ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

KUMMER Ernst Eduard, allemand, 1810-1893

Après un début d'études de théologie à l'université de Halle, Kummer se consacre aux mathématiques et obtient son doctorat en 1831. Il commença sa carrière comme professeur de lycée à Sorau (alors ville prussienne, aujourd'hui Zary, en Pologne), puis à  Leignitz (actuelle Legnica, Pologne). Kronecker et Cantor furent ses élèves.

Il fut ensuite nommé à l'université de Breslau (1842). A la mort de Gauss (1855), Dirichlet, qui enseignait à l'université de Berlin, lui succède à Göttingen, laissant ainsi sa place à Kummer. Le poste de Breslau ainsi vacant fut repris par Weierstrass. Kummer enseigna parallèlement la balistique à l'École de guerre de Berlin.

Ses travaux portèrent sur les séries et les équations différentielles mais son nom est resté célèbre par ses recherches en algèbre et en arithmétique. Ses résultats conduiront Dedekind et Kronecker à l'étude des corps de nombres algébriques. Weber et Hilbert apporteront une contribution essentielle sur ce sujet au début du 20è siècle.

Kummer et le théorème de Fermat :

Poursuivant des travaux de Gauss, Kummer travailla de nombreuses années sur la célèbre conjecture de Fermat, appelé parfois grand ou dernier théorème et crut l'avoir démontrée (1845).

L'équation x2 + y2 = z2 possède une infinité de solutions en nombres entiers ( triplets pythagoriciens). Au moyen des entiers de Gauss, cette équation peut s'écrire

(x + y)(x - y) = x2 + y2

et la recherche de z2 sous forme d'une somme de carrés est substituée à la décomposition de z2 dans l'anneau Z[i] des entiers de Gauss (i =). Mais des nombres premiers dans Z ne le sont parfois plus dans Z[i]. Par exemple

5 = 4 + 1 = 22 - i2 = (2 + )(2 - )

On voit là le besoin d'étudier une nouvelle arithmétique dans ce type de nombres.

Montrer que dans Z[i], 3 est premier.
On écrira que 3 = (a + bi)(c + di), avec a, b, c, d entiers et on remarquera que 3 étant réel, on a aussi 3 = (a - bi)(c - di), d'où 9 = (a2 + b2)(c2 + d2)

Le français Lamé, et principalement Kummer, travaillent sur le sujet. Dans le cas général, il s'agit de rechercher les décompositions éventuelles de xn + yn  (n premier) en un produit (x - u1y)(x - u2y)...(x - uny) où les ui désignent les racines n-èmes de l'unité et d'étudier le problème d'une factorisation unique en produit de « facteurs premiers ». Si r désigne une racine n-ème primitive de l'unité, on peut écrire :

(x - u1y)(x - u2y)...(x - uny) = (x - y)(x - ry)(x - r2y)...(x - rn-1y)

et si l'arithmétique de Z s'applique dans Z[r], la suite du raisonnement consiste à prouver que les facteurs x - rky du produit sont premiers 2 à 2 et que chaque facteur est alors lui-même une puissance n-ème dans Z[r]. Puis par un processus proche de la descente infinie, on aboutit à une contradiction.

Corps et polynômes cyclotomiques, nombres idéaux :

En fait, la "preuve" de Kummer fut mise à mal par Cauchy qui s'aperçut que si n = 23, la factorisation dans Z[r] n'est pas unique. Le résultat de Kummer s'avéra valable que pour une certaine classe de nombres premiers n, dits réguliers dont les propriétés se rattachent aux nombres de Bernoulli. Il put alors valider la conjecture pour les exposants premiers inférieurs à 100, autres que 37, 59, 67.

Pour ce faire, il eut recours, dans l'étude de Z[r], à la définition des nombres idéaux (qui ne sont en fait pas des nombres et sont à distinguer des nombres algébriques) relevant aujourd'hui d'une théorie ardue faisant appel à la notion de corps cyclotomique, corps de dislocation du polynôme Pn(X) = (X - u1)(X - u2)...(X - uk), également dit cyclotomique car les images de ses racines ui , désignant les racines n-èmes primitives de l'unité (engendrant leur groupe), sont solutions dans C de l'équation Xn = 1 et donc représentées sur le cercle unité.

L'étude des polynômes cyclotomiques avait été entreprise par Vandermonde dans son mémoire de 1771 dans le but de prouver que l'on pouvait résoudre l'équation Xn = 1 par radicaux (c'est à dire exprimer les racines au moyen de radicaux arithmétiques.

Les travaux de Kummer auront un grand retentissement et conduiront à l'étude des corps de nombres algébriques et à la notion d'idéal d'anneau par Dedekind.

Corps de nombres algébriques :               Nombres p-adiques :                Structures algébriques :

  Dedekind , Kronecker , Weber , Hilbert , Bell

En reconnaissance de ses recherches, Kummer reçut (1857) la médaille d'or du grand prix de Mathématiques de l'Académie des Sciences : en 1823, l'Académie avait déclaré offrir une forte récompense en monnaie or à celui qui démontrerait la célèbre conjecture, aujourd'hui définitivement élevée au rang de théorème (1993) grâce à Andrew Wiles.

Pour en savoir plus : 

Équation différentielle de Kummer, fonctions de Kummer :

Il s'agit, en physique mathématique, de l'équation différentielle linéaire du second ordre où K est une fonction de la variable complexe z :

zK'' + (g - z)K' - aK = 0

Il s'agit d'un cas particulier de l'équation de Riemann. L'équation générale de Riemann possède trois singularités. On parle ici d'équation confluente car deux de ces singularités "confluent" en une seule. Par transformation homographique, on peut se ramener au cas où l'une est en 0 et l'autre à l'infini. Le mathématicien et astronome anglais Edmund Whittaker (1873-1956), professeur à Edimbourg, a étudié ce type de problème.

Les solutions sont des fonctions hypergéométriques Sunzn  :

        fonction gamma G


a) Que devient K lorsque a = g dans N ?
b) Vérifier que K est effectivement hypergéométrique, c'est à dire que un+1/un est une fonction rationnelle de n

Fonctions hypergéométriques de Gauss :      Équation et fonctions Jn de Bessel :
 
Critère de Kummer :

Soit une série Sun à termes positifs. S'il existe une suite (an) de réels positifs telle que la suite de terme général :

converge vers un réel L, alors si L > 0 la série est convergente, si L < 0 la série est divergente. Le cas L = 0 est litigieux.

Critère de Raabe-Duhamel :           Critère de d'Alembert  :               Séries numériques  :

Peirce Benjamin  Galois
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