ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Notion de surface   exposé élémentaire          Géodésique , éléments différentiels , exemples classiques de surfaces et leurs équations , surfaces et variétés

Généralités :      

En dehors de l'acception courante, synonyme d'aire (en toute rigueur une aire est la mesure d'une surface), la notion mathématique de surface en tant qu'ensemble de points de l'espace (assimilé à R³), est fort complexe.

Au 19è siècle, on avait déjà de l'humour... : un dessin de Cham, caricaturiste français (1819-1879) Encyclopédie Larousse méthodique (1955)   

La théorie des surfaces a été tout particulièrement étudiée par Monge en France, puis Gauss et Riemann en Allemagne, ce dernier se dégageant de l'aspect purement euclidien. Elle relève de la géométrie différentielle (usage du calcul différentiel, des dérivées partielles) dans l'étude des formes, des courbures, de l'orientation dans un repère donné.

On peut concevoir une surface de différentes manières :

La surface est alors sa frontière, en quelque sorte entre son intérieur et son extérieur :

  Une sphère en tant que limite du volume occupée par une boule, est une surface close qui n'a pas de bord. On ne peut pas passer de l'extérieur à l'intérieur (et vice versa) sans la trouer, ce qui la transformerait en surface à bord et en changeant, ce que l'on appelle son genre.

  Un bol de petit déjeuner "infiniment mince" est une surface à bord (un cercle) s'interprétant comme une demi-sphère. Un insecte plat unidimensionnel pourrait passer continûment de l'intérieur à l'extérieur. C'est une surface non considérée comme close car les voisinages (au sens topologique) de tout point du bord admettent des points non inclus sur le bol mais dans le bol : et c'est heureux car cela permet de remplir le bol...

  Un plan dans l'espace est une surface... plane. Un plan dans le plan est le plan, c'est à dire l'espace dans lequel on peut rencontrer des surfaces comme un disque :

Un disque du plan, sans trou, par exemple d'équation x²+y² <= 1 (disque unité), est une surface dont le bord, qui le délimite, est le cercle unité d'équation x²+y² = 1.

Le même disque en suspension dans l'espace par exemple d'équation x²+y² <= 1, z = 1, est une surface possédant cette fois 2 "faces". C'est une surface à bord. Comme pour le bol ci-dessus, un insecte plat unidimensionnel pourra passer continûment du "dessus" au "dessous".

Si maintenant on se limite à x²+y² < 1, z = 1, il s'agira d'un disque ouvert (au sens topologique). On parle aussi de surface ouverte. Il n'a plus de bord au sens mathématique :

Surface et variété topologique :

Une feuille de papier (si son épaisseur est "nulle"...), froissée ou non, représente une surface finie.

 Le cylindre ou le cône sont des surfaces ouvertes illimitées. Les représentations finies (tronquées) que l'on en donne sont des surfaces à bord.

  La "surface" d'une chambre à air, d'une bouée : assimilable à un tore (ci-contre) est une surface close (tant qu'elle n'est pas crevée...).

Les acceptions intuitives données ci-dessus (surface close, surface à bord) peuvent cependant induire en erreur : le célèbre ruban de Möbius n'a ni "dessus" ni "dessous" et Klein a su exhibé une surface close, s'interprétant dans R⁴, bouteille de Klein, n'ayant ni intérieur ni extérieur.

La théorie des surfaces est en fait très complexe et est à l'origine de la topologie. En topologie algébrique (et différentielle) et depuis les travaux de Poincaré et de Fréchet sur le sujet, les surfaces s'interprètent comme des variétés topologiques connexes et compactes dont chaque point admet un voisinage homéomorphe à un ouvert de R² (surface close) ou de RR⁺ (surface à bord).

Les surfaces closes sont également fermées au sens topologique du qualificatif. Les surfaces à bord aussi mais elles se distinguent des surfaces closes dans lesquelles tout voisinage de tout point y est entièrement inclus.

Une variété topologique connexe non compacte dont chaque point admet cependant un voisinage homéomorphe à un ouvert de R² est dite ouverte. Dans le plan, ce serait le cas du disque d'équation x²+y² < 1.

