ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Indicatrice d'Euler (totient)

Il s'agit de l'application, traditionnellement notée φ, qui à tout entier naturel n non nul associe le nombre d'entiers naturels inférieurs à n et premiers avec n :

φ(n) = Card {k, kN, 1 ≤ k ≤ n - 1, pgcd(k,n) = 1}

L'indicateur d'Euler joue un rôle important dans l'étude et la distribution des nombres premiers. En anglais, on parle de totient function, du latin totiens = tant de fois, proche de quotiens = combien de fois, mais d'usage interrogatif, qui a donné quotient en français et en anglais : chercher le quotient de n par p c'est chercher combien de fois "il y a p dans n".

Théorème 1 :    

Si n est premier, φ(n) = n - 1. Sous la même condition :
φ(np) = np-1(n - 1) = np(1 - 1/n) pour tout entier naturel p ≥ 1

Preuve : recherchons les entiers k inférieurs à np non premiers avec n : si d ≠ 1 divise k et np, l'entier n étant premier, k est un multiple de n de la forme dn < np, donc d < np-1. Il y a donc np-1- 1 entiers k non premiers avec np. Or, Card {k, kN, 1 ≤ k ≤ np - 1} = np - 1. D'où φ(np) = np - 1 - (np-1- 1) =  np-1(n - 1) =  np(1 - 1/n).

Théorème 2 :    

Si m et n sont premiers, alors φ(mn) = φ(m)φ(n)

Preuve : recherchons les entiers k inférieurs à mn, non premiers avec mn si d ≠ 1 divise k et mn, les entiers m et n étant premiers, k est un multiple de m ou un multiple de n, donc de la forme dn < mn ou  dm < mn. Le premier cas fournit d < m ce qui conduit à k{n, 2n, ..., (m-1)n} de cardinal m - 1. Le second cas conduit à  k{m, 2m, ..., (n-1)m} de cardinal n - 1. Or, Card {k, kN, 1 ≤ k ≤ mn - 1} = mn - 1. D'où φ(mn) = mn - 1 - (m - 1) - (n - 1) = mn - m - n + 1 = (m - 1)(n - 1) = φ(m)φ(n) puisque m et n sont premiers.

Remarque :     

L'ensemble des éléments inversibles de l'anneau Z/nZ. On montre facilement qu'ils constituent un groupe pour la multiplication noté généralement (Z/nZ)*.

En utilisant le résultat selon lequel les groupes multiplicatifs d'éléments Z/mnZ et Z/mZZ/nZ sont isomorphes si pgcd(m,n) = 1, le théorème 2 se généralise à la condition moins forte m et n premiers entre eux :

Théorème 3 :    

Si m et n sont premiers entre eux, alors φ(m x n) = φ(m) x φ(n). Et plus généralement, l'image par φ de tout produit d'entiers premiers entre eux est le produit de leur images.

En conséquence, on déduira sans difficulté le résultat suivant en écrivant que tout entier naturel n est décomposable d'une seule manière en un produit de facteurs premiers :

Théorème 4 :   

Si p1, p2, ..., pk sont les facteurs premiers de n, φ(n) = n(1 - 1/p1)(1 - 1/p2)...((1 - 1/pk)


De tous les exemples précédents, il ressort que φ(np) est pair sauf pour n = 1 ou n = 2.
Pourriez-vous confirmer cette conjecture ?

Théorème 5 :   

Le groupe multiplicatif (Z/nZ)* des éléments inversibles de l'anneau Z/nZ est d'ordre φ(n)      
ordre d'un groupe

Preuve : voir cet exercice corrigé et remarquer ensuite que φ(n) = Card {k, kN, 1 ≤ k ≤ n - 1, pgcd(k,n) = 1} = Card {kZ/nZ, k inversible}.

Théorème 6 :   

Le groupe multiplicatif des racines primitives n-èmes de l'unité est d'ordre φ(n) et est isomorphe au
groupe
des éléments inversibles de Z/nZ.
 

Théorème d'Euler :    

Si les entiers a et n sont premiers entre eux, alors aφ(n) ≡ 1 [n]

Ce résultat, conséquence du théorème précédent est à rapprocher du petit théorème de Fermat.

Preuve : il suffit d'appliquer le théorème 5 ci-dessus et une propriété fondamentale des groupes finis.

Autres résultats :    


Ancien billet de 10 francs suisses à l'effigie de Euler, émis en 1976.


Buffon  Riccati Vincenzo
© Serge Mehl - www.chronomath.com