népérien. Ainsi, le développement de la fonction exponentielle x ex ne peut être que :

ex = 1 + x + x2/2! + x3/3! + ... + xn/n! + ...

En dérivant terme à terme, sans cas de conscience pour la convergence... , on constate avec délectation que (ex)' = ex : l'exponentielle de base e est, en effet, l'unique fonction partout dérivable f telle que f ' = f.

Dans le développement précédent, si x = 1 :

soit : e = 2,7182818284590452353...

Introduite autrefois en classe terminale en tant que fonction réciproque du logarithme népérien et aujourd'hui en tant que fonction dérivable f telle que = f ou encore telle que f(a + b) = f(a)f(b) et de nombre dérivé 1 en zéro, la fonction exponentielle, sa notation ex et sa dérivation invariante (ex)' = ex apparaissent de façon relativement naturelle. L'application de la formule de Taylor ou de Maclaurin conduit aisément à son développement en série uniformément convergent.

  Étude des approches évoquées ci-dessus

Majoration de l'erreur commise dans le développement précédent :    

Si, dans le développement précédent, on néglige les termes à partir du rang n + 1, on peut facilement majorer l'erreur commise en :

On reconnaît dans la parenthèse la sérié géométrique de 1er terme 1, de raison 1/(n+1) qui converge vers (n + 1)/n. Par suite l'erreur commise en vérifie :

Application : afin de calculer e à 10-6 près, il nous faut en < 10-6 , soit n n! > 106 : Par "tâtonnements", on aura tôt fait de constater qu'il faut calculer jusqu'au rang 9. d'où e 2,7182815... La 7è décimale est fausse mais c'est normal...

Un calcul approché de e :

Si f est une fonction dérivable, de dérivée connue , on peut, connaissant une image f(xo), calculer une approximation de f(xo + h) si x est suffisamment petit en utilisant la formule approchée de la dérivée :

On aura : f(xo + h) f(xo) + h(xo). Posons yo = f(xo) et y1 = f(xo + h). On peut itérer le procédé afin de calculer une approximation de f(xo + 2h) = y2. En posant xn = xo + nh, on construit ainsi une suite de valeurs approchées d'images f(xn) :

f(xn)   f(xn-1) + h(xn-1)

Cette suite de valeurs peut être entachée d'erreurs en accumulant tant les approximations que les arrondis !  si h est trop grand, les valeurs seront grossièrement erronées. Si h est trop petit, cela occasionnera des erreurs d'arrondi cumulatives. Elle fut utilisée en physique par Euler et d'Alembert pour se donner une idée d'une courbe y = f(x) à partir de la connaissance de sa dérivée. En l'absence d'encadrement des valeurs trouvées, elle n'a pas, stricto sensu, de valeur mathématique !

Dans le cas de la fonction exponentielle, on a f(x) = (x), donc f(xn) = (1 + h)f(xn-1) : il s'agit d'une suite géométrique de raison 1 + h, la suite des abscisses étant arithmétique de raison h :

f(xn) = (1 + h)nf(xo)

Pour s'assurer de la convergence, on pourra étudier la belle formule ci-dessous beaucoup plus convaincant et équivalent à cette approche lorsque n est une puissance de 10 :

Une formule rationnelle pour un nombre irrationnel et transcendant... :

Euler prouva la belle formule qui l'amena à définir la fonction exponentielle complexe en tant que série entière :

Preuve de la formule en tant qu'exercice :

 Poser un = (1 + 1/n)n et vn = ln un.
 a) Montrer que vn peut s'écrire ln(1 + xn)/xn  avec xn = 1/n tendant vers 0 lorsque n tend vers l'infini.
 b) Écrire ln(1 + x)/x sous la forme du taux d'accroissement en 0 de la fonction x ln(1 + x).
 En déduire limx→o ln(1 + x)/x = 1.
  on montrerait de même que la limite en 0 de la fonction est égale à 1.
 c) Déduire de b) la limite de vn. puis celle de un.

Application de la formule au calcul approché de e :             Hermite et transcendance de e :

Le développement en série du nombre e, ainsi que son calcul approché, peuvent se faire aisément à partir de la formule de Maclaurin :

Autres calculs de e dans ChronoMath :

Irrationalité du nombre e :

Euler prouva également l'irrationalité de e en utilisant le développement en fraction continue infini ci-après, dont la paternité revient à Cotes. La suite des quotients de e - 2 est :

[1,2,1 , 1,4,1, 1,6,1 , ..., 1,2n,1 …]

Pour prouver l'irrationalité de e, on peut  considérer les suites (un) et (vn) de termes généraux respectifs :

On sait que les suites (un) et (vn) convergent vers e, respectivement en croissant et décroissant (suites adjacentes). Pour tout p de N, on peut alors écrire up < e < vp . Si le nombre ee est un nombre rationnel, il admet une écriture irréductible k/p et l'on a, en remplaçant et multipliant le tout par pp! :

pp!up < kp! < pp! x up + 1.

Cet encadrement ne peut avoir lieu car les nombres pp!up et kp! sont des entiers : e n'est donc pas rationnel.

L'encadrement de e par un et vn est "très serré", mais on peut considérer un encadrement plus large en choisissant plus simplement vn = un + 1/n!

La sublime formule liant 0, 1, e, π et i :

Euler assoit l'usage définitif de la notation π , la notation i pour la "racine carrée" de -1 (1777) et l'élégante formule :  

e + 1 = 0

où se rencontrent les cinq plus célèbres nombres de l'analyse réelle et complexe et dont Tobias Dantzig écrivit qu'elle exprime l'union mystérieuse de l'arithmétique (0 et 1), de l'algèbre (i), de la géométrie (π) et de l'analyse (e).

Preuve :   

La limite pour n infini de (1 + x/n)n = ex : prendre le logarithme népérien de (1 + x/n)n, passer à la limite en utilisant ln(1 + u) ~ u au voisinage de 0 ( voyez la page calcul élémentaire de e). On obtient donc formellement eix comme limite pour n infini de (1 + ix/n)n.

Or, pour n "grand", le nombre complexe 1 + ix/n (d'image B dans le plan complexe) correspond sensiblement au point du cercle trigonométrique d'argument x/n (d'image C), c'est à dire au nombre complexe cos (x/n) + i.sin(x/n); en élevant à la puissance n et en utilisant la formule de De Moivre, on obtient pour n infini : lim (1 + ix/n)n = cosx + i.sinx, ce qui permet d'écrire :

eix = cosx + i.sinx

et si x = π, on a e = - 1. Plus généralement : einx = cos nx + i.sin nx = (cosx + i.sinx)n :

De Moivre et sa célèbre formule cos nx + i.sin nx = (cosx + i.sinx)n :

 
1.  Souvent utile : prouver que pour tout x réel, on a : 1 + e = 2cos(α/2)eiα/2  et  e - 1 = 2i sin(α/2)eiα/2
Ind. : 1 + e = 1 + cosα + isinα = 2cos2(α/2) + 2isin(α/2)cos(α/2)...    un exemple d'application (ex. 6)
2.  (indépendant de 1.) x étant distinct de tout multiple de π, prouver l'identité :

Indication : on introduira la partie imaginaire i.sin(2kx),


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