Surface et variété topologique :

Une courbe plane en rotation autour d'un axe engendre un volume dont on peut représenter la surface dite alors de révolution. Le caténoïde en est un bel exemple. C'est aussi une surface minimale :

• Ci-dessous, la surface en forme de "bol" est engendrée par la rotation autour de l'axe des ordonnées d'un segment de courbe d'équation y = x³ sur l'intervalle [0;1].

Une droite de l'espace (dite génératrice) s'appuyant sur au moins une courbe fixe (pouvant être une droite), suivant une loi précise, engendre une surface, on parle de surface réglée.

Par exemple :     

• L'hyperboloïde à une nappe : quadrique (surface algébrique de degré 2) d'équation générale :

  x²/a² + y²/b² - z²/c² = 1

  

         
  Centrale nucléaire de Tricastin (Drôme)

  et  châteaux d'eau aux environs aux environs de l'aéroport de Roissy (France)

L'hyperboloïde à une nappe en tant que surface (doublement) réglée :

Une surface réglée est dite cylindrique lorsque la droite conserve une même direction et de surface conique lorsque la droite passe par un point fixe. On parle également de surface conoïde : la droite s'appuie sur une droite fixe (axe) et sur une seconde courbe directrice fixe (c) en restant parallèle à un plan donné (plan directeur).

• Le cylindre (resp. le cône) est obtenu par une une droite s'appuyant sur un cercle (c) tout en gardant la même direction : celle de son axe passant par le centre du cercle (resp. en passant par un point fixe : le sommet).

• Le paraboloïde hyperbolique, ci-dessous, (c) est une droite, et le coin de Wallis, (c) est un demi-cercle, sont des surfaces conoïdes.

On peut donner une définition plus précise d'une surface réglée : on doit pouvoir l'exprimer au moyen d'une équation paramétrée du type :

(u,v)j(u,v) = f(u) + v.D(u) , v décrivant R

uf(u) définit une courbe (c) paramétrée de l'espace et D(u) un vecteur non nul de R³ engendrant les droites v.D(u) en tant que génératrices s'appuyant sur (c).  

• Le paraboloïde hyperbolique (équilatère) d'équation z = xy, également appelé selle de cheval pourra être défini très simplement par

j(u,v) = (u,0,0) + v(0,1,u)  ou bien φ(u,v) = (0,u,0) + v(1,0,u)

  Plus généralement, l'équation cartésienne de cette quadrique est de la forme z = x²/a² - y²/b². Lorsque a = b, en posant X2 = x - y, Y2 = x + y (rotation du plan xOy de π/4 autour de Oz), on se ramène à z = 2XY/a².

Conoïde de Plücker :                   Selle de cheval et indicatrice de Dupin :  

Des surfaces comme le cylindre ou le cône sont dites développables : intuitivement, on peut en obtenir le "patron" sur un plan sans déformation, déchirure ou boursouflure. Elles furent étudiées par Monge et son élève Lancret.

Dans son cours Application de l'Analyse à la géométrie (1807) à l'usage des élèves de l'École Polytechnique, Monge écrit en introduction aux surfaces développables (§12) :

Les surfaces développables sont celles qui, étant supposées flexibles et inextensibles, sont de nature à pouvoir s'appliquer sur un plan au moyen d'une simple flexion, et le toucher alors dans tous leurs points, sans rupture et sans duplicature.

Notion (distincte) de surface applicable :

Toutefois, une surface réglée, donc réunion d'une infinité de droites, n'est pas pas toujours développable. La courbure totale (ou courbure de Gauss) d'une surface développable est nulle, ce qui n'est pas le cas d'une surface réglée non développable (courbure totale négative).

Dans le cas général, les surfaces développables s'obtiennent comme enveloppes d'une famille de plans. En chaque point d'une génératrice le plan tangent ne varie pas : ce qui n'est pas le cas, par exemple, de l'hyperboloïde et du ruban de Môbius qui ne sont donc pas développables ce que l'on vérifiera facilement avec le critère énoncé ci-après.

