ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Les notions de topologies combinatoire & algébrique
    
  Homéomorphisme | Difféomorphisme
            Notion d'homologie | Topologie différentielle | Topologie générale | Espaces métriques

L'ampleur et la complexité de ces notions relativement récentes, interconnectées avec toutes les branches des mathématiques traditionnelles et contemporaines ne permettent qu'un développement limité absent de développements techniques dans le cadre de ce site. On trouvera en bas de page des références et des liens universitaires exposant ces difficiles sujets.

Introduction :    

Rappelons que le terme topologie, dû au mathématicien allemand Yohann Listing en 1847, est construit sur le grec logos = discours au sens discursif : étude, raisonnement et sur topos = lieu, site. C'est ainsi que la topologie s'intéresse aux lieux et aux objets qui les composent.

Ce concept mathématique de topologie prend ses sources chez Leibniz et Euler. Dans les années 1672-79, le premier cité s'adonna à des travaux qu'il qualifia d'analysis situs au sens de l'analyse de situations combinatoires d'objets de nature géométrique, à la recherche d'un langage mathématique adéquate susceptible de décrire ces situations. Le second nous a légué son célèbre problème des ponts des 7 Königsberg : Partant d'un point de la ville, peut-on se promener en revenant à son point de départ, en passant une seule fois par tous les ponts ? Un problème combinatoire dont la réponse est non.

      

Afin de résoudre un problème de topologie, il faut de nouveaux outils adaptés. Pour les sujets évoqués ci-dessus, le meilleur outil est la théorie des graphes dont Leibniz en sera le précurseur et Euler le fondateur. 

Le nombre chromatique d'une carte (avec le célèbre problème des 4 couleurs) étudiés par Cayley ou encore la formule de Descartes-Euler S - A + F = 2 pour les polyèdres sont encore des exemples de topologie combinatoire appelée analysis situs jusqu'au début du 20è siècle, par Poincaré en particulier. En 1926, Alexander parlait de combinatorial analysis situs.

Le sujet prenant de l'ampleur, l'appellation latine analysis situs disparait avec Fréchet au profit de la topologie combinatoire ( réf. 1) et cette topologie s'intéressant aux lieux et aux objets qui les composent, est ainsi de nature géométrique. On s'intéressa aux formes de ces objets et aux déformations d'un objet en un autre : depuis Poincaré, on parle d'homéomorphie ( § ci-après). Une nouvelle branche, très prolifique est née. Elle permettra en particulier le dénombrement des types de surfaces (on dit plutôt leur classification) de l'espace usuel 3D en définissant leur genre, lié au nombre de trous qu'elles contiennent.

La complexité croissante des objets mathématiques étudiés dans des espaces abstraits amena les mathématiciens à algébriser la topologie. Dans son programme d'Erlangen, afin de classifier les différentes géométries de l'espace, Félix Klein définit les concepts de groupes de transformations et d'invariant de groupe qui, appliqués à la topologie, seront les outils fondamentaux de la topologie algébrique, nouvelle terminologie qu'imposera Lefschetz, avec un nouveau concept initié par Poincaré : l'homologie.

Afin de pouvoir décrire les relations de proximités entre les objets et éléments d'ensembles abstraits, les mathématiciens ont créé la topologie générale dont la théorie s'adapte à toute la mathématique et au monde de la physique : espaces euclidiens, espaces fonctionnels (les éléments sont des fonctions), espaces vectoriels, structures algébriques, variétés algébriques, topologiques et différentielles, probabilités et statistique, astronomie, structure de l'univers, équations différentielles, et bien d'autres... :

Les bases de la topologie générale :             7 problèmes à 1 million de dollars... :

Le développement de la topologie algébrique sera assuré en particulier par Dehn, Emmy Noether, Hopf et Alexander. La notion d'homologie a depuis grandement évolué. C'est aujourd'hui un outil indispensable de la topologie différentielle permettant en particulier la classification des variétés différentielles de dimension quelconque.

Premier outil de la topologie : l'homéomorphie

Les objets étudiés en topologie le sont au sens de leur morphologie. Par exemple, la sphère (comparable à un ballon non crevé...), n'est pas semblable à un tore (comparable à une chambre à air gonflé): pour tenter passer de l'une à l'autre de ces surfaces, il faudra percer (ou reboucher) un trou !

Il s'agit alors de définir et d'étudier avec rigueur cette approche intuitive du passage continu d'une forme A à une autre forme B, et vice versa : on parle de transformation topologique et plus précisément d'homéomorphie (du grec homoios, homos = semblable et morphê = forme), terme dû à Fréchet  dans ses recherches en théorie des dimensions (Les dimensions d'un ensemble abstrait, 1910, ref. 2).

Ce terme d'homéomorphie est dérivé d'homéomorphisme que l'on doit à Poincaré 15 ans auparavant (Analysis situs, 1895) et qui fut adopté par Riesz dans sa Genèse de la notion d'espace (Die Genesis des Raum Begriffs, 1906). Sémantiquement, le terme féminin d'homéomorphie pour désigner une transformation topologique, peut sembler préférable à homéomorphisme, trop proche de homomorphisme vu que homo et homéo, dérivés du grec, ont le même sens de semblable.

