ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
 HAMILTON William Rowan,
irlandais, 1805-1865 |
Fils
de juriste, enfant surdoué, William Hamilton fut d'abord ce qu'il est convenu d'appeler un littéraire :
il étudie et pratique dès l'âge de 5 ans les langues anciennes : latin, grec,
hébreu, entre 8 et 10 ans, il aura appris le français, l'italien et l'arabe et
commence l'apprentissage du persan ! Orphelin à 14 ans, son oncle, James
Hamilton, le prit sous son aile. William parlait alors couramment 14 langues
dont des langues relativement circonscrites comme l'hindoustani, le malais et le
bengali...
Hamilton entre à 18 ans au Trinity College de Dublin et dévore mathématiques et astronomie, devenant très rapidement une célébrité, en soumettant à l'Académie royale de Dublin un correctif à la Mécanique céleste de Laplace et une théorie sur le rayonnement
Astronome titulaire, à 22 ans (il n'avait pas terminé ses études...), de la chaire d'astronomie de Académie royale, il complète ses travaux en optique et rénove tant la mécanique céleste qu'analytique (dite aujourd'hui mécanique hamiltonienne, fondement de la mécanique quantique) et développe une méthode de résolution d'équations différentielles par le calcul des variations.
En 1833, il se consacre plus particulièrement aux mathématiques pures avec la lecture à l'Académie royale d'un mémoire sur les couples algébriques : paires ordonnées (a,b) de nombres réels que l'on peut additionner, multiplier et diviser en leur appliquant des règles de calcul construites rationnellement et susceptibles de prolonger à leur ensemble les propriétés des opérations ordinaires.
Hamilton aboutit aux concept de vecteur (1846), d'espace vectoriel, d'algèbre associative à divisions (l'anneau sous-jacent est intègre) et de corps commutatif qu'il chercha à généraliser en imaginant les quaternions (dès 1843).
» Le concept de vecteur | Axiomatisation : Peano (espace vectoriel) , Weber (groupe, anneau, corps)
La construction d'Hamilton revient à définir le corps des nombres complexes de la forme a + bi comme le fit Gauss en 1831, mais il ne s'y réfère aucunement : son approche se veut purement algébrique (au sens des structures), indépendante de tout aspect géométrique.
Par son essai Elementary Essay on Algebra as the Science of Pure Time (1837, » réf.1), il est aussi à l'origine de la partition des rationnels qui amena Dedekind à la construction des nombres réels par les "coupures".
| Théorie algébrique des nombre complexes et quaternions (1843/1853/1866) : |
Suite à ses couples algébriques de 1833, Hamilton crée une théorie purement algébrique des nombres complexes (sans recours à la géométrie) en tant que couples de nombres réels : ils constituent un corps commutatif et peuvent être identifiés aux couples (a,b) de R2 munis de l'addition :
(a,b) + (a',b') = (a + a', b + b')
et de la multiplication :
(a,b) × (a',b') = (aa' - bb', ab' + a'b)
Hamilton cherche à étendre la notion de nombre complexe à l'espace. La motivation de départ étant que si la multiplication des nombres complexes s'interprète comme une rotation du plan, on doit pouvoir passer dans l'espace et imaginer des triplets susceptibles de posséder une structure algébrique comparable et décrivant les rotations de l'espace.
» Gauss , Wessel , Argand , Grassmann
Les premiers travaux sur les triplets s'avèrent infructueux. Les contraintes opératoires le poussent à considérer des quadruplets et à développer la théorie des quaternions (On quaternions, or on a new systems of imaginaires in algebra, 1843) : corps noté H (H comme Hamilton bien sûr), non commutatif dont C et R sont des sous-corps commutatifs (» réf.4).
i Sa théorie s'étoffera avec une seconde publication 10 ans plus tard (Lectures on quaternions, 1853). La version définitive sera éditée par un de ses anciens élèves Peter Guthrie Tait (1831-1901), un an après sa mort (Elements of quaternions, 1866).
En identifiant un quaternion
q à un
vecteur de R4, donc élément d'un espace vectoriel de dimension
4, il peut s’écrire :
dans la base (1, i, j, k), base canonique de R4 : c'est dire que 1 désigne (1,0,0,0), i désigne (0,1,0,0), j désigne (0,0,1,0), k désigne (0,0,0,1). On simplifie l'écriture en écrivant simplement q = a + bi + cj + dk
En identifiant i au célèbre complexe i tel que i2 = -1, le produit de deux quaternions s’obtient en prolongeant la multiplication dans C par :
Le produit de deux quaternions q = a + bi + cj + dk et q' = a' + b'i + c'j + d'k est alors :
q×q' = aa' - bb' - cc' - dd' + (ab' + a'b + cd' - c'd)i + (ac' + a'c - bd' + b'd)j + (ad' + a'd + bc' - b'c)k
♦
Pareillement à ce que l'on connaît dans C, on appelle conjugué de q = a + bi + cj +
dk, le quaternion
= a - bi
- cj - dk . On remarque que l'on a
:
q=
a2 + b2 + c2
+ d2
Posons r2 = a2
+ b2 + c2 + d2,
On a alors : q×(/r2)
= 1, ce qui montre que tout quaternion non nul, c'est à dire lorsque a, b, c et d
sont non simultanément
nuls, est inversible pour la multiplication de H et que l'inverse d'un
quaternion unitaire (r2 = 1) est égal à son conjugué.
