ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
 STIFEL
(Stifelius) Michael,
allemand, 1486-1567 |
Après des études de théologie, Stifel est ordonné prêtre à Esslingen, sa ville natale, en 1511. Mais ses idées religieuses ne sont pas en accord avec l'Église de l'époque et il eut des ennuis sérieux avec les autorités religieuses lorsqu'il affirma une fin du monde prochaine... Stifel s'adonne alors aux mathématiques, étudie à Wittenberg et survit en donnant des cours particuliers.
Brillant algébriste, Stifel contribua sensiblement à l'amélioration des notations dans un traité d'arithmétique intitulé Arithmetica Integra (1544) qui le fera émerger. En 1553, il réédita et compléta la Coss de Rudolff (Die Coss Christoffs Rudolffs mit schönen Exempeln der Coss) ce qui lui valut d'obtenir un poste d'enseignement des mathématiques et de la théologie à Königsberg (1554) et plus tard à Iéna. On le considère comme un des grands mathématiciens allemands du 16è siècle.
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Un statut de nombre pour les irrationnels : |
Dans son Arithmetica Integra, on trouve, en particulier, une approche de la notion de logarithme au moyen des progressions géométriques, que Neper développera indépendamment 70 ans plus tard, mais aussi la volonté de considérer les nombres irrationnels en tant que nombres (qualifiés de nombres sourds depuis les algébristes arabes) bien que leur développement décimal illimité non périodique apparaissait à l'époque fort choquant !
La notation √, de Stevin, initiée par Rudolff, pour désigner la racine carrée, est utilisée ainsi que les signes + et - pour l'addition et la soustraction. Tout comme Al-Kashi, il manipule les puissances d'un nombre en formulant les propriétés an × ap = an + p, an/ap= an - p et conçoit l'usage d'exposants négatifs (on lui doit ce terme d'exposant), mais de tels nombres (négatifs) sont qualifiés d'absurdes (numeri absurdi).
➔ Plus précisément, Stifel écrit √z pour exprimer "racine carrée de", √Π pour "racine cubique de", √zz pour racine 4ème de". On trouve aussi la racine 5è exprimée par √β. Stifel écrit par exemple page 103 que √z6 cadit inter 2 & 3 : la racine carrée de 6 tombe entre 2 et 3.
En France, on parle de quantités impossibles dans lesquelles on place également les quantités imaginaires initiées par Bombelli, baptisés nombres complexes par Gauss et qui accorda le statut de nombre à part entière aux nombres négatifs.
Un important résultat :
La périodicité d'un développement décimal illimité caractérise un nombre rationnel, c'est à dire de la forme x = a/b avec a et b entiers, b non nul.
En effet, si x = n,defg...defg...defg... : notons k le nombre de chiffres de la période p = defg...; on a :
x, somme d'un entier et d'une fraction, est donc rationnel. » suite géométrique
Inversement, si un rationnel x est de la forme a/b, la division de a par b donne des restes successifs strictement inférieurs à b (» division euclidienne). Donc, au bout d'un nombre fini de décimales obtenues, ou bien un reste nul apparaît et la division s'arrête, ou bien on "retombe" sur un même reste et, dès lors, les mêmes décimales apparaissent : développement décimal illimité.
Exemple :
Quel est en fait le nombre n = 2,1023 1023 1023 1023 ... ? on remarque que la période est 1023. Elle a 4 chiffres.
Multiplions n par 10000 et retirons n : 10000n - n = 21023, 1023 1023 1023 ... - 2,1023 1023 1023 1023 ... = 21021.
Il s'agit donc de : 21021/9999 = 637/303Mais pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué... : on peut utiliser les suites géométriques à la manière de ci-dessus. Le calcul indique alors que la période p est 1023, n = 2 et k = 4.
D'où x = 2 + 1023 × 10-4 × 1/(1 - 10-4) = 2 + 1023/9999 = 21021/9999.
| Triangle de Stifel : |
C'est en fait le tableau fournissant les coefficients des termes apbn-p dans le développement du binôme (a + b)n, souvent appelé triangle arithmétique, selon la récurrence : Cnp = Cn-1p-1 + Cn-1p.
| n/p | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | ... |
| 0 | 1 | |||||||||||
| 1 | 1 | 1 | ||||||||||
| 2 | 1 | 2 | 1 | |||||||||
| 3 | 1 | 3 | 3 | 1 | ||||||||
| 4 | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | |||||||
| 5 | 1 | 5 | 10 | 10 | 5 | 1 | ||||||
| 6 | 1 | 6 | 15 | 20 | 15 | 6 | 1 | |||||
| 7 | 1 | 7 | 21 | 35 | 35 | 21 | 7 | 1 | ||||
| 8 | 1 | 8 | 28 | 56 | 70 | 56 | 28 | 8 | 1 | |||
| 9 | 1 | 9 | 36 | 84 | 126 | 126 | 84 | 36 | 9 | 1 | ||
| 10 | 1 | 10 | 45 | 120 | 210 | 252 | 210 | 120 | 45 | 10 | 1 | |
| ... |
» Al-Karaji , Yang-Hui Formule du binôme : » Triangle de Pascal et analyse combinatoire : »
➔ Pour en savoir plus :
Nonius
