ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

WALLIS John, anglais, 1616-1703
   
Sébastien Bourdon, peintre français, 1616-1671, William Shakespeare (1564-1616)

Fils de pasteur, il fut élevé par sa mère car son père mourut alors qu'il n'avait que six ans. Calculateur prodige, très doué pour les mathématiques, il entra cependant à l'université de Cambridge pour étudier la philosophie, la médecine (il soutint une thèse sur la circulation sanguine) et les langues anciennes (latin, grec, hébreu) et se prépara à entrer dans les ordres.

Ordonné prêtre en 1640, Wallis se tourna finalement vers les mathématiques et obtint un poste d'enseignement de la géométrie à Oxford (époque où le chancelier de l'université était Olivier Cromwell).

Wallis se fit rapidement connaître comme un des plus grands mathématiciens de son époque. Avec Wren et son ami Lord Brouncker, Wallis fut membre fondateur de la Royal Society.

Ses travaux portent sur la géométrie analytique (coniques en particulier) et l'analyse "infinie" : calcul infinitésimal, rectification (calcul de la longueur d'un arc de courbe) et quadratures où, passant à la limite sans trop de précautions, il put cependant avancer des résultats exacts : Arithmetica infinitorum (Arithmétique des infinis, 1655) traitant de la convergence de ce que nous appelons aujourd'hui les suites et les séries numériques. A noter également, l'idée d'une représentation géométrique des nombres complexes (1685, De Algbra Tractacus) à la manière d'Argand (120 années plus tard...).

Arithmetica infinitorum de Wallis : plus précisément dénommé Arithmetica infinitorum, sive nova methodus inquirendi in curvilinearum quadratum aliaque problemata

Se dégageant de l'aspect géométrique des quadratures de Cavalieri (méthode des indivisibles), Wallis annonce, avec Fermat et Pascal, le calcul différentiel et intégral "moderne" que mettront en place Newton et Leibniz. Il se distingua en particulier en résolvant la quadrature de la cycloïde (suite à un défi de Pascal), de la cissoïde, de la conchoïde (1659) et des problèmes barycentriques. On lui doit aussi une rectification de la parabole semi-cubique (mais son élève Neile semble l'avoir précédé) où il exprime le résultat selon lequel la rectification d'une courbe (c) se ramène à la quadrature d'une courbe (c').

L'ensemble de ses travaux fut publié de son vivant entre 1697 et 1699 : trois importants volumes intitulés J. Wallisii Opera Mathematica.

Notion de suite et de série à l'époque de d'Alembert :
Traité des sections coniques, introduction de la géométrie analytique :

Dans son traité sur les sections coniques (Tractatus de sectionibus conicis, 1655), Wallis avance une définition et une étude des coniques en tant que courbes algébriques du second degré (donc en se dégageant de l'aspect géométrique des sections coniques) sous des formes équivalentes à :

y2 = px  (parabole)   et   a2y2 = px ± b2x2  (ellipse ou hyperbole)

Ce qui revient à étudier les coniques en prenant un sommet comme origine.

Il faut noter qu'en 1649, donc une dizaine d'années auparavant, le hollandais Frans Van Schooten (1615-1660) publiait, en latin, la Géométrie de Descartes dans laquelle il inséra les Notes brèves de Florimond de Beaune (1601-1652), juriste français, érudit passionné par les sciences. Ce dernier apportait des commentaires à la Géométrie et énonçait sensiblement les mêmes résultats concernant les coniques en tant que courbes du second degré.

Cependant, l'équation générale des courbes algébriques du second degré est de la forme :

ax2 + by2 + cxy + dx + ey + f = 0 , (a,b) (0,0)

et, quitte à changer de repère, l'équation d'une conique non dégénérée (non vide, non réduit à un point ou une droite) peut se mettre sous la forme y2 = p(x) où p est un polynôme du second degré en x.