La structure (H
,+,×) des quaternions
est un corps non
commutatif.
Au sens de l'inclusion, H est le plus
petit surcorps non
commutatif de R.
En tant qu'algèbre, H est une algèbre associative dite à division : on qualifie ainsi toute algèbre n'ayant pas de diviseur de 0 (le produit de deux éléments non nuls ne peut être nul si aucun d'eux n'est nul). Frobenius montrera (1877) qu'en dehors de R, C et H, il n'existe pas d'autre algèbre associative sans diviseur de 0.
On remarque que tout quaternion peut s'écrire (a + bi)1 + (c + di)j , soit A + Bj avec A et B complexes, ce qui explique l'appellation de nombres hypercomplexes (due à Gauss, 1831) parfois donnée aux quaternions. Ce subterfuge identifie H à C2.
Quaternions d'Hurwitz : » Nombres de Clifford : »
L'étude des quaternions, en tant qu'espace vectoriel de dimension 4 sur R, permettra à Cayley, Grassmann , Gibbs et Heaviside de mieux dégager la notion moderne d'espace vectoriel abstrait à n dimensions. Pour l'axiomatisation de cette dernière notion, il faudra attendre Peano. Ces nouveaux nombres hypercomplexes trouvent leur application en mécanique et dans la caractérisation de transformations de l'espace (rotations en particulier).
Quaternions et fibration de Hopf : »
➔ Dans sa publication de 1853, Hamilton définit les biquaternions sur C : q = a + bi + cj + dk où a, b, c et d sont des nombres complexes. On obtient une algèbre associative, non commutative (elle contient H) et possédant des diviseurs de zéro.
Octonions et nombres de Cayley : »
| Le concept de vecteur (1846) : |
On doit à Hamilton le terme vecteur (1846), dans un complément de son premier traité sur les quaternions publié dans le journal de mathématiques de Cambridge et Dublin (The Cambridge and Dublin Mathematic Journal, 1846). Dans sa seconde édition de 1853, avant d'introduire les quaternions, Hamilton développe le calcul vectoriel.
On y voit aussi apparaître la notion de scalaire x = AC/AB lorsque A, B et C sont colinéaires. Pour nommer un vecteur, équivalent à un triplet de l'espace, il utilise les lettres grecques minuscules α, β, ... Toutes les propriétés équivalentes à la définition d'un espace vectoriel sont énoncées, comme la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition. Propriétés également introduites d'un point de vue géométrique (sans rapport avec les quaternions) la même année par Grassmann en Allemagne.
Précisons, en toute justice et reconnaissance de paternité, que le concept de vecteur était implicitement utilisé depuis Argand dans sa représentation géométrique des nombres complexes. Le terme provient du latin vector = qui transporte. Kepler, auparavant, l'utilisa en astronomie sous la forme de rayon-vecteur, qui fut repris ensuite couramment dans l'usage des coordonnées polaires.
Vecteurs et flèches... : »
i
La théorie
des quaternions d'Hamilton est présente sur Gallica (cliquer sur la "page"
ci-dessus) dans sa version définitive de 1866 rééditée par Charles J. Joly
en 1899. On pourra
préférer la version de l'université de Californie,
nettement plus lisible. Cliquez sur l'image :
| Théorème de Cayley-Hamilton : |
Toute matrice carrée annule son polynôme caractéristique.
| Autres contributions : |
Logique fonctionnelle : introduction de la logique des prédicats et de la quantification (Lectures on logic, 1838). Mais ses travaux ne furent pas publiés officiellement de son vivant. D'ailleurs Hamilton, lisant les travaux de de Morgan qui régnaient alors en maître, l'accusa de plagiat au vu des lois logiques de base qu'il exprima en 1847.
En mécanique, Hamilton introduit l'opérateur linéaire portant aujourd'hui son nom (1846), l'hamiltonien, lequel est synonyme de nabla, ainsi baptisé par Maxwell. Il s'agit de l'opérateur de dérivation ∇ défini par :
écrit ici dans un champ vectoriel de base (i, j, k) et permettant l'écriture et une manipulation plus simple des notions de gradient, de rotationnel et de divergence. En mécanique quantique, l'hamiltonien est aussi une fonction, souvent noté H, relatif à l'énergie totale d'un système.
Autres opérateurs usuels : »
➔ Pour en savoir plus :
de Morgan