ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Pierre Simon de FERMAT, français, 1601?/1608?-1665                            Né cette année-là : Louis XIII, roi de France et de Navarre (1601-1643) | Evangelista Torricelli (1608-1647)          » Grand théorème | Petit théorème | Nombres de Fermat | Point de Fermat | » Prix Fermat

Pierre Simon de Fermat naquit à Beaumont de Lomagne, village proche de Toulouse, fils d'un riche marchand et échevin (magistrat local) et, sans doute de Claire de Long, fille d'une famille de juristes, seconde épouse de son père.

Depuis une vingtaine d'années, un doute plane sur l'année de naissance de Fermat. Les historiens mettent en doute l'an 1601, incompatible, selon eux, avec des sources selon lesquelles il serait mort à l'âge de 57 ans, donc né en 1608 et qu'il serait effectivement le fils de Claire de Long et non pas de Françoise Cazeneuve, la première épouse. Trois Pierre Fermat seraient nés entre 1601 et 1608 dans un flou des registres communaux et paroissiaux (» réf.15) mêlant dates de naissance et de baptême...

Quoi qu'il en soit, Fermat étudia le droit à Toulouse, puis à Bordeaux où il s'adonne aux mathématiques en découvrant l'algèbre de François Viète et la géométrie grecque exposée par ce dernier dans son Apollonius gallus. C'est à Orléans qu'il sera diplômé en droit civil (1631). Quelques mois plus tard, de retour à Toulouse, il épouse sa cousine maternelle, Louise de Long.

» Apollonius de Perge

Philologue, parlant couramment l'italien, l'espagnol, le grec et le latin (indispensable à l'époque pour tout érudit en lettres ou sciences), Fermat fut administrateur au Parlement de Toulouse (l'équivalent d'une cour de justice) puis Conseiller du Roi (1648) à Castres. Ce serviteur de l'État qui assuma les devoirs de sa charge avec rigueur et compétence et quoique mathématicien amateur autodidacte, restera dans la mémoire des hommes comme un des plus grands mathématiciens du 17è siècle. Il fut un des artisans fondateurs de l'Académie des sciences qui vit officiellement le jour un an après sa mort.

 ➔  En 1891 et 1922, les éditions Gauthier-Villars & fils rééditèrent une grande partie des travaux de ce grand mathématicien (en particulier ces correspondances avec Mersenne, Descartes, Pascal père et fils et Roberval) sous l'égide de MM. Paul Tannery et Charles Henry. On en trouvera une version électronique (4 volumes + compléments) publiée par l'université du Michigan. Fermat écrivait souvent en latin, langue véhiculaire des sciences de l'époque, mais la majeure partie est en français (en particulier les correspondances, tome 2).

 i  Paul Tannery : savant français (1843-1904), polytechnicien, historien des sciences. Charles Henry : savant et érudit français (1859-1926), bibliothécaire et maître de conférence à la Sorbonne.

Sur ce même site, on trouvera en tome 3, l'étude des lieux plans d'Apollonius de Perge, reprise (1629) de la version grecque de Pappus d'Alexandrie, un ensemble impressionnant de propositions géométriques relatives à des lieux géométriques, sujet cher à l'enseignement des mathématiques jusque dans les années 1960...

Un nombre premier p peut se décomposer en somme de deux carrés si et seulement si p + 1 n'est pas multiple de 4

• 13 = 9 + 4 , 17 = 16 + 1 , 31 + 1 = 32 = 4 × 8 multiple de 4, donc l'entier premier 31 ne convient pas.

• 61 = 25 + 36 = 5² + 6² , 97 = 16 + 81 = 4² + 9².

La fameuse conjecture, souvent qualifié de grand (ou dernier) théorème de Fermat, malgré la démonstration introuvable de ce dernier, fut publiée en latin et énonce :

p + q√(-3) = [t + u√(-3)]³  et  p - q√(-3) = [t - u√(-3)]³. D'où p² + 3q² = [p + q√(-3)]×[(p - q√(-3)] = (t² + 3u²)³

• En 1823, Sophie Germain prouva la conjecture pour les entiers premiers n tels que 2n + 1 le soient aussi, comme par exemple x⁵ + y⁵ = z⁵ , x⁷ + y⁷ = z⁷, x¹¹ + y¹¹ = z¹¹, ...