Une surface développable peut rouler sur un plan, le contact se faisant d'une génératrice à une autre : cas du cylindre par exemple ou du cône. On peut maintenant donner une définition pratique et opérationnelle d'une surface développable dont on connaît l'équation :

Une surface est dite développable si elle est régulière et réglée, le plan tangent ne variant pas le long d'une génératrice.

Une surface développable apparaît ainsi comme ensemble des tangentes à une courbe gauche régulière (dont tous les points sont réguliers : admettant une tangente en chacun de ses points).

Équation du plan tangent à une surface :

Ci-dessous, l'hélicoïde en tant qu'enveloppe des tangentes à une hélice circulaire : c'est une surface développable :

L'hélicoïde en tant que surface minimale :

une feuille de papier chiffonnée (mais non déchirée) est-elle développable ?  

La sphère et l'ellipsoïde ne sont ni réglées, ni développables. Le tore ne l'est pas non plus : si vous le sectionnez comme on le ferait pour une chambre à air ou une saucisse sèche, vous n'obtiendrez pas un cylindre car si tel était le cas, avec les notations ci-dessous, on aurait a = 2r + a ! (la courbure n'est pas la même). Le ruban de Möbius s'interprète comme une portion de surface réglée non développable (sa fabrication au moyen d'une bande de papier n'en est qu'une approximation).

Calcul des courbures moyenne et totale en un point d'une surface :

Il s'agit du cas particulier : (u,v)j(u,v) = f(u) + v.f '(u) , v décrivant R. j étant supposée au moins de classe C².

Les génératrices sont les tangentes en u à la courbe (c) définie par f. j/u = f '(u) + v.f ''(u) et j/v = f '(u). On a donc un souci si v = 0 : point singulier où la normale n'existe plus. La surface réglée des tangentes est une surface développable.

Dans un repère orthonormé (Ox, Oy, Oz) que l'on suppose orthonormé, de plan horizontal xOy, une surface peut être définie de diverses manières. En voici trois :

1/ Équation cartésienne :       

Il s'agit, comme pour les courbes du plan (cartésienne est forgé sur le nom de Descartes), d'une relation de la forme :

f(x,y,z) = 0

Par exemple :     

• L'équation d'un plan est de la forme ax + by + cz + d = 0, a, b et c non tous nuls.

• La sphère de rayon R centrée à l'origine a pour équation, dans un repère orthonormé :

 x² + y² + z² = R²

 Il s'agit de distinguer sphère et boule. Concrètement, la boule est l'intérieur de la sphère constituant sa surface, et son équation sera ici x² + y² + z² < R² : la distance de ses points par rapport au centre est inférieure au rayon. Ci-dessous : une boule de quartz, dont l'ombre (perspective plane) est une ellipse : projection d'un disque de la boule passant par son centre.

  Ci-dessous, une construction approximativement sphérique à Paris, place de la Défense. En fait, une surface polyédrique (les faces sont quadrilatères, trapèzes pour la plupart). La structure fait apparaître des parallèles (cercles parallèles à l'équateur) et des méridiens (grands cercles passant par les pôles). Un bâtiment sphérique et vitré comme celui de la Défense est souvent appelé géode (du grec gê = Terre et eidos = forme) : ce terme, utilisé en minéralogie, désigne un minéral creux de forme approximativement sphérique dont l'intérieur est cristallisé.

Cas classiques de surfaces et leurs équations :               Aire & volume intérieur de la sphère :

 
Cube inscrit dans une sphère , petit exo de probabilités..

2/ Équation paramétrique, coordonnées curvilignes :       

Ce type d'équation est très employé car très pratique dans l'étude de l'aspect local d'une surface (normale, courbure, plan tangent, ...). On a ici recours à deux paramètres indépendants u et v appelées coordonnées curvilignes et initiées par Gauss : la surface S est définie par une fonction de deux variables j : (u,v)j(u,v), vecteur de R³ de coordonnées

x = f(u,v), y = g(u,v), z = h(u,v).

Fans le cas de notre planète assimilée à une sphère, u correspond à la latitude et v à la longitude.

