ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

VENN John, anglais, 1834-1923

Venn fit des études de mathématiques à Cambridge (Gonville & Caius College). Docteur es sciences, il obtient un poste de professeur de sciences morales à Cambridge tout en se vouant à la logique mathématique.

  Vous avez un doute quant au sens précis de sciences morales ? C'est normal. Voyez alors sur le site La revue pour l'histoire du CNRS, l'article Les « sciences morales », de la gloire à l'oubli à l'adresse : http://histoire-cnrs.revues.org/4551.

Venn publia un premier traité Logic of chance (1866) et, 15 ans plus tard, en 1881, Symbolic Logic avec la représentation géométrique de la logique propositionnelle sous forme de courbes fermées sans points doubles ("patates") : diagrammes de Venn, annonçant les ensembles de Cantor et que connurent les collégiens à l'époque héroïque (et douloureuse...) de l'enseignement des mathématiques modernes des années 1970.

En fait, Euler les avait déjà utilisés pour le raisonnement logique ( de Morgan) mais sous forme de cercles (on parle alors parfois de représentation d'Euler) :

                diagrammes de Carroll

Ci-dessus :


Prouver par un diagramme de Venn les égalités :
A(BC) = (AB) (AC) et A(BC) = (AB) (AC)
(distributivité de l'une sur l'autre des opérations ensemblistes et )



réponse (en jaune pâle) à la première égalité : A en rouge, B en vert, C en bleu , A(BC) = (AB) (AC)

Les limites du raisonnement par diagramme de Venn :

Plus généralement, dans le cas logique ou ensembliste, le dessin se complique si on a plus de 3 composants. Dans le cas ensembliste, s'il y a n ensembles composants patatoïdes (de contour fermé sans points doubles (pas de patates en forme de 8...), leur réunion est un ensemble dont l'intérieur contient toutes les intersections éventuellement vides (les et) et réunions (les ou) possibles. Cette réunion correspond à la tautologie toujours vraie. Le nombre de cas est donc le nombre de parties d'un ensemble de n éléments. On démontre facilement que ce nombre est 2n ( ici ou ).

Pour n = 3, on a donc 8 cas (7 régions intérieures) et pour n = 4, c'est déjà plus compliqué : 16 cas (15 régions intérieures). Si n = 5, on aura 2n - 1 = 31 régions.

Si pour n = 3, le choix des formes à utiliser est simple et multiple (par exemple 3 cercles centrés en les sommets d'un triangle équilatéral), il l'est moins déjà moins pour 4. Généralement, puisque « ça marche pour 3 », partant de 4 cercles centrés en les sommets d'un carré, on obtient ceci :

et on s'aperçoit avec horreur qu'il n'y a que 13 parties intérieures au lieu de 15. La situation s'aggrave avec n = 5 (pentagone) où l'on trouvera seulement 21 régions. Vous l'avez compris, on n'a ici que n(n - 1) + 1 régions. Le cas n = 3 est correct mais la généralisation s'avère radicalement fausse ! La raison en est que ces types de schéma sont des cas très particuliers : pas assez d'intersections dû à trop de symétries. Mais on peut aussi trouver trop d'intersection. Car si deux cercles intersectés peuvent créer 3 zones, deux ellipses peuvent en créer 5 ! Voici une illustration convaincante :


Vous pouvez déplacer les ellipses (éviter les hyperboles...) et plus particulièrement la noire grâce à sa poignée.
Au départ, on a 19 intersections... on peut revenir à 15...

Un diagramme adapté à la représentation ensembliste ne peut pas rendre compte d'une situation logique s'il ne tient pas compte des propriétés vérifiées par les composants. D'ailleurs, les diagrammes ensemblistes ne rendent généralement pas non plus compte de spécificités (ensembles à trous, ou non connexes), ils ne peuvent aider à la compréhension ou guider le raisonnement que dans des cas élémentaires et peuvent induire des redondances (cas inutiles), des insuffisances ou des absurdités.

L'algèbre de Boole, trente ans plus tôt, était (et est encore) en mesure de traiter très efficacement l'algèbre des ensembles et l'algèbre de la logique propositionnelle qui sont pour elle un modèle.

On trouvera cependant en cliquant ci-dessous un site pédagogique canadien très intéressant (Centre collégial de développement de matériel didactique) qui précise bien les prémisses afin de conclure correctement (propositions simples ou composées jusqu'à n = 4). Le second lien montre un usage des diagrammes de Venn dans un cas simple de dénombrement :

Exercices logiques (logiciel en ligne) :               Dénombrement et diagrammes de Venn :
Choisir tout d'abord le mode tuteur. Selon le vocabulaire aristotélicien qu'emprunta
De Morgan :
Tout A est B signifie A B, Nul A n'est B : AB = , Quelques A sont B : A B

Lois de Morgan :Diagrammes de Carroll :   Frege , Peirce


Laguerre  Beltrami
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