• La même année 1823, Legendre (» réf. 10) prouvait indépendamment ce type de résultat appliqué à 4n + 1, 8n + 1, 10n + 1, 14n + 1, 16p + 1, ainsi que, par descente infinie, le cas n = 5.

• En 1825, Dirichlet, juste âgé de 20 ans, s'attaqua également victorieusement au cas n = 5.

• En 1839, Lamé résout le cas n = 7, Dirichlet résout le cas n = 14.

• En 1847, Kummer (1847) utilisant sa théorie des idéaux et faisant appels aux nombres de Bernoulli, expose une preuve remise en cause par Cauchy, mais s'avérant exacte pour tous les nombres premiers inférieurs à 100 sauf n = 37, 59 et 67.
  » on remarque que ces cas ne correspondent pas à la classe de nombres premiers de Sophie Germain car si n = 37 ou 67, 2n + 1 est divisible par 5 et si n = 59, 2n + 1 = 119 est divisible par 7.

• La même année 1847, Lamé crut avoir trouvé une preuve générale en travaillant dans l'ensemble des nombres complexes mais Liouville décela une erreur.

• Faltings (1983) prouve que l'équation xⁿ + yⁿ = zⁿ ne peut avoir qu'un nombre fini de solutions.

2682440⁴ + 15365639⁴ + 18796760⁴ = 20615673⁴

 ➔  Noter que si p divise a, le théorème est trivial ! Lorsque p ne divise pas a, on peut énoncer de façon équivalente :

 Si p est premier et si p ne divise pas a, alors a ^p-1 - 1 est divisible par p

Ce qui peut s'écrire :

a^p-1 ≡ 1  [p] ou encore, au moyen du totient d'Euler : a^φ(p) ≡ 1  [p]

Preuve : a^p ≡ a [p]  signifie a^p - a multiple de p où, ce qui est équivalent : p divise a^p - a = a(a^p-1 - 1). p étant premier, s'il ne divise pas a, alors, selon le théorème de Gauss, p divise a^p-1 - 1. De plus, p étant premier, son totient est p - 1, d'où le résultat annoncé.

• 12⁷ = 35831808 a même reste que 12 dans la division par 7, à savoir 5. On peut le vérifier sans  effectuer la division.
  En effet, modulo 7, on a 12 ≡ 5 , donc 12² ≡ 5² = 25 ≡ 4; par suite 12⁴ ≡ 4² = 16 ≡ 2.
  Finalement :12⁷ = 12⁴ × 12² x 12 ≡ 2 × 4 × 5 ≡ 5 car 2 × 4 = 8 ≡ 1

• Si p n'est pas premier, on n'est assuré de rien ! on s'en convaincra en étudiant 12¹⁰ dans la division par 7.

Preuve : avec les hypothèses exposées, supposons n non premier. φ désignant le totient d'Euler, on a alors φ(n) < n - 1. Considérons alors ν = φ(n). Les entiers a et n étant premiers entre eux, on a (théorème d'Euler) a^φ(n) = a^ν ≡ 1 [n], contradictoire à l'hypothèse.

♦ Tout entier est carré ou somme de deux, trois ou quatre carrés.

Il s'agit là d'une conjecture de Bachet que Fermat dit avoir prouvé par sa méthode de descente infinie. Quoi qu'il en soit, elle fut prouvée par Lagrange (1770).

♦ Tout entier p premier de la forme 4n + 1 est d'une seule manière somme de deux carrés.

Cette difficile conjoncture fut prouvée par Euler en 1749 après 7 ans d'efforts ! (» Voir preuves en réf.9). Noter que tout entier naturel est de la forme 4n + r, n entier, n ≥ 0, r = 0, 1, 2 ou 3. Mais 4n et 4n + 2 sont pairs donc non premiers et 4n + 3 = 4(n + 1) - 1.

Tout entier premier est de la forme 4n ± 1

•  5, 13, 17, 29, 37 sont de la forme 4n + 1 ; 3, 7, 11, 17, 19, 23, 31 ... sont de la forme 4n - 1.

