ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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Euler et la fonction exponentielle ex         Nombreux exercices tout au long de la page

Dans son traité Introductio in Analysin infinitorum de 1748, Euler procède à une vaste synthèse des connaissances en matière de fonctions (outre trigonométriques) logarithmiques et exponentielles de base a en posant, pour tout réel a strictement positif distinct de 1, l'égalité y = ax pour signifier que x est le logarithme de y dans la base a :

a > 0, a 1, x :  y = ax   x = loga y

Il élargit par ailleurs la définition au cas d'une variable complexe par usage de développements en série.

Développement en série de la fonction exponentielle :

Euler utilisait déjà (1728) la notation e (première lettre du mot exponentielle) pour la base des logarithmes népériens (qu'il dénomme à l'époque hyperbolique ) dont il donnait le développement infini (1739) comme cas particulier de celui de la fonction x ax, développé à partir de la série du binôme de Newton pour a 1 :

En posant az = 1 + kz, puis auz = (1 + kz)u dans ladite série, Euler obtient formellement, pour tout nombre x, après quelques subtilités :

où c ne dépend que de la base a.

Si c = 1, on retrouve la série de Mercator, développement de ln(x + 1) où ln désigne la fonction logarithme népérien. Ainsi, le développement de la fonction exponentielle x ex ne peut être que :

ex = 1 + x + x2/2! + x3/3! + ... + xn/n! + ...

En dérivant terme à terme, sans cas de conscience pour la convergence... , on constate avec délectation que (ex)' = ex : l'exponentielle de base e est, en effet, l'unique fonction partout dérivable f telle que f ' = f.

Dans le développement précédent, si x = 1 :

soit : e = 2,7182818284590452353...

Introduite autrefois en classe terminale en tant que fonction réciproque du logarithme népérien et aujourd'hui en tant que fonction dérivable f telle que = f ou encore telle que f(a + b) = f(a)f(b) et de nombre dérivé 1 en zéro, la fonction exponentielle, sa notation ex et sa dérivation invariante (ex)' = ex apparaissent de façon relativement naturelle. L'application de la formule de Taylor ou de Maclaurin conduit aisément à son développement en série uniformément convergent.

  Étude des approches évoquées ci-dessus

Majoration de l'erreur commise dans le développement précédent :    

Si, dans le développement précédent, on néglige les termes à partir du rang n + 1, on peut facilement majorer l'erreur commise en :

On reconnaît dans la parenthèse la sérié géométrique de 1er terme 1, de raison 1/(n+1) qui converge vers (n + 1)/n. Par suite l'erreur commise en vérifie :

Application : afin de calculer e à 10-6 près, il nous faut en < 10-6 , soit n n! > 106 : Par "tâtonnements", on aura tôt fait de constater qu'il faut calculer jusqu'au rang 9. d'où e 2,7182815... La 7è décimale est fausse mais c'est normal...

Un calcul approché de e :

Si f est une fonction dérivable, de dérivée connue , on peut, connaissant une image f(xo), calculer une approximation de f(xo + h) si x est suffisamment petit en utilisant la formule approchée de la dérivée :

On aura : f(xo + h) f(xo) + h(xo). Posons yo = f(xo) et y1 = f(xo + h). On peut itérer le procédé afin de calculer une approximation de f(xo + 2h) = y2. En posant xn = xo + nh, on construit ainsi une suite de valeurs approchées d'images f(xn) :

f(xn)   f(xn-1) + h(xn-1)

Cette suite de valeurs peut être entachée d'erreurs en accumulant tant les approximations que les arrondis !  si h est trop grand, les valeurs seront grossièrement erronées. Si h est trop petit, cela occasionnera des erreurs d'arrondi cumulatives. Elle fut utilisée en physique par Euler et d'Alembert pour se donner une idée d'une courbe y = f(x) à partir de la connaissance de sa dérivée. En l'absence d'encadrement des valeurs trouvées, elle n'a pas, stricto sensu, de valeur mathématique !

