ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Pierre Simon de FERMAT, français, 1601-1665                  
           Louis XIII, roi de France et de Navarre (1601-1643)

Philologue, administrateur puis Conseiller du Roi au Parlement de Toulouse (l'équivalent d'une cour de justice), cet érudit restera dans la mémoire des hommes comme un des plus grands mathématiciens du 17è siècle. Il fut un des artisans fondateurs de l'Académie des sciences qui vit officiellement le jour un an après sa mort.

En même temps que Roberval et Descartes, Fermat pose les principes de la géométrie analytique (1636) en étudiant des courbes par le biais d'une équation et se querelle avec ce dernier sur les problèmes de tangence aux courbes (on parlait à l'époque de touchante plutôt que de tangente), point de départ de la notion de nombre dérivé et du calcul différentiel et intégral, car il exposa aussi, vers 1638-40, des méthodes de quadrature (calcul d'aires) proches de l'intégrale  de Riemann concernant en particulier la parabole, l'hyperbole, la cissoïde, la spirale d'Archimède.

Au début des années 1650, dans des correspondances avec Blaise Pascal, il introduit une nouvelle branche des mathématiques : le calcul des probabilités -dont s'emparera Huygens (1657)- et les premières ébauches de l'analyse combinatoire.

Reprenant les travaux de Diophante d'Alexandrie, traduits et complétés par Bachet de Méziriac, il redora le blason de l'arithmétique en créant la théorie des nombres. De nombreux résultats sont attachés à son nom. Fermat s'intéressa aussi aux sciences de la nature : principe de Fermat (optique).

Les œuvres de Fermat furent éditées par son fils Samuel : Varia opera mathematica (Toulouse, 1679). Cependant, Fermat ne fit pas état de pas toutes ses découvertes, encore moins de ses rarissimes démonstrations et on estime perdu un certain nombre de ses recherches arithmétiques.

En 1891 et 1922, les éditions Gauthier-Villars & fils rééditèrent une grande partie des travaux de ce grand mathématicien (en particulier ces correspondances avec Mersenne, Descartes, Pascal père et fils et Roberval) sous l'égide de MM. Paul Tannery et Charles Henry. On en trouvera une version électronique (4 volumes + compléments) publiée par l'université du Michigan. Fermat écrivit souvent en latin, langue véhiculaire des sciences de l'époque, mais la majeure partie est en français (en particulier les correspondances, tome 2).

Paul Tannery : savant français (1843-1904), polytechnicien, historien des sciences. Charles Henry : savant et érudit français (1859-1926), bibliothécaire et maître de conférence à la Sorbonne.

Le « grand théorème » ou « dernier théorème » de Fermat (1621) enfin démontré (1993) :

La fameuse conjecture, souvent qualifié de grand (ou dernier) théorème de Fermat, malgré la démonstration introuvable de ce dernier, fut publiée en latin et énonce :

Un cube ne peut se décomposer en deux cubes, ni un carré de carré en deux carrés de carré et plus généralement au-delà,
aucune puissance ne peut se décomposer en deux puissances de même exposant.

 

Autrement dit, en écriture mathématique actuelle :

Si n est supérieur à 2, il n'existe pas d'entiers x, y et z non nuls pour lesquels :   xn + yn = zn 

Fermat, en marge d'un texte de Diophante dont il étudia et compléta Les Arithmétiques, affirma l'avoir prouvée de façon merveilleuse mais ne pas avoir assez de place pour y insérer sa démonstration (ci-dessus en latin). Noter qu'il suffit de prouver le théorème dans le cas où n est premier et x, y et z premiers entre eux. En effet :

Il est (était...) d'usage de faire jouer à x, y et z le même rôle en considérant le problème sous la forme xn + yn + zn  = 0 où x, y et z sont des entiers relatifs premiers entre eux et n un entier naturel premier plus grand que 2, en distinguant deux cas suivant que l'exposant n ne divise pas le produit xyz (cas 1) ou divise xyz (cas 2).

Fermat ne prouva que le cas n = 4 par sa subtile méthode de descente infinie se résumant à exprimer, de nos jours, que toute partie non vide de N admet un plus petit élément (ce qui n'est pas toujours le cas dans R, ensemble des nombres réels).

