ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

HAMILTON William Rowan, irlandais, 1805-1865

Fils de juriste, enfant surdoué, William Hamilton fut d'abord ce qu'il est convenu d'appeler un littéraire : il étudie et pratique dès l'âge de 5 ans les langues anciennes : latin, grec, hébreu, entre 8 et 10 ans, il aura appris le français, l'italien et l'arabe et commence l'apprentissage du persan ! Orphelin à 14 ans, son oncle, James Hamilton, le prit sous son aile. William parlait alors couramment 14 langues dont des langues relativement circonscrites comme l'hindoustani, le malais et le bengali...

Hamilton entre à 18 ans au Trinity College de Dublin et dévore mathématiques et astronomie, devenant très rapidement une célébrité, en soumettant à l'Académie royale de Dublin un correctif à la Mécanique céleste de Laplace et une théorie sur le rayonnement

Astronome titulaire, à 22 ans (il n'avait pas terminé ses études...), de la chaire d'astronomie de Académie royale, il complète ses travaux en optique et rénove tant la mécanique céleste qu'analytique (dite aujourd'hui mécanique hamiltonienne, fondement de la mécanique quantique) et développe une méthode de résolution d'équations différentielles par le calcul des variations.

En 1833, il se consacre plus particulièrement aux mathématiques pures avec la lecture à l'Académie royale d'un mémoire sur les couples algébriques : paires ordonnées (a,b) de nombres réels que l'on peut additionner, multiplier et diviser en leur appliquant des règles de calcul construites rationnellement et susceptibles de prolonger à leur ensemble les propriétés des opérations ordinaires.

Hamilton aboutit aux concept de vecteur (1846), d'espace vectoriel, d'algèbre associative à divisions (l'anneau sous-jacent est intègre) et de corps commutatif qu'il chercha à généraliser en imaginant les quaternions (dès 1843).

  Le concept de vecteur   |  Axiomatisation :  Peano (espace vectoriel) , Weber (groupe, anneau, corps)

La construction d'Hamilton revient à définir le corps des nombres complexes de la forme a + bi comme le fit Gauss en 1831, mais il ne s'y réfère aucunement : son approche se veut purement algébrique (au sens des structures), indépendante de tout aspect géométrique.

Par son essai Elementary Essay on Algebra as the Science of Pure Time (1837, réf.1), il est aussi à l'origine de la partition des rationnels qui amena Dedekind à la construction des nombres réels par les "coupures".

Théorie algébrique des nombre complexes et quaternions (1843/1853/1866)

Suite à ses couples algébriques de 1833, Hamilton crée une théorie purement algébrique des nombres complexes (sans recours à la géométrie) en tant que couples de nombres réels : ils constituent un corps commutatif et peuvent être identifiés aux couples (a,b) de R2 munis de l'addition :

(a,b) + (a',b') = (a + a', b + b')

et de la multiplication :

(a,b) x (a',b') = (aa' -bb', ab' + a'b)

Hamilton cherche à étendre la notion de nombre complexe à l'espace. La motivation de départ étant que si la multiplication des nombres complexes s'interprète comme une rotation du plan, on doit pouvoir passer dans l'espace et imaginer des triplets susceptibles de posséder une structure algébrique comparable et décrivant les rotations de l'espace.

  Wessel , Argand , Grassmann

Les quaternions :     

Les premiers travaux sur les triplets s'avèrent infructueux. Les contraintes opératoires le poussent à considérer des quadruplets et à développer la théorie des quaternions (On quaternions, or on a new systems of imaginaires in algebra, 1843) : corps noté H (H comme Hamilton bien sûr), non commutatif dont C et R sont des sous-corps (commutatifs).

  Sa théorie s'étoffera avec une seconde publication 10 ans plus tard (Lectures on quaternions, 1853). La version définitive sera éditée par un de ses anciens élèves Peter Guthrie Tait (1831-1901),  un an après sa mort (Elements of quaternions, 1866).

En identifiant un quaternion q à un vecteur de R4, donc élément d'un espace vectoriel de dimension 4, il peut s’écrire :

q = a + bi + cj + dk  (où a, b, c et d sont réels)

dans la base (1, i, j, k), base canonique de R4 : c'est dire que 1 désigne (1,0,0,0), i désigne (0,1,0,0), j désigne (0,0,1,0), k désigne (0,0,0,1)

En identifiant i au célèbre complexe i tel que i2 = -1, le produit de deux quaternions s’obtient en prolongeant la multiplication dans C par :

i2 = j2 = k2 = -1, ij = k, jk = i, ki = j, ji = -k, kj = -i et ik = -j

On appelle conjugué de q = a + bi + cj + dk, le quaternion = a - bi - cj - dk . Pareillement à ce que l'on connaît dans C :

q= a2 + b2 + c2 + d2

Posons r2 = a2 + b2 + c2 + d2, On a alors : q x (/r2) = 1, ce qui montre que tout quaternion non nul, c'est à dire lorsque a, b, c et d sont non simultanément nuls, est inversible pour la multiplication de H : H est un corps non commutatif.