Dans le cas de la fonction exponentielle, on a f(x) = (x), donc f(xn) = (1 + h)f(xn-1) : il s'agit d'une suite géométrique de raison 1 + h, la suite des abscisses étant arithmétique de raison h :

f(xn) = (1 + h)nf(xo)

Pour s'assurer de la convergence, on pourra étudier la belle formule ci-dessous beaucoup plus convaincant et équivalent à cette approche lorsque n est une puissance de 10 :

Une formule rationnelle pour un nombre irrationnel et transcendant... :

Euler prouva la belle formule qui l'amena à définir la fonction exponentielle complexe en tant que série entière :

Preuve de la formule en tant qu'exercice :

 Poser un = (1 + 1/n)n et vn = ln un.
 a) Montrer que vn peut s'écrire ln(1 + xn)/xn  avec xn = 1/n tendant vers 0 lorsque n tend vers l'infini.
 b) Écrire ln(1 + x)/x sous la forme du taux d'accroissement en 0 de la fonction x ln(1 + x).
 En déduire limx→o ln(1 + x)/x = 1.
  on montrerait de même que la limite en 0 de la fonction est égale à 1.
 c) Déduire de b) la limite de vn. puis celle de un.

Application de la formule au calcul approché de e :             Hermite et transcendance de e :

Le développement en série du nombre e, ainsi que son calcul approché, peuvent se faire aisément à partir de la formule de Maclaurin :

Autres calculs de e dans ChronoMath :

Irrationalité du nombre e :

Euler prouva également l'irrationalité de e en utilisant le développement en fraction continue infini ci-après, dont la paternité revient à Cotes. La suite des quotients de e - 2 est :

[1,2,1 , 1,4,1, 1,6,1 , ..., 1,2n,1 …]

Pour prouver l'irrationalité de e, on peut  considérer les suites (un) et (vn) de termes généraux respectifs :

On sait que les suites (un) et (vn) convergent vers e, respectivement en croissant et décroissant (suites adjacentes). Pour tout p de N, on peut alors écrire up < e < vp . Si le nombre ee est un nombre rationnel, il admet une écriture irréductible k/p et l'on a, en remplaçant et multipliant le tout par pp! :

pp!up < kp! < pp! x up + 1.

Cet encadrement ne peut avoir lieu car les nombres pp!up et kp! sont des entiers : e n'est donc pas rationnel.

L'encadrement de e par un et vn est "très serré", mais on peut considérer un encadrement plus large en choisissant plus simplement vn = un + 1/n!

La formule d'Euler et la sublime relation liant 0, 1, e, π et i :

Montrons tout d'abord cet important résultat fort utile dans le calcul de limites :

Preuve : prendre le logarithme népérien de (1 + x/n)n, passer à la limite en utilisant ln(1 + u) ~ u au voisinage de 0 ( calcul élémentaire de e).

Ce résultat permet d'écrire formellement eix comme limite pour n infini de (1 + ix/n)n. Or, pour n "grand", le nombre complexe 1 + ix/n (d'image B représentée dans le plan complexe ci-dessous) correspond sensiblement au point du cercle trigonométrique d'argument x/n (d'image C), c'est à dire au nombre complexe cos (x/n) + i.sin(x/n).

En élevant à la puissance n et en utilisant la formule de De Moivre, on obtient pour n infini : lim (1 + ix/n)n = cosx + i.sinx, ce qui permet d'écrire la formule d'Euler :

eix = cosx + i.sinx     (fe)

et si x = π, on obtient la sublime formule :

e + 1 = 0

 
1.  Souvent utile : prouver que pour tout x réel, on a : 1 + e = 2cos(α/2)eiα/2  et  e - 1 = 2i sin(α/2)eiα/2
Ind. : 1 + e = 1 + cosα + isinα = 2cos2(α/2) + 2isin(α/2)cos(α/2)...    un exemple d'application (ex. 6)
2.  (indépendant de 1.) x étant distinct de tout multiple de π, prouver l'identité :

Indication : on introduira la partie imaginaire i.sin(2kx),


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