Plus rigoureusement : si E et F désignent deux espaces topologiques, une homéomorphie de E sur F est une bijection de l'ensemble des ouverts de E sur l'ensemble des ouverts de F. Les espaces E et F sont alors dits homéomorphes.

Pour qu'il en soit ainsi, il faut et il suffit qu'il existe une bijection bicontinue de E sur F (bijection continue dont la réciproque l'est aussi). On passe "continûment" de E à F et inversement : deux espaces topologiques homéomorphes sont donc "semblables" et toute propriété de la topologie de l'un sera vérifiée par l'autre.


Montrer que R est homéomorphe à ]-1,1[. On pourra utiliser x x/(1 - |x|) En déduire que R est homéomorphe
à tout intervalle borné ]a,b[ en construisant une fonction affine transformant ]a,b[ en  ]-1,1[

Deux objets homéomorphes seront dits topologiquement équivalents : intuitivement, comme décrit par Fréchet en parlant de géométrie du caoutchouc dans son Introduction à la topologie combinatoire (1946) : imaginons un cube mou extensible (une chambre à air en quelque sorte) inscrit dans une sphère rigide. Gonflons ce cube tant et si bien qu'il finisse pas se confondre avec la paroi de la sphère. Il s'agit d'une déformation continue sans déchirement. En dégonflant le cube, il reprendra sa forme initiale : on passe donc du cube à la sphère par homéomorphie.

Ci-dessus la sphère a été divisée en 6 polygones curvilignes ayant deux à deux une arête commune et une seule. Inversement, à toute division de la sphère par des polygones curvilignes possédant cette propriété, correspond un polyèdre auquel la sphère est homéomorphe. La formule de Descartes-Euler S - A + F = 2 s'y applique. On dira que la sphère est une surface de caractéristique 2.  

La notion d'invariant topologique :    

Des propriétés propres à certains objets mathématiques se conservant par homéomorphie sont qualifiées d'invariants topologiques. On parle aussi de propriétés topologiques. La nature de ces propriétés peut être arithmétique, algébrique, géométrique, voire différentielle. Si une propriété est vraie dans A, alors elle sera vraie dans B, image homéomorphe de A.

Exemples d'invariants topologiques :

Invariant géométrique & groupes de transformations :

L'un des buts essentiels de la topologie est d'étudier les propriétés invariantes par homéomorphie afin de déduire les propriétés de A de celles de B pouvant être plus simples à étudier : c'est l'Analysis Situs voulu par Euler et que développèrent Riemann, puis Poincaré en élargissant ce cadre au moyen du calcul différentiel nécessaire à l'étude des problèmes d'orientation des surfaces. On entre alors dans la topologie différentielle !

Ruban de Möbius :           Surfaces de Riemann :           Conjectures de Poincaré :

  En géométrie différentielle, un homéomorphisme différentiable est appelé difféomorphisme : c'est le cas entre la sphère et l'ellipsoïde. Mais le cube et la sphère sont seulement homéomorphes.

  
Voici, ci-dessous à droite, un pavé évidé. Dans le cadre de notre géométrie du caoutchouc, il est clair que ce polyèdre troué est homéomorphe au tore. Après l'avoir décomposé en polygones ayant deux à deux une arête commune et une seule, dénombrer ses sommets S, ses arêtes A et faces F et montrer que dans ce cas S - A + F = 0 : c'est la caractéristique du tore.

Retournement du tore (images des Maths , CNRS) :                    L'Huillier 

Second outil de la topologie : l'homologie     (à distinguer de la cohomologie   

L'idée, évoquée ci-dessus, de diviser les surfaces en un nombre fini de polygones curvilignes afin d'en découvrir certaines propriétés topologiques afin, en particulier, d'en obtenir une classification, est due à Henri Poincaré (Analysis situs, 1895) :  on remplace localement, sous certaines conditions, tout élément de courbe ou surface par un élément polygonal ou polyédrique qui lui est homéomorphe.

Par réunion sans recouvrement de tels éléments, une surface close (une sphère, un tore, par exemple) sera homéomorphe à une surface polyédrique, réunion de simplexes, et alors appelée complexe  simplicial  ou simplement complexe, termes introduits par Brouwer.

Le procédé n'est pas simple car il est compliqué par les problèmes d'orientation (le ruban de Möbius n'est pas orientable) et les difficultés liées à la présence ou non de bords des surfaces étudiées.

On a parlé ci-dessus de surface close (on dit aussi fermée), c'est à dire sans bord, comme la sphère, variété algébrique de dimension 2, s'interprétant, au sens de la topologie générale, comme une partie compacte et connexe. Poincaré appela homologie ce principe de raisonnement (logos) sur des objets semblables (homos). 

