ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

WALLIS John, anglais, 1616-1703     Sébastien Bourdon, peintre français, 1616-1671, William Shakespeare (1564-1616)

Fils de pasteur, il fut élevé par sa mère car son père mourut alors qu'il n'avait que six ans. Calculateur prodige, très doué pour les mathématiques, il entra cependant à l'université de Cambridge pour étudier la philosophie, la médecine (il soutint une thèse sur la circulation sanguine) et les langues anciennes (latin, grec, hébreu) et se prépara à entrer dans les ordres.

Ordonné prêtre en 1640, Wallis se tourna finalement vers les mathématiques et obtint un poste d'enseignement de la géométrie à Oxford (époque où le chancelier de l'université était Olivier Cromwell).

Wallis se fit rapidement connaître comme un des plus grands mathématiciens de son époque. Avec Wren et son ami Lord Brouncker, Wallis fut membre fondateur de la Royal Society.

Ses travaux portent sur la géométrie analytique (coniques en particulier) et l'analyse "infinie" : calcul infinitésimal, rectification (calcul de la longueur d'un arc de courbe) et quadratures où, passant à la limite sans trop de précautions, il put cependant avancer des résultats exacts : Arithmetica infinitorum (Arithmétique des infinis, 1655) traitant de la convergence de ce que nous appelons aujourd'hui les suites et les séries numériques. A noter également, l'idée d'une représentation géométrique des nombres complexes (1685, De Algbra Tractacus) à la manière d'Argand (120 années plus tard...).

Se dégageant de l'aspect géométrique des quadratures de Cavalieri (méthode des indivisibles), Wallis annonce, avec Fermat et Pascal, le calcul différentiel et intégral "moderne" que mettront en place Newton et Leibniz. Il se distingua en particulier en résolvant la quadrature de la cycloïde (suite au défi de Pascal), de la cissoïde, de la conchoïde (1659) et des problèmes barycentriques. On lui doit aussi une rectification de la parabole semi-cubique (mais son élève Neil semble l'avoir précédé) où il exprime le résultat selon lequel la rectification d'une courbe (c) se ramène à la quadrature d'une courbe (c').

L'ensemble de ses travaux fut publié de son vivant entre 1697 et 1699 : trois importants volumes intitulés J. Wallisii Opera Mathematica.

Arithmetica infinitorum de Wallis : plus précisément dénommé Arithmetica infinitorum, sive nova methodus inquirendi in curvilinearum quadratum aliaque problemata

Notion de suite et de série à l'époque de d'Alembert :

Dans son traité sur les sections coniques (Tractatus de sectionibus conicis, 1655), Wallis avance une définition et une étude des coniques en tant que courbes algébriques du second degré (donc en se dégageant de l'aspect géométrique des sections coniques) sous des formes équivalentes à :

Ce qui revient à étudier les coniques en prenant un sommet comme origine.

Il faut noter qu'en 1649, donc une dizaine d'années auparavant, le hollandais Frans Van Schooten (1615-1660) publiait, en latin, la Géométrie de Descartes dans laquelle il inséra les Notes brèves de Florimond de Beaune (1601-1652), juriste français, érudit passionné par les sciences. Ce dernier apportait des commentaires à la Géométrie et énonçait sensiblement les mêmes résultats concernant les coniques en tant que courbes du second degré.

Cependant, l'équation générale des courbes algébriques du second degré est de la forme :

ax² + by² + cxy + dx + ey + f = 0 , (a,b) (0,0)

Cinq des coefficients sont donc indépendants : il faut au plus 5 points pour définir une unique conique passant par ces points. Suivant que b² - 4ac est < 0, nul ou > 0, on a généralement et respectivement une ellipse, une parabole ou une hyperbole et l'équation générale peut se ramener aux formes dites réduites :

• x²/a² + y²/b² = 1 (ellipse)

• x²/a² - y²/b² = ± 1 (hyperbole)

• y² = 2px (parabole).

Afin de prouver que l'équation générale donnée ci-dessus correspond aux coniques (éventuellement dégénérées : cercle, droites), il nous faut la ramener à une équation plus simple permettant de préciser la nature de la courbe. Deux cas fondamentaux se présentent :

1°/  a = 0 ou bien b = 0   

Traitons le cas b = 0 : l'équation se ramène à une expression rationnelle de y en fonction de x :

Exceptés les cas triviaux et les cas particuliers (droite si a = c = 0, parabole si c = 0), on obtient là une hyperbole. Pour s'en convaincre, on effectue la division polynomiale afin de ramener l'équation à la forme :

En posant Y = y - ax - b et X = cx + e, c'est à dire en choisissant comme axes de coordonnées les asymptotes de la courbe, est ramené à l'hyperbole XY = k. Cela revient à utiliser la transformation affine :

2°/  a ≠ 0, b ≠ 0   

Quitte à diviser par b, on se ramène au cas :  y² + ax² + cxy + dx + ey + f = 0 et afin d'éliminer le terme en xy, procédons comme d'Alembert en posant X = x, Y = y + (cx + e)/2, soit y = Y - cx/2 - e/2. Cela revient à utiliser la transformation affine :

On reporte et un calcul élémentaire conduit à :

(4a - c²)X² + 4Y² + (4d - 2ce)X + 4f - c² = 0,

équation que nous pouvons déclarer être de la forme Z² + Ax² + Bx + C = 0.

