ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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CESARO Ernesto, italien, 1859-1906

»  Source biographique et portrait : Societa Italiana di Storia delle matematiche , baie de Naples : wikimedia

Originaire de Naples où il fit ses études secondaires, Cesaro se rendit à  Paris et à Liège (École des Mines) afin de poursuivre des études supérieures. De retour en Italie, il obtient par concours (1886) un poste d'enseignement en analyse algébrique à l'université de Palerme. L'année suivante, il obtenait son doctorat à Rome.

Nommé professeur de calcul différentiel à l'université de Naples (1891), Cesaro conserva ce poste jusqu'en 1906, année de sa mort. Une chaire de mécanique rationnelle à Bologne devait lui être confiée : il mourut tragiquement à Torre Annunziata (station balnéaire près de Naples) en tentant de sauver en vain un enfant de la noyade.

Ernesto Cesaro publia de nombreux mémoires et traités. Pendant toute sa carrière, il s'intéressa aux géométries non euclidiennes et aux surfaces à courbure constante sur lesquelles on peut définir une géométrie intrinsèque, c'est à dire relevant de la métrique que l'on peut y définir indépendamment celle de l'espace qui les contient. Des travaux qui furent brillamment initiés par Gauss avec sa théorie des surfaces dans les années 1820. Cesaro nous est cependant essentiellement connu pour ses résultats sur les suites et les séries numériques (convergence des séries entières).

On a la propriété suivante :

Si la suite (u_n) converge vers u, alors la suite de terme général

v_n = (u₁ + u₂ + ... + u_n)/n

est également convergente et sa limite est encore u.

Preuve : notons L la limite de la suite (u_n). Pour tout ε > 0, aussi petit soit-il, il existe un entier naturel N tel que |u_n - L| < ε dès que n > N. On peut écrire :

Notons maintenant M le plus grand des |u_k - L| pour 1 ≤ k ≤ N. On a |v_n - L| 1 ≤ M/n + (n - M)ε/n < M/n + ε. Cette majoration montre que |v_n - L| peut être rendu arbitrairement petit à partir d'un certain rang : (v_n) converge vers L.

 !   Réciproque est fausse :   

Considérer la suite divergente (u_n) définie par un = (-1)ⁿ. On vérifiera facilement que (v_n) est la suite vérifiant v_n = 0 si n est pair et v_n = 1/n si n est impair. La suite (v_n), moyenne arithmétique des u_n, est donc convergente vers 0.

Dans un tel cas, on dira que la suite (u_n), quoique non convergente, converge en moyenne arithmétique.

Noter cependant que :    

Si la suite v_n = (u₁ + u₂ + ... + u_n)/n est convergente et si u_n est monotone (croissante ou décroissante) alors (u_n) converge vers la même limite.

Sommes d'Euler :  »                Sommes de Fejér :  »

Conséquence 1 :     

∗∗∗ Preuve à compléter : on note v_n les sommes partielles de la série de terme général u_n/n, v sa somme et w_n  les sommes partielles de la série de terme général u_n (les sommes s'étendant de 1 à n). En remarquant que l'on peut écrire w_n = Σ i(v_i - v_i-1), vérifier que l'on a w_n = (1 + 1/n) × v_n - 1/n × Σv_i. Utiliser alors la propriété de Cesaro.

Conséquence 2 :     

Si (u_n) et (v_n) sont deux suites convergentes, la première vers u, la seconde vers v, alors la suite de terme général w_n = (u₁v_n + u₂v_n-1 + ... + u_nv₁)/n est convergente et sa limite est uv.

Preuve : la suite (v_n) étant convergente vers v, on peut écrire v_n = b + z_n, la suite (z_n) tendant vers 0. Donc :

w_n = b(u₁ + u₂ + ... + u_n)/n + (u₁z_n + u₂z_n-1 + ... + u_nz₁)/n

Selon la propriété de Cesaro, le premier terme du second membre converge vers ab. La suite (u_n) étant convergente, elle est bornée : il existe un nombre strictement positif M tel que |u_n|< M. En valeur absolue, le second terme est majoré par M × (z_n + z_n-1 + ... + z₁)/n qui tend vers 0 par une seconde application de la propriété.

Théorème de Cesaro généralisé :     

Le premier théorème de Cesaro peut s'énoncer en termes d'isobarycentre des valeurs de la suite (u_n). On a, plus généralement, ce résultat :

Si (a_n) est une suite de réels positifs telle que la série Σa_n diverge, alors si la suite (u_n) est convergente de limite u, il en est de même de la suite (v_n) définie par la somme pondérée :

Un résultat étonnant dû à Cesaro (1881) :    

la probabilité de choisir au hasard deux entiers premiers entre eux est égale à 1/ζ(2) = 6/π²

 ➔   Pour en savoir plus sur ce résultat :

1.  !   Une démo fausse... : probabilité de choisir au hasard deux entiers premiers entre eux

2. Sur CutTheKnot.org : http://www.cut-the-knot.org/m/Probability/TwoCoprime.shtml#Yagloms

3. Exercices de mathématiques, oraux X-ENS - Algèbre 1, par S. Francinou, H. Gianella, S. Nicolas.
   Exercice 4.32, Ed. Cassini - Paris, 2001.

4. Exercices corrigés de mathématiques (option M', P'), oraux X-ENS - Tome 1 - Algèbre I
   par Eric Leichtnam - Exercice 1.26, Collection Ellipses - Paris, 1999.

Calcul de ζ(2) : »

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Peano   Hölder

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