Les outils actuels de l'homologie sont en particulier les suites exactes de groupes homomorphes et les catégories avec leurs morphismes et foncteurs. Sur ce sujet abstrait, branche de la topologie algébrique, introduite au début des années 1940 par les mathématiciens américains Samuel Eilenberg et Saunders Mac Lane, et dont s'emparera brillamment le français Alexandre Grothendieck. On pourra consulter les liens universitaires in fine ( réf. 11-13).

L'algèbre homologique :   

Développée dans les années 1950 par Leray, Henri Cartan et Eilenberg, l'algèbre homologique consiste (en résumant très sommairement) à tenter de faire correspondre, via un foncteur, un groupe G (voire une structure algébrique plus forte : module, anneau ou corps) à un espace topologique E dont les invariants permettront d'établir par des méthodes algébriques plus simples à appréhender, des propriétés topologiques propres à l'espace E.

Pour ce faire, on fait appel à un second espace topologique F "mieux connu" associé à un groupe H isomorphe à G et la connaissance des propriétés topologiques invariantes par un homéomorphisme de E sur F permettra de connaître les propriétés topologiques de E.

Comme le résume si bien Alain Bouvier et Michel George dans leur dictionnaire des mathématiques : la topologie algébrique est l'étude des foncteurs de la catégorie des espaces topologiques dans la catégorie des groupes. A la manière de Klein pour les géométries, on pourra classer les espaces topologiques, à un homéomorphisme près, par un groupe, dit fondamental, dont il est un invariant.

La notion de catégorie :         Convexité, simplexes, homotopie :


Si homologie et cohomologie coexistent dans certains développements de topologie et de géométrie algébriques ou différentielles, cette dernière est un invariant topologique d'une grande complexité ! La mise en œuvre de sa définition, de son intérêt et de son usage nécessitent une rigueur, des acquis et des prérequis de haut niveau auxquels l'humble auteur de ces pages n'a pas été formé et est incompatible avec l'objectif premier de cette chronologie ...
Place aux spécialistes :


  Pour en savoir plus :

  1. Introduction à la topologie combinatoire, Maurice Fréchet et Ky Fan, Paris -1946
  2. Les dimensions d'un ensemble abstrait, Maurice Fréchet :
    http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PID=GDZPPN002263041
  3. La géométrie contemporaine, par André Delachet, Que sais-je n° 401, éd. PUF, Paris - 1950
  4. Homology theory, Encyclopedic Dictionary of Mathematics (Tome 1)
    MIT Press Cambridge (Massachusetts) et London (England), 1993
  5. Simplexes et complexes simpliciaux par H. Cartan sur le site Numdam :
    http://www.numdam.org/item?id=SHC_1948-1949__1__A1_0

  6. Analysis Situs, topologie algébrique des variétés (site Analysis Situs du CNRS) : http://analysis-situs.math.cnrs.fr/
  7. Théorie élémentaire des invariants algébriques, un diaporama au format pdf de Driss Boularis, IREM Limoges :
    http://www.unilim.fr/pages_perso/driss.boularas/invth.pdf

  8. Géométrie différentielle élémentaire (363 pages), par Frédéric Paulin, univ. Paris-sud :
    http://www.math.u-psud.fr/~paulin/notescours/cours_geodiff.pdf
  9. La naissance de la cohomologie des groupes, par Nicolas Basbois, univ. Nice-Sophia Antipolis, 2009 :
    https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00430204/document
  10. Cohomologie de de Rahm pour les formes différentielles (site Analysis Situs du CNRS) :
    http://analysis-situs.math.cnrs.fr/Definition-de-la-cohomologie-de-de-Rham.html
    Georges de Rham : mathématicien et alpiniste suisse (1903-1990) spécialiste en topologie différentielle et théorie de Hodge. Il fut à Paris un étudiant d'Elie Cartan et de Lebesgue, lequel dirigea sa thèse de doctorat, Sur l'analysis situs des variétés à n dimensions" (1931).
     
  11. Théorie des catégories :
    a/ Les catégories pour les nuls, une vidéo YouTube d'Anatole Khélif, maître de conférences, univ. Paris-Diderot (2016) :
      https://www.youtube.com/watch?v=LVHoROSF3KA
    b/ Structures mathématiques du langage, par Alain Lecomte (univ. Paris8) :
    http://lecomte.al.free.fr/ressources/PARIS8_LSL/SML-CatNewPlus.pdf
    c/ Bourbaki et la théorie des catégories, par Ralf Kromer, univ. Nancy2 (2006) :
    http://smf4.emath.fr/Publications/RevueHistoireMath/12/pdf/smf_rhm_12_119-162.pdf
  12. Homological algebra, Henri Cartan & Samuel Eilenberg sur archive.org : https://archive.org/details/homologicalalgeb033541mbp
  13. Catégories, foncteur, algèbre homologique et théorie des faisceaux, DEA Math., par Bernard Le Stum, univ. Rennes1, année 1994-95
    https://perso.univ-rennes1.fr/bernard.le-stum/Documents_files/Algèbre homologique et théorie des faisceaux.pdf
     


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