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Nombres et polynômes de Bernoulli

Les polynômes de Bernoulli, notés B_n(x), attribués à Daniel Bernoulli, peuvent être définis par récurrence au moyen des trois conditions :

• B_o(x) = 1
• pour tout n : B'_n+1(x) = (n + 1)B_n(x)
•

Ces polynômes apparaissent dans de nombreux développements en série, dans des problèmes d'interpolation : approximation de fonctions par des expressions polynomiales. Ils sont également liés aux fonctions zêta de Riemann.

 ➔  Les nombres de Bernoulli sont les nombres B_n = B_n(0).

∗∗∗
Calculer B₁(x) , B₂(x) , B₃(x) , B₄(x). On donne B₆(x) = x⁶ -3x⁵ + 5x⁴/2 - x²/2 + 1/42, en déduire B₅(x).
Rép : B₁(x) = x - 1/2 , B₂(x) = x² - x + 1/6 , B₃(x) = x³ -3x²/2 + x/2 , B₄(x) = x⁴ -2x³ + x² - 1/30. B₅(x) = x⁵ -5x⁴/2+ 5x³/3 - x/6

Représentations graphiques de B₁ (vert) , B₃(x)  (bleu)  B₅(x)  (rouge)

On vérifiera aisément par récurrence que pour n ≥ 1 : 

B_n+1(1) = B_n+1(0) , B_n(1 - x) = (-1)ⁿB_n(x)  et  B_n(x + 1) - B_n(x) = n.x^n-1

et dans le cas n impair au moins égal à 3, on montrera que B_n(1) = B_n(0) = B_n(1/2) = 0 :  les B_n sont nuls pour n impair distinct de 1.

 !  Pour info :    

B_o = 1 , B₁ = -1/2 , B₂ = 1/6, B₄ = -1/30 , B₆ = 1/42, B₈ = -1/30, B₁₀ = 5/66 ,
B₁₂ = - 691/2730, B₁₄ = 7/6 , B₁₆ = -3617/510, ...

 ➔  Dans le développement de la somme Σ_{o ≤i ≤n} i^p des puissances p-èmes des n premiers entiers naturels (p entier fixé), Jakob Bernoulli prouva la formule suivante :

S = n^p+1/(p+1) + n^p/2 + C_p¹n^p-1B₂/2 + C_p³n^p-3B₄/4  + ... + C_p^2k-1n^{p-(2k-1) ×} B_2k/2k + ...

Les C_n^k sont les combinaisons usuelles. La somme se poursuit tant que l'exposant de n n'est pas nul.

• Par exemple, pour p = 3 et n = 4 : S = 1³ + 2³ + 3³ + 4³ = 100 = 4⁴/4 + 4³/2 + 3 ×4² ×(1/6) /2

Euler retrouve ces polynômes dans le développement en série ci-dessous :

Lorsque x = 0, on obtient le développement de t /(e^t - 1); on remarquera que les B_2n+1 sont nuls puisque la fonction t → t /(e^t - 1) - 1 + t /2 est une fonction paire (vérifiez-le !); par suite, eu égard à B_o(x) = 0 et B₁(x) = x - 1/2 :

Euler établit (1736) un lien entre les nombres de Bernoulli et les fonctions ζ de Riemann :

Nombres d'Euler et  ZigZag :  »

 ➔   Pour en savoir plus :

• Sur les zéros réels des polynômes de Bernoulli par Hubert Delange :
  http://archive.numdam.org/article/AIF_1991__41_2_267_0.pdf