ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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BERNOULLI Johann (Jean), suisse, 1667-1748

Frère cadet de Jacques Bernoulli (Jakob), Johann, dit Jean 1er, fit ses études à Bâle (Basel, Suisse), sa ville natale. C'est Jakob qui lui insuffla la passion des mathématiques et l'accompagnera dans sa formation. Médecin (1690), physicien,  il fut, entre autres, le professeur de Leonhard Euler.

Admirateur de Leibniz qu'il rencontre à Paris en 1691, on doit à Johann Bernoulli d'importants travaux et résultats en calcul différentiel et intégral qu'il introduisit en France par l'intermédiaire de Guillaume de L'hospital.

 Ce dernier sera le premier à utiliser (1696) le terme français d'intégrale d'une fonction f pour désigner la fonction F dont la différentielle est f(x)dx. Le terme provient du calculus integralis utilisé par Johann et son frère. On parle aujourd'hui, depuis Lagrange, de primitive, plus précisément de fonction primitive. L'intégrale désignant aujourd'hui le nombre :

En 1695, Johann obtint une chaire de mathématiques à l'université de Groningue (Groningen, Hollande). On lui doit dès cette époque, avec son ami Leibniz, les premières études des fonctions exponentielles (appellation due à Leibniz) qui furent développées par son frère Jacques et parachevées par Euler. A la mort de Jakob (1705), sa chaire à l'université de Bâle lui sera confiée.

La fonction exponentielle selon Euler :

En sciences physiques, on lui doit la notation g pour désigner l'accélération de la pesanteur. Dans ce contexte mécanique, il s'oppose durement aux idées de Newton en prônant des idées cartésiennes (théorie des tourbillons, ou vortex, expliquant l'attraction à distance) retardant le développement de la mécanique newtonienne sur le continent.

Avec Johann Bernoulli, on entre dans l'analyse fonctionnelle avec la notation fx pour désigner l'image par une fonction f d'un nombre x, qui se "modernisera" par f(x) avec Clairaut et Euler. Là encore, le terme fonction (du latin functio) est de son ami Leibniz.


Johann Bernoulli fut le premier à donner un sens à l'écriture f(x) = xx. Quel est son domaine de définition ? Exprimer f(x) au moyen de moyen de la fonction exponentielle de base e.
Calculer sa dérivée.
Rep : Df = R+-{0}, f(x) = exlnx, f '(x) = (1 + lnx)exlnx

Johann établit (1701) la méthode de décomposition des fractions rationnelles en éléments simples (qu'utilisèrent cependant également Leibniz et Cotes sur des cas précis). Cette technique fondamentale permettra de calculer des primitives et des intégrales jusqu'ici "inaccessibles".

La décomposition en éléments simples des fractions rationnelles, exemples  :

Les séries harmonique & semi-harmonique :

Jean Bernoulli prouva la divergence (la somme est infinie) de la série harmonique :

La suite (un) de terme général, un = 1/n est également dite harmonique. Elle est liée à la musicologie (théorie musicale) issue des premières études de Pythagore sur la fréquence des notes de musique. Le terme harmonie est dérivé du grec harmonia qui signifiait, en menuiserie et architecture, cheville, assemblage et, par là, ce qui est bien ajusté (harmonieux...)

Chaque somme partielle de rang k est appelé nombre harmonique; on a successivement :

1 , 1 + 1/2 , 1 + 1/2 + 1/3 , 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 , ...

Euler étudia également cette série divergente, ce sera la naissance de la célèbre constante d'Euler :

                Étude du nombre C :

 On peut se poser la question de savoir si les sommes partielles passent par des valeurs entières, c'est à dire s'il existe des nombres harmoniques entiers :

 
Exercice :
valeurs entières éventuelles de la série harmonique

 

Série semi-harmonique :      

Notons que la série harmonique alternée, également appelée semi harmonique :

est convergente (sa limite est ln 2, logarithme népérien de 2) :

Série de Mercator :

Le brachistochrone :

C'est à Jean Bernoulli que l'on doit le célèbre problème (1696) du brachistochrone (du grec brakhus = court et khronos = le temps), dont la solution est un arc de cycloïde.

Brachistochrone et calcul des variations :                 Le kappa  :


Pour en savoir plus sur la dynastie scientifique des Bernoulli :

Gabriel Cramer, un compatriote et ami de Jean  :


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