ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

THUE Axel, norvégien, 1863-1922

Après des études à Leipzig et à l'université d'Oslo (alors Kristiana) où il obtient son doctorat en 1889, Thue enseignera essentiellement à l'université d'Oslo, section des mathématiques appliquées. On lui d'importantes avancées en théorie algébrique des nombres dans la résolution d'équations et approximations diophantiennes.

  Diophante d'Alexandrie

Un théorème de Thue :

Ce résultat fut publié dans le journal de Crelle (1909). Il concerne la recherche des points à coordonnées entières sur une courbe algébrique : 

Lorsque f(x,y) désigne un polynôme homogène de degré 3 au moins, à coefficients entiers et sans zéros rationnels, alors l'équation f(x,y) = k où k est un entier non nul, admet au plus un nombre fini de solutions.

 Un polynôme est dit homogène si chaque monôme en x et y a le même degré : f(x,y) = x3+ 2xy2 + y3 est homogène de degré 3 car xy2 = x1y2 est de degré 1 + 2 = 3 en x et y;  f(x,y) = x4 + 2xy2 + y4 n'est pas homogène.

Cette géométrisation d'un problème arithmétique sera le point de départ de très importants travaux sur les courbes elliptiques en liaison avec le célèbre grand théorème de Fermat. Le mathématicien anglais Alan Baker apporta des précisions (1968) sur le théorème de Thue en précisant une borne supérieure des x et y.

   Mordell , Siegel

Théorème de Thue sur les nombres algébriques (1909) :

Il s'agit d'un résultat complétant un théorème établi par Roth :

Si x est algébrique de degré n, et m > 1 + n/2, il existe un nombre fini de rationnels a/b pour lesquels :

Problème de Thue ou problème des mots (1914) :

Dans le cadre de la théorie des groupes, le mathématicien allemand Max Dehn s'était s'intéressé (1911) au problème de l'isomorphie (Das Isomorphieproblem) : peut-on exhiber un algorithme susceptible de prouver (en un nombre fini d'étapes) que deux groupes donnés (de cardinal infini dénombrable) sont isomorphes.

En 1914, Thue s'empare du sujet dans le cadre plus général de la théorie des langages en transposant le problème aux monoïdes (demi-groupes) unifères et à la théorie de leur présentation par générateurs et relations. Il s'agit là d'un problème de décision au sens de Turing et il fut prouvé que le problème est généralement indécidable dans la mesure où il n'est pas possible d'exhiber d'algorithme universel.

En savoir un peu plus sur ce problème (Word problem) :                Groupes libres :             Turing , Gödel


 Pour en savoir plus :


Fields  Young William H.
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