ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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Circuit RLC        niveau Ter        Équations différentielles          circuit RC

On considère le circuit électrique ci-dessus, dit RLC car il comporte un resistor de résistance R, une bobine d'auto-inductance L et un condensateur de capacité C de charge initiale q.

On suppose C = 1μF , R = 200Ω, L = 50 mH et q=10-3 cb. On ferme l'interrupteur K et on étudie la décharge du condensateur en notant q(t) sa charge à l'instant t (t = 0 à la fermeture du circuit).

On se propose de montrer que q vérifie l'équation différentielle linéaire du second ordre :

1. Montrer que :

2. En déduire l'équation différentielle annoncée.

3. On est en présence d'une équation différentielle linéaire du second ordre. On utilise la méthode de l'équation caractéristique, due à Euler :

Lr2 + Rr + 1/C

a des solutions complexes conjuguées car Δ= (400j)2, j désignant le célèbre complexe de carré -1, noté i en mathématiques ( Euler).

r = -2000 - 4000j  et  r' = -2000 + 4000i.

Il suit :

q(t) = e-2000t(A.sin 4000t + B.cos 4000t)

Or, en t = 0, i = 0 et q = 10-3, donc B =10-3.

i(0) = q'(0) = 4000A - 2000B = 0 et par suite : A = 0,5.10-3.

ainsi :

q(t) = 10-3.e-2000t(0,5.sin 4000t + cos 4000t)

C'est un régime de décharge sinusoïdal amorti :


 

q(t) = (at + b)e-kt
q(t) = a.e-rt + b.e-r't
 
 Quelques précisions électriques... :

Un condensateur est capable d'accumuler de l'énergie entre deux armatures métalliques séparées par un isolant électrique. Il est caractérisé par sa capacité d'emmagasinage C et la tension V aux bornes de ses armatures.
Sa charge est par définition le produit Q = C
x V .

L'unité de charge est le coulomb (Cb) du nom du physicien français Charles de Coulomb (1736-1806). L'unité de capacité est le farad (F), du nom du physicien anglais Michaël Faraday (1791-1867), correspondant à une charge de 1 coulomb pour une tension de 1 volt entre ses armatures.

Une bobine est constituée d'un enroulement de fils conducteurs autour d'une armature métallique creuse. Lorsque la bobine est parcourue par un courant d'intensité variable i, il se crée un flux magnétique Φ qui traverse la bobine en induisant un courant à travers le bobinage qui s'oppose aux variations du courant principal. Si e est la force électromotrice induite, l'expérience montre que

e = -ΔΦ/Δt   pour Δt est "petit"

et que Φ est proportionnel à i :

Φ = Li

Ainsi e s'interprète comme l'opposé de la fonction dérivée de Φ par rapport à t et par voie de conséquence :

e = -Ldi/dt

Le coefficient L est l'auto-inductance de la bobine ; elle se mesure en henrys (H), du nom de Joseph Henry, physicien américain (1797-1878).


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