Voilà une équation bien plus sympathique où l'on reconnaît une parabole si A = 0. Si A est non nul, l'équation peut s'écrire au moyen de la forme canonique du trinôme :

Z² + AX² = K    avec cette fois X = x + B/2A et K = - C + B²/4A

Nous voilà ramené à une équation du type trouvé dans la définition d'une conique par foyer et directrice. Le cas A = 1, K positif fournit un cercle à condition que les axes soient orthogonaux. Le cas A > 0, K < 0 reste sans suite... Le cas A > 0, K > 0 correspond à une ellipse, les autres cas à une hyperbole.

Dans un repère orthonormé,  on considère la courbe d'équation 25x² + 9y² + 50x - 36y -164 = 0.
Montrer que (c) est une conique dont on précisera la nature.
Rép : on ramène l'équation à 25(x² + 2x) + 9(y² - 4y) -164 = 25(x + 1)² + 9(y - 2)² = 15² , soit : 
X²/9 + Y²/25 = 1   ellipse de centre W(-1;2).

Il s'agit d'un conoïde droit dont la courbe directrice est un demi-cercle (c). Prenons (Oz) pour l'axe de (s), le plan (p) = (xOy) pour plan directeur, le demi-cercle étant orthogonal à (p), de rayon r, centré sur Ox à la distance d.

Le système d'équations cartésiennes de la droite génératrice est donné par la droite y = ax dans le plan z = k avec a variable et k fixé. Le demi cercle sera caractérisé par y² + z² = r²  et x = d. On en déduit la relation a²x² + k² = r². Reportons x, y et z dans cette relation : cela élimine les paramètres a et k et on obtient :

x²z² + d²y² = R²d²  ou bien y²/x² + z²/d² = r²/d²

La première expression de l'équation montre que l'on est en présence d'une surface algébrique du 4ème degré : quartique.

On peut paramétrer cette surface, tracée ci-dessous avec le logiciel de Denis Monasse, en se restreignant à x compris entre 0 et d = 3, le rayon r étant égal à 2 :

On peut poser x = v.cos u, y = v.sin u représentant les coordonnées de H projection orthogonale d'un point M(x,y,z) de la surface. u est l'angle colorié en jaune sur la figure. Il varie entre -atan(2/3) et + atan(2/3) eu égard à OC = 3 et CA = CB = 2. v = OH varie de 0 à 3. On a y/x = tan u, donc z² = 4 - 9tan²u et z varie entre 0 et 2.

Conoïde de Plücker :

On doit à Wallis, dans ce traité, la notation pour désigner l'infini sans doute inspiré de l'ancienne notation romaine pour désigner 1000 (un "grand" nombre!) : graphisme représentant approximativement un alpha (a) fermé, soit un 8 "couché". De plus, selon Cajori, à la même époque, on utilisa un m : m comme mille.

Prolongeant la règle des exposants entiers, Wallis est aussi à l'origine des exposants fractionnaires; il utilisa également des exposants négatifs. Par exemple :

• x^-3 = 1/x³
   

• x = x^½ : notation qui prolonge la règle des exposants entiers xⁿx^p = x^{n + p} :  x^½ x^½ = x^{½ + ½} = x¹ = x.

Rappelons que c'est à Descartes que l'on doit cette notation en exposant des puissances d'un nombre x : le rang n de la puissance est placée à droite de et surélevée : xⁿ. Newton en assoira définitivement l'usage.

que l'on intègre aisément par récurrence et que l'on utilise dans l'établissement de la formule de Wallis ci-dessous :

En remarquant que 4n² - 1 = (2n + 1)(2n - 1), on peut faire apparaître des termes carrés au dénominateur et écrire :

Établissement de la formule de Wallis et programmation sur Tableur :

Ce produit infini intervient dans le calcul de la constante présente dans la formule de Stirling fournissant une approximation de la factorielle de n. La convergence vers p est lente; on peut programmer très facilement la formule en JavaScript :

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Pell  Mercator Nicolaus

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