Méthode de descente infinie selon Fermat :             Anthyphérèse selon Euclide :

La conjecture n'a été prouvée que récemment (juin 1993) par un jeune mathématicien anglais Andrew Wiles après 350 années d'efforts et de recherche des mathématiciens du monde entier (avec, à la clé, une forte récompense promise au 19è siècle par l'Académie des Sciences). La construction de la théorie des nombres algébriques est née de cette très difficile mais enrichissante recherche d'une preuve de ce célèbre théorème.

 Preuve du cas n = 3 :            Preuve du cas n = 4 :

Petit historique (non exhaustif) :        réf. 3, réf. 10a

p + q√(-3) = [t + u√(-3)]et  p - q√(-3) = [t - u√(-3)]3. D'où p2 + 3q2 = [p + q√(-3)][(p - q√(-3)] = (t2 + 3u2)3

Une conjecture d'Euler invalidée grâce à l'ordinateur :     

En 1772, Euler conjectura une généralisation du théorème de Fermat selon laquelle une puissance n-ème au moins égale à 3 ne peut se décomposer en une somme de puissances n-èmes dont les termes sont en nombre moindre que n. Par exemple, x4 + y4 + z4 = t4 ne peut avoir lieu en nombres entiers. Mais en 1966, les américains L. J. Lander et T. R. Parkin invalident la conjecture pour n = 5 avec l'aide du plus puissant ordinateur de l'époque, un CDC6600 (Control Data Corporation) :

En 1988, le mathématicien américain Noam David Elkies (1966-), déjà bien connu en tant que champion en résolution de problèmes d'échecs, ajoute à sa notoriété en exhibant un contre-exemple du cas n = 4 :

26824404 + 153656394 + 187967604 = 206156734

L'injustement appelé « petit » théorème de Fermat (1640) :

On appelle ainsi le résultat exprimé mais, là encore, non démontré par Fermat, selon lequel :

Si p est un entier premier, alors, pour tout entier a, l'entier a p possède le même reste
que a dans la division euclidienne par p.

Et au moyen des congruences (ici anachroniques : Gauss), on peut aussi écrire :

 Si p est premier, alors pour tout entier a : a p ≡ a [p]

La preuve de ce résultat fut donnée par Leibniz vers 1680, puis par Euler en 1736.

Noter que si p divise a, le théorème est trivial ! Lorsque p ne divise pas a, on peut énoncer de façon équivalente :

 Si p est premier et si p ne divise pas a, alors a p-1 - 1 est divisible par p

Ce qui peut s'écrire :

ap-1 1  [p] ou encore, au moyen du totient d'Euler : aφ(p) 1  [p]

Preuve : ap ≡ a [p]  signifie ap - a multiple de p où, ce qui est équivalent : p divise ap - a = a(ap-1 - 1). p étant premier, s'il ne divise pas a, alors, selon le théorème de Gauss, p divise ap-1 - 1. De plus, p étant premier, son totient est p - 1, d'où le résultat annoncé.

Trois preuves du "petit" théorème :

  On peut avoir ap-1 ≡ 1 [p]  sans pour autant que p soit premier : p = 341 = 11 x 31 n'est pas premier. Cependant 210 = 1024 = 3 x 341 + 1. Donc 210 ≡ 1 [341]. Par conséquent 2340 = (210 )34 est congru à 1 modulo 341. Un autre exemple :


p = 121 = 11 x 11 n'est pas premier. Montrer, à la manière du cas précédent, que 3120 1 [121]

Cela laisse à penser que la réciproque de ce théorème est fausse. Effectivement, il ne caractérise pas un entier p premier. Par exemple, 561 = 3 x 11 x 17, donc non premier, divise a561 - a pour tout les entiers a !

Un nombre comme 561 est un nombre de Carmichael, du nom de Robert Carmichael, mathématicien américain (1879-1967) qui, dans sa Théorie des nombres parue en 1914, énonce en quelque sorte une "réciproque" en rajoutant une hypothèse simple ( ref.9, page 61 de la pagination pdf) :

Supposons qu'il existe des entiers a et n premiers entre eux tels que an - 1 ≡ 1 [n]
mais qu'il n'existe aucun entier ν < n - 1 tel que aν ≡ 1 [n], alors l'entier n est premier

Preuve : avec les hypothèses exposées, supposons n non premier. φ désignant le totient d'Euler, on a alors φ(n) < n - 1. Considérons alors ν = φ(n). Les entiers a et n étant premiers entre eux, on a (théorème d'Euler) aφ(n) = aν ≡ 1 [n], contradictoire à l'hypothèse.