Coordonnées sphériques :

Avec ce type de coordonnées, la sphère, de centre O, de rayon R a pour équation dans le repère orthonormé direct (O, Ox, Oy, Oz) :

 Les cas classiques :             Ruban de Möbius :              Trièdre de Ribaucour , Indicatrice de Dupin

3/ Équation par lignes de niveau :          

Ce sont des équations cartésiennes du type z = f(x,y), intersections d'un solide avec un plan horizontal de cote z.

Par exemple :     

• La surface définie par z = xy est un paraboloïde hyperbolique

• la surface ci-dessous a pour équation z = sin2x.cos3y :

Une surface est dite algébrique de degré k si son équation peut se ramener à la forme f(x,y,z) = 0 où f est de degré k en x, y et z : on entend là que tout monôme de la forme axⁿy^mz^p vérifie n + m + p k et au moins un monôme vérifie n + m + p = k. 

On appelle quadriques les surfaces algébriques de degré 2. L'étude de telles surfaces peut être grandement simplifiée par la réduction des formes quadratiques associées au moyen de leurs valeurs propres. Un exemple de surface du 4ème degré (quartique) est le conoïde de Wallis.

Cas classiques de surface et leurs équations :                Étude d'un cas, quadrique yz + zx - xy = 1

Pour une surface quelconque (S), par analogie avec les mesures à la surface de la Terre, on appelle ligne géodésique (du grec gê = terre et deiein = diviser, partager) le chemin le plus court entre deux points de (S) : courbe réalisant le chemin minimal entre ces deux points.

• Les géodésiques de la sphère sont les arcs de grands cercles : portions de méridiens.

• Les géodésiques du plan sont ses droites

• Les géodésiques du cylindre sont de trois types : ses génératrices (droites du cylindre, parallèles à son axe), ses cercles (sections circulaires par un plan perpendiculaire à son axe) ainsi que ses hélices circulaires. Sa courbure n'est pas constante mais  il est isomorphe au plan euclidien par développement; on peut donc y utiliser la distance euclidienne par déroulement et réenroulement.

• Les géodésiques de la pseudosphère, imaginée par Beltrami, sont des tractrices. Elles correspondent à une courbure minimale.

Pseudosphère et géodésiques (lien externe) :

En tout point d'une géodésique, le plan osculateur est normal à (S).

Nonius , Gauss , Lancret , Bonnet , Meusnier , Cassini

Loxodromie, orthodromie :  Triangulation : "géodésique" du cube...

Au lycée, on étudie les courbes planes et leurs propriétés locales (extrema, tangentes, asymptotes, etc.) en coordonnées cartésiennes ou paramétriques (Terminale S). On conçoit que ce qui différencie les courbes planes réside dans leurs courbures en chaque point.

Dans l'espace, les choses sont plus difficiles, la courbure d'une courbe en un point n'est pas unique : elle admet une torsion mesurant à changer de plan. L'étude des surfaces nécessitant une bonne connaissance du calcul différentiel. Euler fut le grand initiateur de l'étude des surfaces grâce à l'apport du calcul différentiel et intégral : on parle de géométrie différentielle.

 Meusnier
 

Plan tangent et normale à une surface, point régulier :      

Le plan tangent est à une surface ce que la tangente est à une courbe plane :

Si l'on trace une ligne quelconque sur une surface, on obtient une courbe gauche pour laquelle la notion de plan tangent en un point coïncide avec celui de la surface au même point. En France, à la même époque que Euler, Clairaut s'intéresse tout particulièrement à ces courbes.

La surface étant définie par une équation de la forme f(x,y,z) = 0, l'équation du plan tangent en un point M(a,b,c) est alors :

                   Tangente à une courbe gauche :

Si la surface est définie par ses lignes de niveau, son équation est du type z = f(x,y). On se ramène à la forme ci-dessus F(x,y,z,) = 0 en posant F(x,y,z) = f(x,y) - z avec :

F/x = f/x , F/y = f/x , F/z = -1

Pour un point régulier de la surface, c'est à dire dont les dérivées partielles f/x, f/y et f/z en ce point ne sont pas simultanément nulles, la normale en M(a,b,c) est la perpendiculaire en M au plan tangent. Elle est donc dirigée par le vecteur n(f/x,f/y,f/z). On dira d'une surface dont tous les points sont réguliers, qu'elle est régulière.