A l'exception des cas particuliers, on peut montrer qu'une telle équation définit effectivement une conique. Suivant que 4a - c2 est > 0, nul ou < 0, on a généralement et respectivement une ellipse, une parabole ou une hyperbole (on parle de conique propre) pour exprimer que la courbe et l'équation générale peut se ramener aux trois formes ci-dessous, dites réduites :

x22 + y22 = 1  (ellipse     x22 - y22 = ± (hyperbole)         y2 = 2px  (parabole)

On remarquera que si α =  , l'ellipse x22 + y22 = 1 devient un cercle : cela correspond, au sens des sections coniques, au cas du plan coupant le cône perpendiculairement à son axe.

Étude :               Coniques selon Apollonius :           Coniques selon d'Alembert :

Conoïde de Wallis (ou Coin de Wallis ou Voûte d'arête en tour ronde) :

Il s'agit d'un conoïde droit dont la courbe directrice est un demi-cercle (c). Prenons (Oz) pour l'axe de (s), le plan (p) = (xOy) pour plan directeur, le demi-cercle étant orthogonal à (p), de rayon r, centré sur Ox à la distance d.

Le système d'équations cartésiennes de la droite génératrice est donné par la droite y = ax dans le plan z = k avec a variable et k fixé. Le demi cercle sera caractérisé par y2 + z2 = r2  et x = d. On en déduit la relation a2x2 + k2 = r2. Reportons x, y et z dans cette relation : cela élimine les paramètres a et k et on obtient :

x2z2 + d2y2 = R2d2  ou bien y2/x2 + z2/d2 = r2/d2

La première expression de l'équation montre que l'on est en présence d'une surface algébrique du 4ème degré : quartique.

On peut paramétrer cette surface, tracée ci-dessous avec le logiciel de Denis Monasse, en se restreignant à x compris entre 0 et d = 3, le rayon r étant égal à 2 :

On peut poser x = v.cos u, y = v.sin u représentant les coordonnées de H projection orthogonale d'un point M(x,y,z) de la surface. u est l'angle colorié en jaune sur la figure. Il varie entre -atan(2/3) et + atan(2/3) eu égard à OC = 3 et CA = CB = 2. v = OH varie de 0 à 3. On a y/x = tan u, donc z2 = 4 - 9tan2u et z varie entre 0 et 2.

Conoïde de Plücker :
Notations et symboles :

On doit à Wallis, dans ce traité, la notation pour désigner l'infini sans doute inspiré de l'ancienne notation romaine pour désigner 1000 (un "grand" nombre!) : graphisme représentant approximativement un alpha (α) fermé, soit un 8 "couché". De plus, selon Cajori, à la même époque, on utilisa un m : m comme mille.

Prolongeant la règle des exposants entiers, Wallis est aussi à l'origine des exposants fractionnaires; il utilisa également des exposants négatifs. Par exemple :

     

  Rappelons que c'est à Descartes que l'on doit cette notation en exposant des puissances d'un nombre x : le rang n de la puissance est placée à droite de et surélevée : xn. Newton en assoira définitivement l'usage.

Intégrale de Wallis et Formule de Wallis (Arithmetica infinitorum , 1655) :

que l'on intègre aisément par récurrence et que l'on utilise dans l'établissement de la formule de Wallis ci-dessous :

En remarquant que 4n2 - 1 = (2n + 1)(2n - 1), on peut faire apparaître des termes carrés au dénominateur et écrire :

Établissement de la formule de Wallis et programmation sur Tableur :

Ce produit infini intervient dans le calcul de la constante présente dans la formule de Stirling fournissant une approximation de la factorielle de n. La formule sera utilisée par Brouncker pour donner un développement de π en fraction continue, ce qui incitera Wallis à établir, avec Huygens, les premiers critères de convergence de telles fractions.

On peut programmer très facilement la formule en JavaScript. la convergence vers π est lente :

<SCRIPT LANGUAGE=JavaScript>
function formW()
{
n=1;p=4/3;
while(1)
{
   n++;q=4*n*n;p=p*q/(q-1);
   if(n%100==0)
  {
   pi=2*p;
   if(!confirm("n = "+n+" , pi = "+pi)) return
  }
}
}
</SCRIPT>


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