Mais 4n - 1 ne peut s'écrire comme somme x² + y² de deux carrés. En effet, x et y ne peuvent être de même parité, sinon x² + y² est pair. Si on suppose x pair, x = 2a, alors y est impair, y = 2b + 1. On obtiendrait 4n - 1 =  x² + y² = 4a² + 4b² + 4b + 1, de la forme 4m + 1 : contradiction. Par exemple, 11 (n = 3) est premier mais ne peut être somme de deux carrés.

 ➔  Ce résultat montre en particulier que tout entier premier de la forme 4n + 1 s'interprète comme le carré de la mesure de l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont les deux autres côtés sont mesurés par des entiers.

• 13 = 4 + 9 = 2² + 3² , 29 = 4 + 25 = 2² + 5² , 37 = 1 + 36 = 1² + 6².

 ➔  Noter que si p est impair non premier, il s'écrira comme différence de deux carrés (non nuls). En effet, p est alors de la forme uv avec u et v impairs et u > v (si p est un carré, choisir u = p, v = 1). Posons uv = a² - b² = (a + b)(a - b) : on se ramène au système élémentaire a + b = u, a - b = v, donc à 2a = u + v et 2b = u - v. Les entiers u et v étant impairs, le couple (a,b) cherché existe dans tous les cas.   » Lagrange

♦ Tout nombre entier est la somme d'au plus trois nombres triangulaires.

Cette conjecture de Fermat, également énoncée par Pascal, fut prouvée par Gauss.

♦ Tout entier naturel est somme d'au plus n nombres polygonaux d'ordre n.

Cette conjecture de Fermat fut prouvée par Cauchy.  » Nicomaque et les nombres polygonaux

♦ Le seul entier naturel x dont le cube privé de 2 est un carré est 3.

Autrement dit : x∈N, n∈N : x³ - 2 = n² ⇔ x = 3.

♦ Étude et résolution partielle de l'équation  x² - Ay² = 1 où A est un entier naturel non carré.

Parfois appelée équation de Fermat mais plus généralement dite de Pell-Fermat, cette équation que l'on rencontre chez Diophante d'Alexandrie remonte au 4ème siècle après J.-C. !

Étant donné un triangle ABC, quel est le point M du plan (ABC) minimisant
la somme des distances MA + MB +MC ?

La recherche géométrique de ce point se rencontre souvent sous l'appellation problème de Fermat car ce dernier le proposa à Torricelli vers 1655. Si aucun angle du triangle ne dépasse 120°, de l'unique point M minimisant MA + MB + MC, on voit les côtés du triangle ABC sous un angle de 120°. Ce fut Viviani, un élève de Torricelli qui publia la solution de son maître en 1659.

Posons : f(M) = MA + MB + MC. Si M un point extérieur au contour du triangle ABC, on montre par projection orthogonale ou bien par symétrie orthogonale (suivant le cas de figure) qu'un point J du contour ou un point intérieur au triangle est "meilleur" que M, c'est à dire : f(K) < f(M).

 ➔    Si aucun angle du triangle n'égale ou ne surpasse 120°, alors la solution J du problème est au point de Fermat (voir ci-dessous) sinon elle est en le sommet du plus grand angle.

Construction du point de Fermat-Torricelli :      

Étant donné un triangle ABC (figure ci-dessus), on trace les triangles équilatéraux construits extérieurement sur les côtés : les droites en pointillés (AA'), (BB') et (CC') sont concourantes au point de Fermat. 

Spirale de Fermat :

Également appelée spirale parabolique, l'équation polaire de cette spirale est :  r² = at  (a réel non nul)

Si une fonction numérique f dérivable sur ]a,b[ admet un extremum
en un point c de cet intervalle, alors f '(c) = 0 

Ci-dessous une lettre de Fermat à Marin Cureau de la Chambre (1662), conseiller du roi, où il développe son principe de moindre temps (» réf.7).

»  Maupertuis et principe de moindre action

Prix Fermat :    

Le site du prix Fermat : »                Le site du prix "Fermat Junior" : »

 ➔    Pour en savoir plus :

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Cavalieri  Roberval

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© Serge Mehl