Nombres de Carmichael :            Nombres pseudo-premiers :         Théorème de Wilson :


1 - Quels sont les entiers p premiers qui divisent 2p + 1 ?
Rép : on a p ≠ 2.Selon le petit théorème de Fermat, p divise 2p - 2. p divise donc 2p + 1 - (2p - 2) = 3, donc ...

2 - Niveau Sup (site externe)
: http://perso.univ-rennes1.fr/antoine.chambert-loir/2005-06/a2/td4.pdf  ( §3)

Nombres de Fermat et polygones réguliers :              

Ces nombres, souvent notés Fp, sont de la forme :

 

Le problème fut de savoir si de tels nombres sont premiers, comme c'est le cas pour p éléments de {0,1,2,3,4} fournissant respectivement 3, 5, 17, 257, 65537. Ces nombres interviennent dans les problèmes de constructibilité des polygones réguliers :

  Gauss , Wantzel           Théorème de Gauss-Wantzel :

Fermat conjectura leur primarité  (ou primalité en franglais) mais, pour une fois, se trompa : en 173,  Euler, alerté par Goldbach qui émettait des doutes à ce sujet, prouva que F5 = 232 + 1 est divisible par 641, le quotient étant 6700417.

Lucas prouva que 24096 + 1 (p = 12) est divisible par 114689. La divisibilité des Fp s'étudient de nos jours au moyen de puissants ordinateurs et d'algorithmes très complexes vu l'énormité de ces nombres.


En s'aidant du fait que pour tous les entiers x et n, x2n + 1 + 1 est divisible par x + 1, justifier  que

En déduire que si 2n + 1 est premier, alors n est une puissance de 2 (réciproque fausse comme dit ci-dessus).
Indication : n est nécessairement de la forme q2p avec q pair, donc n = q'2p' avec q' pair, donc...

 Gauss et les polygones réguliers , Sierpinski , Sophie Germain

Nombres de Mersenne & nombres premiers de Wieferich :                     Test de primarité :


Niveau Sup
  : http://perso.univ-rennes1.fr/antoine.chambert-loir/2005-06/a2/td4.pdf  ( §2)

Autres résultats arithmétiques dus à Fermat :  

Nicomaque , Wilson , Pell
 

Problème de Fermat & point de Fermat-Torricelli

Étant donné un triangle ABC, quel est le point M du plan (ABC) minimisant
la somme des distances MA + MB +MC ?

La recherche géométrique de ce point se rencontre souvent sous l'appellation problème de Fermat car ce dernier le proposa à Torricelli vers 1655. Si aucun angle du triangle ne dépasse 120°, de l'unique point M minimisant MA + MB + MC, on voit les côtés du triangle ABC sous un angle de 120°. Ce fut Viviani, un élève de Torricelli qui publia la solution de son maître en 1659.

Posons : f(M) = MA + MB + MC. Si M un point extérieur au contour du triangle ABC, on montre par projection orthogonale ou bien par symétrie orthogonale (suivant le cas de figure) qu'un point J du contour ou un point intérieur au triangle est "meilleur" que M, c'est à dire : f(K) < f(M).

 

  Si aucun angle du triangle n'égale ou ne surpasse 120°, alors la solution J du problème est au point de Fermat (voir ci-dessous) sinon elle est en le sommet du plus grand angle.

Construction du point de Fermat-Torricelli :      

Étant donné un triangle ABC (figure ci-dessus), on trace les triangles équilatéraux construits extérieurement sur les côtés : les droites en pointillés (AA'), (BB') et (CC') sont concourantes au point de Fermat

Construction (figure animée CabriJava) :Compléments :

Spirale de Fermat :

Également appelée spirale parabolique, l'équation polaire de cette spirale est :  r2 = at  (a réel non nul)

  

Étude de la spirale de Fermat :

Un autre théorème de Fermat :

Dans un traité sur les problèmes d'extremums (1637), il énonce un résultat fondamental, appelé parfois théorème de Fermat et s'écrivant de nos jours :

Si une fonction numérique f dérivable sur ]a,b[ admet un extremum
en un point c de cet intervalle, alors f
'(c) = 0

Principe de Fermat :

Dans ses travaux d'optique sur la réfraction, Fermat énonce son principe d'économie naturelle ou principe de minimum (1657), emprunté à Héron d'Alexandrie, selon lequel le chemin emprunté par la lumière est celui qui minimise son temps de parcours en admettant l'idée, exprimée auparavant par Alhazen, que la lumière conserve une vitesse constante dans un milieu homogène, mais moindre dans un milieu dense, contrairement à la pensée de Descartes, avec lequel il s'opposa encore, qui pensait bizarrement le contraire...

