ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Nombres et polynômes de Bernoulli

Les polynômes de Bernoulli, notés Bn(x), attribués à Daniel Bernoulli, peuvent être définis par récurrence au moyen des trois conditions :

Bo(x) = 1
pour tout n : B'n+1(x) = (n + 1)Bn(x)

Ces polynômes apparaissent dans de nombreux développements en série, dans des problèmes d'interpolation : approximation de fonctions par des expressions polynomiales. Ils sont également liés aux fonctions zêta de Riemann.

  Les nombres de Bernoulli sont les nombres Bn = Bn(0).


Calculer B1(x) , B2(x) , B3(x) , B4(x). On donne B6(x) = x6 -3x5 + 5x4/2 - x2/2 + 1/42, en déduire B5(x).
Rép : B1(x) = x - 1/2 , B2(x) = x2 - x + 1/6 , B3(x) = x3 -3x2/2 + x/2 , B4(x) = x4 -2x3 + x2 - 1/30. B5(x) = x5 -5x4/2+ 5x3/3 - x/6


Représentations graphiques de B1 (vert) , B3(x)  (bleu)  B5(x)  (rouge)

On vérifiera aisément par récurrence que pour n 1 : 

Bn+1(1) = Bn+1(0) , Bn(1 - x) = (-1)nBn(x)  et  Bn(x + 1) - Bn(x) = n.xn-1

et dans le cas n impair au moins égal à 3, on montrera que Bn(1) = Bn(0) = Bn(1/2) = 0 :  les Bn sont nuls pour n impair distinct de 1.

Pour info :

Bo = 1 , B1 = -1/2 , B2 = 1/6, B4 = -1/30 , B6 = 1/42, B8 = -1/30, B10 = 5/66 ,
B
12 = - 691/2730, B14 = 7/6 , B16 = -3617/510, ...

 Dans le développement de la somme des puissances p-èmes des n premiers entiers naturels (p entier), à savoir :

Jakob Bernoulli prouva la formule suivante :

S = np+1/(p+1) + np/2 + Cp1np-1B2/2 + Cp3np-3B4/4  + ... + Cp2k-1np-(2k-1) × B2k/2k + ...

Les Cnk sont les combinaisons usuelles. La somme se poursuit tant que l'exposant de n n'est pas nul.

 

Euler retrouve ces polynômes dans le développement en série ci-dessous :

Lorsque x = 0, on obtient le développement de t /(et - 1); on remarquera que les B2n+1 sont nuls puisque la fonction t t /(et - 1) - 1 + t /2 est une fonction paire (vérifiez-le !); par suite, eu égard à Bo(x) = 0 et B1(x) = x - 1/2 :

t /(et - 1) - 1 + t/2 = B2t2/2! + B3t3/3! + B4t4/4! + ...
 
Nombres de Bernoulli et nombres zêta de Riemann :

Euler établit (1736) un lien entre les nombres de Bernoulli et les fonctions ζ de Riemann :

2 x (2π)2n-1 x  B2n/ ζ(2n) = (-1)n-1 x (2n)!

Nombres d'Euler et  ZigZag :

Pour en savoir plus :


© Serge Mehl - www.chronomath.com