ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

CARMICHAEL Robert Daniel, américain, 1879-1967

Physicien au début de sa carrière (il étudia la théorie de la relativité initiée par Albert Einstein), philosophe et mathématicien (il obtint son doctorat à l'université de Princeton sous la houlette de Birkhoff en 1911), Carmichael se consacra tout particulièrement, dès les années 1910, à la théorie des nombres, nombres premiers en particulier, l'analyse diophantienne (étude des équations en nombres entiers), la théorie des groupes. Il enseigna à l'université de l'Illinois.

Dans le cadre de l'étude de la primarité d'un entier naturel (savoir si un nombre est premier et sinon connaître sa factorisation) et de la distribution des nombres premiers dans l'ensemble des entiers naturels, Carmichael découvre (1910) que 561 = 31117 divise a561 - a pour tout les entiers a.

Il recherche et étudie alors les propriétés des nombres qui portent aujourd'hui son nom, aussi appelés nombres absolument pseudo-premiers ou bien nombres pseudo-premiers absolus : ce sont donc des entiers naturels pseudo-premiers pour toute base a.

Quelques propriétés relatives aux nombres de Carmichael :

L'entier n, non premier, est un nombre de Carmichael si et seulement si :

Pour tout entier a tel que 1 < a < n , a et n sont premiers entre eux et an-1 1  [n]

Il revient au même de dire :

Pour tout entier a tel que 1 < a < n , a et n sont premiers entre eux et an a [n]

ou encore, sans allusion aux congruences :

Pour tout entier a tel que 1 < a < n , a et n sont premiers entre eux et an et a ont même reste
dans la division euclidienne par n

Pourquoi se restreint-on à a < n ?    

Prolonger la définition à une base a n n'a pas d'intérêt. En effet, si a = n, l'égalité n≡ n [n] n'a évidemment pas lieu et si a > n, on peut écrire a = nq + r  avec 0 < r < n (division euclidienne). La base a vérifie donc a r [n] et on est ramené à rechercher n tel que rn r [n] avec r < n.

Ces nombres sont "peu nombreux", c'est un euphémisme ! C'est dire que leur recherche peut prendre un certain temps, même au moyen de l'ordinateur et même au moyen des congruences de Gauss permettent de réduire l'immensité des entiers du type an... Les premiers sont les suivants :

561, 1105, 1729, 2465, 2821, 6601, 8911, 10585, 15841, 29341, 41041, 46657, 52633, ...

Conjecture de Carmichael relative à ses nombres :    

Dans une publication de AMM, American Mathematical Monthly, intitulé On composite numbers p which satisfy the Fermat congruence ap-1 1 mod. p, (1912), Carmichael énonce :

Il existe une infinité de nombres absolument pseudo-premiers.

Conjecture qui fit aussi l'objet des nombreuses conjectures arithmétiques émises par Erdös (1956). Cette conjecture fut prouvée récemment (1994) par les mathématiciens américains William R. Alford (1937-2003), et Carl B. Pomerance (1944-) et l'anglais Andrew J. Granville (1962-). Cette preuve est en ligne (en anglais).

Autre conjecture de Carmichael :  

Rappelons que l'indicateur d'Euler est l'application qui à tout entier naturel n non nul associe le nombre d'entiers naturels inférieurs à n et premiers avec n. 

Toute valeur prise par l'indicateur d'Euler (fonction φ) est prise au moins deux fois.

  En relation avec les nombres absolument pseudo-premiers, on a ce résultat intéressant :

Si n est un entier naturel non premier pour lequel φ(n) divise n - 1,
alors n est un
nombre de Carmichael.

Recherche de nombres de Carmichael :               Recherche de nombres pseudo-premiers :

Critère de Korselt (1899, voir source 3) :    

L'entier n, non premier divise an - a pour tout a si et seulement si la décomposition primaire de n
ne contient aucun facteur carré et, pour tout entier premier p divisant n,  p - 1 divise n - 1.

  Alwin R. Korselt, mathématicien allemand (1864-1947).

Par aucun facteur carré, on entend que si p est un diviseur premier de n, alors p2 ne divise pas n. Korselt n'exhibe pas un tel nombre n, c'est Carmichael qui le fera 11 ans plus tard avec 561 = 311 17 et on remarque effectivement que 3 - 1, 11 - 1 et 17 - 1 divisent 560.

Corollaire :    

Tout nombre de Carmichael est impair et produit d'au moins trois nombres premiers.

Théorème de J. Chernick (1939, Bulletin de l'AMS, Vol. 45, voir source 4):    

Si les entiers p, q, et r sont des entiers premiers respectivement de la forme
6n + 1, 12n + 1 et 18n + 1, alors le produit pqr est un nombre de Carmichael.

Tout nombre premier étant de la forme 6n ± 1, il revient au même de dire :

Si les entiers n, 2n - 1 et 3n - 2 sont des entiers premiers alors leur produit
est un nombre de Carmichael.

Nombres premiers et forme 6n ± 1 :

 Pour en savoir plus :

  1. Le site de l'OEIS, Online Encyclopedia of Integer Sequences : http://oeis.org/
    et plus précisément (en entrant carmichael) : http://oeis.org/search?q=carmichael&language=french
  2. Le site de Gérard Villemin : http://villemin.gerard.free.fr/ThNbDemo/Carmicha.htm
  3. There are infinitely many Carmichael numbers (Dartmouth university) par W. R. Alford, A. Granville et C. Pomerance : http://www.math.dartmouth.edu/~carlp/PDF/paper95.pdf
  4. On Fermat's simple theorem par J. Chernick, sur le site de l'AMS :
    http://www.ams.org/journals/bull/1939-45-04/S0002-9904-1939-06953-X/S0002-9904...pdf
  5. American Mathematical Monthly : http://www.maa.org/pubs/monthly.html


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