ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
 
Indicatrice d'Euler (totient) |
Il s'agit de l'application, traditionnellement notée φ, qui à tout entier naturel n non nul associe le nombre d'entiers naturels inférieurs à n et premiers avec n :
φ(n) = Card {k, k∈N, 1 ≤ k ≤ n - 1, pgcd(k,n) = 1}
L'indicateur d'Euler joue un rôle important en arithmétique et tout particulièrement dans l'étude et la distribution des nombres premiers. En anglais, on parle de totient function, du latin totiens = tant de fois, proche de quotiens = combien de fois, mais d'usage interrogatif, qui a donné quotient en français et en anglais : chercher le quotient de n par p c'est chercher combien de fois "il y a p dans n".
Il apparaît, et cela semble bien évident, que si n est premier, alors φ(n) = n - 1, sinon φ(n) < n - 1.
Théorème 1 :
Si n est premier, φ(np)
= np-1(n - 1)
pour tout entier naturel p ≥ 1.
Et, en particulier, φ(n)
= n - 1 pour tout entier premier n.
Preuve : recherchons les entiers k inférieurs à np non premiers avec n : si d ≠ 1 divise k et np, l'entier n étant premier, k est un multiple de n de la forme d × n < np, donc d < np-1. Il y a donc np-1- 1 entiers k non premiers avec np. Or, Card {k, k∈N, 1 ≤ k ≤ np - 1} = np - 1. D'où φ(np) = np - 1 - (np-1- 1) = np-1(n - 1).
Théorème 2 :
Si m et n sont premiers, alors φ(m × n) = φ(m) × φ(n)
Preuve : recherchons les entiers k inférieurs à mn, non premiers avec mn si d ≠ 1 divise k et mn, les entiers m et n étant premiers, k est un multiple de m ou un multiple de n, donc de la forme d × n < mn ou d × m < mn. Le premier cas fournit d < m ce qui conduit à k∈{n, 2n, ..., (m-1)n} de cardinal m - 1. Le second cas conduit à k∈{m, 2m, ..., (n-1)m} de cardinal n - 1. Or, Card {k, k∈N, 1 ≤ k ≤ mn - 1} = mn - 1. D'où φ(mn) = mn - 1 - (m - 1) - (n - 1) = mn - m - n + 1 = (m - 1)(n - 1) = φ(m) × φ(n) puisque m et n sont premiers.
Remarque :
L'ensemble des éléments inversibles de l'anneau Z/nZ, à savoir les classes x tels que x et n sont premiers entre eux, constitue un groupe pour la multiplication (ils sont les générateurs de Z/nZ). En utilisant le résultat selon lequel les groupes multiplicatifs d'éléments Z/mnZ et Z/mZ × Z/nZ sont isomorphes si pgcd(m,n) = 1, le théorème 2 se généralise à la condition moins forte m et n premiers entre eux :
Théorème 3 :
Si m et n sont premiers entre eux, alors
φ(m×n) =
φ(m)×φ(n).
Et plus
généralement, l'image par φ de
tout produit d'entiers premiers
entre eux est le produit de leur images.
En conséquence, on déduira sans difficulté le résultat suivant en écrivant que tout entier naturel n est décomposable d'une seule manière en un produit de facteurs premiers :
Théorème 4 (corollaire) :
Si p1, p2, ..., pk sont les facteurs premiers de n, alors φ(n) = n(1 - 1/p1)(1 - 1/p2)...(1 - 1/pk)
∗∗∗
De tous les exemples précédents, il ressort que
φ(np)
est pair sauf pour n = 1 ou n = 2.
Pourriez-vous confirmer cette conjecture ?
Théorème 5 :
Le groupe multiplicatif (Z/nZ)*
des éléments inversibles de
l'anneau Z/nZ
est d'ordre
φ(n)
»
ordre d'un groupe
Preuve : voir cet exercice corrigé et remarquer ensuite que φ(n) = Card {k, k∈N, 1 ≤ k ≤ n - 1, pgcd(k,n) = 1} = Card {k∈Z/nZ, k inversible}.
Théorème 6 :
Le groupe multiplicatif des
racines primitives n-èmes de l'unité est d'ordre
φ(n) et est isomorphe au
groupe
des éléments inversibles de
Z/nZ.
Théorème 7 (Euler) :
Si les entiers a et n sont premiers entre eux, alors aφ(n) ≡ 1 [n]
Preuve : il suffit d'appliquer le théorème 5 ci-dessus et une propriété fondamentale des groupes finis. On pourra aussi consulter la preuve apportée par Robert Carmichael dans son traité d'arithmétique, The Theory of numbers : » réf.9, §23, Fermat's general theorem, à la page 52 de la pagination pdf. Ce résultat est effectivement à rapprocher du petit théorème de Fermat apparaissant comme un cas particulier :
Autres résultats :
Si n est un entier naturel non premier pour lequel φ(n) divise n - 1, alors n est un nombre de Carmichael.
Ancien billet de 10 francs suisses à l'effigie
de Euler, émis en 1976.
Riccati
Vincenzo