En tant qu'algèbre, H est une algèbre associative dite à division : on qualifie ainsi toute algèbre n'ayant pas de diviseur de 0 (le produit de deux éléments non nuls ne peut être nul si aucun d'eux n'est nul). Frobenius montrera (1877) qu'en dehors de R, C et H, il n'existe pas d'autre algèbre associative sans diviseur de 0. Au sens de l'inclusion, H est le plus petit surcorps non commutatif de R.

Structures algébriques (corps, algèbre, diviseur de 0)                  Wedderburn , Heaviside , Hopf

On remarque que tout quaternion peut s'écrire (a + bi)1 + (c + di)j , soit A + Bj, A et B complexes, ce qui explique l'appellation de nombre hypercomplexe (due à Gauss, 1831) parfois donnée aux quaternions.

Quaternions d'Hurwitz : Nombres de Clifford :

L'étude des quaternions, en tant qu'espace vectoriel de dimension 4 sur R, permettra à Cayley, Grassmann , Gibbs et Heaviside de mieux dégager la notion moderne d'espace vectoriel abstrait à n dimensions. Pour l'axiomatisation de cette dernière notion, il faudra attendre Peano. Ces nouveaux nombres hypercomplexes trouvent leur application en mécanique et dans la caractérisation de transformations de l'espace (rotations en particulier).  

Dans sa publication de 1853, Hamilton définit les biquaternions sur C : q = a + bi + cj + dk  où a, b, c et d sont des nombres complexes. On obtient une algèbre associative, non commutative (elle contient H) et possédant des diviseurs de zéro.

Octonions et nombres de Cayley :

Le concept de vecteur (1846) :

On doit à Hamilton le terme vecteur (1846), dans un complément de son premier traité sur les quaternions publié dans le journal de mathématiques de Cambridge et Dublin (The Cambridge and Dublin Mathematic Journal, 1846). Dans sa seconde édition de 1853, avant d'introduire les quaternions, Hamilton développe le calcul vectoriel.

On y voit aussi apparaître la notion de scalaire x = AC/AB lorsque A, B et C sont colinéaires. Pour nommer un vecteur, équivalent à un triplet de l'espace, il utilise les lettres grecques minuscules α, β, ... Toutes les propriétés équivalentes à la définition d'un espace vectoriel sont énoncées, comme la distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition. Propriétés également introduites d'un point de vue géométrique (sans rapport avec les quaternions) la même année par Grassmann en Allemagne.

Précisons, en toute justice et reconnaissance de paternité, que le concept de vecteur était implicitement utilisé depuis Argand dans sa représentation géométrique des nombres complexes. Le terme provient du latin vector = qui transporte. Kepler, auparavant, l'utilisa en astronomie sous la forme de rayon-vecteur, qui fut repris ensuite couramment dans l'usage des coordonnées polaires.

Vecteurs et flèches... :



Théorème de Cayley-Hamilton :

Toute matrice carrée annule son polynôme caractéristique.

Pour en savoir plus, voyez Cayley :

Autres contributions :

Peano , Peirce

Notion de théorie des graphes :

écrit ici dans un champ vectoriel de base (i, j, k) et permettant l'écriture et une manipulation plus simple des notions de gradient, de rotationnel et de divergence. En mécanique quantique, l'hamiltonien est aussi une fonction, souvent noté H, relatif à l'énergie totale d'un système.

Autres opérateurs usuels :

Pour en savoir plus :

  1. Théorie des couples algébriques & essai sur l'algèbre (extraits) :
    http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Hamilton/PureTime/PureTime.pdf
  2. Les grands mathématiciens, E.T. Bell, Éd. Payot, Paris - 1950
  3. ABRÉGÉ D'HISTOIRE DES MATHÉMATIQUES, 1700-1900 par Jean Dieudonné et une équipe de mathématiciens, Éd. Hermann.
  4. Quaternions & rotations (université de Rennes) :
    http://agreg-maths.univ-rennes1.fr/documentation/docs/agreg-quater.pdf
  5. Site consacré aux quaternions (en anglais) : http://www.quaternions.com/
  6. Octonions : les pages de John C. Baez, université de Californie (en anglais) : http://www.math.ucr.edu/home/baez/Octonions/
  7. Mathématiques pour la programmation des jeux 3D : les quaternions: https://jeux.developpez.com/faq/math/?page=quaternions


Dirichlet  Morgan
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