ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
 THUE Axel,
norvégien, 1863-1922 |
Après des études à Leipzig et à l'université d'Oslo (alors Kristiana) où il obtient son doctorat en 1889, Thue enseignera essentiellement à l'université d'Oslo, section des mathématiques appliquées. On lui d'importantes avancées en théorie algébrique des nombres dans la résolution d'équations et approximations diophantiennes.
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Un théorème de Thue : |
Ce résultat fut publié dans le journal de Crelle (1909). Il concerne la recherche des points à coordonnées entières sur une courbe algébrique :
Lorsque f(x,y) désigne un polynôme homogène de degré 3 au moins, à coefficients entiers et sans zéros rationnels, alors l'équation f(x,y) = k où k est un entier non nul, admet au plus un nombre fini de solutions.
Cette géométrisation d'un problème arithmétique sera le point de départ de très importants travaux sur les courbes elliptiques en liaison avec le célèbre grand théorème de Fermat. Le mathématicien anglais Alan Baker apporta des précisions (1968) sur le théorème de Thue en précisant une borne supérieure des x et y.
Rappel (fonction homogène) :
α désignant un nombre réel non nul, une fonction numérique d'une ou plusieurs variables x→ f(x, y, z, ...) est dite homogène de degré α si pour tout réel t :
f(tx, ty, tz, ...) = tαf(x, y, z, ...) (h)
La fonction définie par f(x,y) = (xn + yn)/(x + y) est homogène de degré n-1.
La fonction définie par f(x,y) = √(x + y) est homogène de degré 1/2.
Un polynôme de deux variables x et y sera homogène si chaque monôme en x et y a le même degré. Par exemple f(x,y) = x3+ 2xy2 + y3 est homogène de degré 3 car xy2 = x1y2 est de degré 1 + 2 = 3; f(x,y) = x4 + 2xy2 + y4 n'est pas homogène.
Les fonctions linéaires du type f(x) = ax sont homogènes de degré 1.
➔ Dérivation : Si f admet des dérivées partielles continues, on remarquera qu'en dérivant la formule de définition (h) ci-dessus par rapport à x, le membre de gauche est t × ∂f/∂x au point (tx,ty), celui de droite est αtα-1× ∂f/∂x au point (x,y). Ce qui s'écrit :
C'est dire que ∂f/∂x est homogène de degré α - 1. De même, bien entendu, par rapport à y. Et, d'une façon générale, lorsque cela est licite : les dérivées partielles d'ordre p sont homogènes de degré α - p.
∗∗∗
a) φ désignant une
fonction numérique, montrer que la fonction h : (x,y) → xnφ(y/x) est homogène de degré
n pour tout entier n.
b) Vérifier que l'on a x × ∂h/∂x
+ y × ∂h/∂y
= n × h
Formule d'Euler pour la dérivation des fonctions homogènes : »
| Théorème de Thue sur les nombres algébriques (1909) : |
Il s'agit d'un résultat complétant un théorème établi par Roth au sujet des approximations rationnelles des nombres algébriques :
Si x est algébrique de degré n, et m > 1 + n/2, il existe un nombre fini de rationnels a/b pour lesquels :
| Problème de Thue ou problème des mots (1914) : |
Dans le cadre de la théorie des groupes, le mathématicien allemand Max Dehn s'était s'intéressé (1911) au problème de l'isomorphie (Das Isomorphieproblem) : peut-on exhiber un algorithme susceptible de prouver (en un nombre fini d'étapes) que deux groupes donnés (de cardinal infini dénombrable) sont isomorphes.
En 1914, Thue s'empare du sujet dans le cadre plus général de la théorie des langages en transposant le problème aux monoïdes (demi-groupes) unifères et à la théorie de leur présentation par générateurs et relations. Il s'agit là d'un problème de décision au sens de Turing et il fut prouvé que le problème est généralement indécidable dans la mesure où il n'est pas possible d'exhiber d'algorithme universel.
En savoir un peu plus sur ce problème (Word problem) : »
Groupes libres : »
» Dehn ,
Turing ,
Gödel
Young
William H.