ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
 BERNOULLI Johann
(Jean),
suisse, 1667-1748 |
Frère
cadet de Jacques
Bernoulli (Jakob), Johann, dit Jean
1er, fit ses études à Bâle, sa ville
natale. C'est Jakob qui lui insuffla la passion des mathématiques et
l'accompagnera dans sa formation. Médecin (1690),
physicien, il fut, entre autres, le professeur de
Leonhard
Euler.
Admirateur de Leibniz qu'il rencontre à Paris en 1691, on doit à Johann Bernoulli d'importants travaux et résultats en calcul différentiel et intégral qu'il introduisit en France par l'intermédiaire de Guillaume de L'hospital.
Ce
dernier
sera le premier à utiliser (1696) le terme français
d'intégrale
d'une fonction f pour désigner la
fonction F dont la différentielle est f(x)dx. Le terme
provient du calculus
integralis utilisé par Johann et
son frère. On parle aujourd'hui, depuis
Lagrange, de primitive, plus précisément
de fonction primitive. L'intégrale désignant
aujourd'hui le nombre :
En 1695, Johann obtint une chaire de mathématiques à l'université de Groningue (Groningen, Hollande). On lui doit dès cette époque, avec son ami Leibniz, les premières études des fonctions exponentielles (appellation due à Leibniz) qui furent développées par son frère Jacques et parachevées par Euler. A la mort de Jakob (1705), sa chaire à l'université de Bâle lui sera confiée.
La fonction exponentielle
selon Euler :
Également physicien, on lui doit en mécanique la notation g pour désigner l'accélération de la pesanteur. Mais il s'oppose durement aux idées de Newton en faveur des idées cartésiennes (théorie des tourbillons, ou vortex, expliquant l'attraction à distance) retardant le développement de la mécanique newtonienne sur le continent.
Avec Johann Bernoulli, on entre dans
l'analyse fonctionnelle avec la notation fx pour
désigner l'image par une fonction f d'un nombre x, qui se
"modernisera" par f(x) avec Clairaut
et Euler.
Là encore, le terme fonction
(du latin functio) est de son ami
Leibniz.
Johann Bernoulli fut le premier à donner un sens à
l'écriture f(x) = xx.
Quel est son domaine de définition ?
Exprimer f(x) au moyen de moyen de la fonction exponentielle de base e.
Calculer sa dérivée.
Rep : Df =
R+-{0}, f(x) = exlnx, f '(x) = (1 + lnx)exlnx
Johann établit (1701) la méthode de décomposition des fractions rationnelles en éléments simples (qu'utilisèrent cependant également Leibniz et Cotes sur des cas précis). Cette technique fondamentale permettra de calculer des primitives et des intégrales jusqu'ici "inaccessibles".
| Les séries harmonique & semi-harmonique : |
Jean Bernoulli prouva la divergence (la somme est infinie) de la série harmonique :
La suite (un) de terme général, un = 1/n est également dite harmonique. Elle est liée à la musicologie (théorie musicale) issue des premières études de Pythagore sur la fréquence des notes de musique. Le terme harmonie est dérivé du grec harmonia qui signifiait, en menuiserie et architecture, cheville, assemblage et, par là, ce qui est bien ajusté (harmonieux...)
Chaque somme partielle de rang k est appelé nombre harmonique; on a successivement :
1 , 1 + 1/2 , 1 + 1/2 + 1/3 , 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 , ...
Euler étudia également cette série divergente, ce sera la naissance de la célèbre constante d'Euler :
Étude du nombre C :
On
peut se poser la question de savoir si les sommes partielles passent
par des valeurs entières, c'est à dire s'il existe des nombres
harmoniques entiers :
Exercice :
valeurs entières éventuelles
de la série harmonique
Notons que la série harmonique alternée, également appelée semi harmonique :
est convergente (sa limite est ln 2, logarithme népérien de 2) :
| Le brachistochrone : |
C'est
à Jean Bernoulli que l'on doit le célèbre problème
(1696) du
brachistochrone
(du grec brakhus = court et khronos = le
temps), dont la solution est un arc de cycloïde.
Brachistochrone et calcul des variations :
Le kappa :
Pour en savoir
plus sur la dynastie scientifique des Bernoulli :
Généalogie des Bernoulli et leurs travaux, une page très
intéressante de P. Radelet de Grave :
http://www.apprendre-en-ligne.net/blog/docu/LesBernoulli.pdf
De Moivre