ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

HAAR Alfred, hongrois, 1885-1933

Élève de Hilbert à Göttingen, Haar obtient son doctorat en 1909 sur la théorie des systèmes de fonctions orthogonales (Zur Theorie der orthogonalen Funktionensysteme). Haar enseigna principalement à l'université de Kolozsvàr (ex Klausenburg, aujourd'hui Cluj-Napoca au nord-ouest de l'actuelle Roumanie) et à l'université de Szeged où il fonda, avec son compatriote et ami Frigues Riesz, la revue Acta Scientiarum Mathematicarum (1920).

Harr se pencha sur le calcul des variations, étendant les résultats de du Bois-Reymond, et fut, avec Riesz à l'université de Szeged, un spécialiste en analyse fonctionnelle (équations intégrales, intégrales doubles) appliquée à la physique. On lui doit d'important résultats relatifs aux groupes topologiques commutatifs annonçant les travaux de Pontriaguine sur la dualité.

Ondelettes et format de compression JPEG 2000 :

Au sein de la théorie moderne de l'intégration, Harr est à l'origine de ce qu'on appelle aujourd'hui les ondelettes  : fonctions de carré intégrable très particulière intervenant aujourd'hui en théorie du signal et permettant de décrire la nature d'un signal sur une durée extrêmement courte. Passées relativement inaperçues jusque dans les années 1980, un géophysicien, Jean Morlet, travaillant chez Elf-Aquitaine s'en servit pour étudier les signaux émis par de faibles vibrations sismiques (tremblements de terre de faible intensité). C'est lui qui baptisa ondelettes ces fonctions.

Avec Alex Grossmann, directeur à l'époque du Centre de physique théorique de Marseille, il s'attacha inversement à retrouver la nature du signal à partir de sa transformée en ondelettes, à l'instar des transformations de Fourier. Ils purent constater qu'un petit nombre de séries pertinentes d'ondelettes permettent de décrire et de restituer, sans altération sensible, une vibration complexe.

C'est ainsi qu'en 2003, en particulier grâce aux recherches du mathématicien français Yves Meyer (1939-), est apparu la méthode de compression des images numériques baptisée JPEG 2000, moins gourmande en pixels que le JPEG standard (Joint Photographic Experts Group) des années 1990 : dans ce nouveau système de compression, les ondelettes remplacent les fonctions périodiques sinusoïdales et n'interviennent que lors d'un changement significatif rencontré dans l'image s'interprétant comme une vibration en termes de lumière (luminance) et couleur (chrominance).

Yves Meyer (1939-), mathématicien français, normalien. Doctorat en analyse de Fourier (1966) sous la direction de J.-P. Kahane (univ. Strasbourg). Spécialiste en analyse harmonique. Professeur émérite à l'ENS Cachan, Prix Gauss 2010, Prix Abel 2017.

Dans ce qu'il est convenu d'appeler les applications multimédia, les ondelettes remplacent aujourd'hui l'analyse classique de Fourier et sont en particulier utilisées en analyse vocale et dans le processus du célèbre format du son Dolby, du nom de son créateur anglais Ray Dolby au milieu des années 1966, permettant la réduction des bruit parasites (noise reduction) et une meilleure restitution des sons transitoires (le timbre d'un instrument ou d'une voix). Mais aussi en astronomie, dans la correction des  images fournies par le télescope Hubble, ou en géophysique dans l'étude des irrégularités de la rotation de la Terre, etc.

Mesure de Harr (1933) :

En théorie de la mesure, Harr prouva l'existence, dans tout groupe topologique G supposé localement compact et séparable (donc à base dénombrable d'ouverts), d'une mesure λ invariante par translation à gauche, c'est à dire vérifiant λ(gA) = λ(A) pour tout g de G et tout partie mesurable A de G.

L'unicité d'une telle mesure, à un facteur près (au sens de la loi de groupe) fut prouvée par von Neumann. En 1940, André Weil revenait sur le sujet en prouvant l'existence et l'unicité dans tout groupe localement compact ( réf.2) et Henri Cartan montra l'unicité sans invoquer l'axiome du choix ( réf.3) :

Mesure de Radon :


 Pour en savoir plus :

  1. Intégrale et mesure de Haar : N. Bourbaki, Éléments de mathématique, Livre VI - Intégration, ch. 7.
  2. Mesure de Harr par André Weil : http://books.cedram.org/MALSM/SMA_1934-1935__2__H_0.pdf
  3. Sur la mesure de Harr (preuve de l'unicité sans faire appel à l'axiome du choix), par Henri Cartan (1940) :
    https://books.google.fr/books?id=NheFSfGEEz8C&pg=PA1020&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false
  4. Existence and uniqueness of Harr measure, par Jonathan Cleason (univ. Chicago) :
    http://www.math.uchicago.edu/~may/VIGRE/VIGRE2010/REUPapers/Gleason.pdf
  5. La compression des images par Julien Michot, Université d'Angers : http://info.univ-angers.fr/~gh/Farcompr/rapport-images.pdf
  6. Ondelettes, université de Marseille : http://www.cmi.univ-mrs.fr/~torresan/universalis/ondel.html
  7. Les ondelettes et la révolution numérique : conférence vidéo du professeur Yves Meyer. 71 minutes très instructives à la fois historiques, techniques et mathématiques : http://www.canal-u.tv/canalu/content/view/full/103376


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