Mais ce principe de temps minimal s'avère inexact dans le cas de la réflexion dans un miroir concave : le chemin emprunté est maximal et, par conséquent, le temps de parcours également. En fait, il s'agit d'un problème variationnel (relevant du calcul des variations).

Ci-dessous une lettre de Fermat à Marin Cureau de la Chambre (1662), conseiller du roi, où il développe son principe de moindre temps ( réf. 7)

 

Un peu d'optique, cas des miroirs convexes et concaves :

  Maupertuis et principe de moindre action

Prix Fermat :

Créé en 1989, il s'agit d'un prix biannuel (décerné tous les deux ans) de l'Institut de Mathématiques de Toulouse (IMT) attaché à l'université Toulouse III, Paul Sabatier. Financé par la région Midi-Pyrénées, son montant est de 20 000 euros. Il récompense les travaux de recherche de mathématiciens dans des domaines où les contributions de Fermat ont été déterminantes, comme, par exemple, Wiles en 1995, Werner en 2001, Villani en 2009 :

Le site du prix Fermat :       Le site du prix "Fermat Junior" :

            


  Pour en savoir plus :

  1. Théorie des corps, la règle et le compas , Jean-Claude Carrega
    Éd. Hermann, Collection formation des enseignants, Paris -1989

  2. Histoire d'algorithmes : du caillou à la puce, par une équipe d'enseignants (IREM, IUFM, CNRS)
    Éd. Belin - Collection Regards sur la science, Paris - 1993

  3. Arithmétique et théorie des nombres, par Jean Itard, Collection Que sais-je ? n°1093, Paris - 1963

  4. Grand théorème : CRC CONCISE ENCYCLOPEDIA of MATHEMATICS, Eric W. Weisstein - Éd. CRC Press Washington, D.C., 1998
    Consulter CRC online : http://mathworld.wolfram.com/ au titre Fermat's Last Theorem.

  5. Le Dernier Théorème de Fermat, Simon Singh, Éd. Pluriel, Paris, 1998

  6. Revue Quadrature, n°22, Grand théorème de Fermat, 1641 - 1994, Ed. du choix - 1995
    (entièrement consacré au célèbre théorème de Fermat-Wiles)
    .
  7. œuvre de Fermat : on pourra en consulter une version électronique (4 volumes & compléments) publiée par l'université du Michigan.
    Principe de moindre temps : sur ce même site, plus précisément ici.

  8. Descente infinie et analyse diophantienne, par Catherine Goldstein, IMJ/CNRS :
    https://webusers.imj-prg.fr/~catherine.goldstein/MordellWeil-Goldstein.pdf
  9. Recherches sur quelques objets d'analyse indéterminée et particulièrement sur le théorème de Fermat (Legendre, 1823)
    https://books.google.fr/books?id=qLnOAAAAMAAJ&printsec=frontcover&hl=fr... (Google Livres/univ. Michigan).
  10. a) The first case of Fermat's last theorem is true for all prime exponents up to 714 591 416 091 389, par A. Granville & M. Monagan :
    https://www.ams.org/journals/tran/1988-306-01/S0002-9947-1988-0927694-5/S0002-9947-1988-0927694-5.pdf (AMS, 1988).

  11. b) On the first case of Fermat's last theorem, par D. H. & Emma Lehmer : https://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.bams/1183503473
  12. Point de Fermat : une solution de Charles Sturm sur Numdam :
    http://www.numdam.org/article/AMPA_1823-1824__14__13_0.pdf

  13. L'association Fermat Science,  installée dans la maison natale de Pierre Fermat (3 rue Pierre Fermat à
    82500 - Beaumont de Lomagne)
    réalise des expositions et des activités autour des mathématiques et des sciences.
    On pourra consulter le site de l'association à l'adresse : http://www.fermat-science.com/

  14. The Theory of numbers de Robert Carmichael : https://archive.org/stream/cu31924063439008#page/n7/mode/2up


Cavalieri  Roberval
© Serge M
ehl