Si les 3 dérivées partielles sont nulles (gradient nul), on est en présence d'un point singulier de la surface. Par exemple, dans le cas du cône, le sommet en est un.

Dans le cas général, l'équation de la normale est :

                Représentation cartésienne d'une droite de l'espace :

Si la surface est définie par x = f(u,v), y = g(u,v), z = h(u,v) à la manière de Gauss, l'équation du plan tangent est fourni par le déterminant (pour simplifier, une dérivée partielle comme f/u est notée ci-dessous f_u') :

Il s'agit du plan passant par M (1ère colonne) contenant deux tangentes en M dirigées par les vecteurs représentés par les 2è et 3è colonnes.

Remarque importante :     

Avec la notation j : (u,v)j(u,v), vecteur de R³ de coordonnées x = f(u,v), y = g(u,v), z = h(u,v), les seconde et troisième colonne du déterminant sont respectivement j/u et j/v, vecteurs directeurs du plan tangent en M. :

la normale en M(u,v) est alors portée par le produit vectoriel j/uj/v

à moins que ce point soit singulier (un des vecteurs est nul ou ces vecteurs sont liés) : plus de normale et plus de plan tangent !

  Pour le calcul d'une normale unitaire, il faudra penser à la normer !

Si la surface est définie par les lignes de niveau z = f(x,y), on se ramène à la forme F(x,y,z) = 0 en écrivant z - f(x,y) = 0. La dérivée partielle par rapport à z est alors -1 et l'équation du plan tangent devient :

et l'équation de la normale se résume à :

On voit que le tore possède un trou : il est connexe (du latin connexus = d'un seul tenant, participe passé de conectere = attacher ensemble, contraction de cum nectere) mais troué (non simplement connexe). La sphère n'en possède pas : ces deux surfaces n'ont pas le même genre. Les mathématiciens du 19è siècle se sont penchés sur la classification des surfaces basée sur ce concept :

Genre d'une courbe, d'une surface :        Connexité :

Pour en savoir plus :

   Cours de mathématiques, tome 1, Ch. 21 par Jean Bass - Ed. Masson et Cie - Paris, 1964.
   ABRÉGÉ D'HISTOIRE DES MATHÉMATIQUES, sous la direction de Jean Dieudonné
    Ch IX, Géométrie différentielle par Paulette Libermann - Ed. Hermann
   ATLAS DES MATHÉMATIQUES, Fritz Reinhardt, Heinrich Soeder, Ch. géométrie différentielle
    La Pochothèque - Le Livre de Poche (collection Encyclopédies d'aujourd'hui), 1997
   APPLICATION DE L'ANALYSE A LA GÉOMÉTRIE, Gaspard Monge
    Les cours historiques de l'Ecole Polytechnique (1807) - Ed. MARKETING (ellipses) - 1994
   Courbes et Surfaces, Que sais-je ?, n° 564 par Jean Taillé, P.U.F.
  Très beau site (et très complet) de Robert Ferreol : des surfaces et leurs équations, mais aussi des courbes 2D,
    3D, des polyèdres :  http://www.mathcurve.com/surfaces/surfaces.shtml
  Le site de Xah Lee : http://xahlee.org/PageTwo_dir/more.html
  Le site de Xiao Gang pour tracer vos propres courbes ou surfaces, explicites ou paramétrées avec ou
  sans animation :  http://wims.unice.fr/~wims/wims.cgi? (...)

Parmi les logiciels de Denis Monasse, un programme remarquable gratuit, utilisé pour cette page, à télécharger pour tracer de très belles surfaces paramétrées (en coordonnées cartésiennes, sphériques ou cylindriques) : dans la rubrique Logiciels sur Surface2. Vous pouvez aussi clique directement ici en choisissant ensuite Ouvrir pour lancer directement le logiciel de tracé.