ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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BRAHMAGUPTA (ou Brahamagupta) , indien, 598-668 (?)

Ce mathématicien et astronome indien vécut à Ujjain, une des sept villes sacrées de l'Inde dans le bassin du Gange. Dans le cadre de ses calculs astronomiques, il s'intéressa à l'algèbre et aux équations diophantiennes, complétant des travaux d'Aryabhata.

Ujjain fut le berceau des astronomes indiens. A droite, l'ancien observatoire Vedh Shala, bâti par le maharadja de Jaipur en 1719 et où il fut décidé le passage du méridien d'origine des géographes indiens : en quelque sorte le Greenwich indien. Pour en savoir plus, cliquez sur l'image (lien externe).

  Bhaskara

Brahmagupta est sans doute le premier, dans des calculs commerciaux, à user des nombres négatifs pour signifier les pertes et les profits et à les utiliser en algèbre en énonçant la règle des signes.

  Descartes           Rolle et la règle des signes  :             Gauss, les quantités négatives ont enfin un statut :

Il emploie dans ses calculs un système décimal dont le graphisme est très proche de nos chiffres actuels dits arabes, fruit d'une évolution commençant au 3ème siècle avant J.-C. et, principalement le zéro (notation o), clé de voûte de ce système, que les Arabes adopteront au 9è siècle avec, principalement, les travaux d'Al-Khwarizmi.

 Arithmétique et le zéro selon Raymond Queneau sur YouTube :

Le célèbre "chiffre" manqua cruellement aux grandes civilisations babyloniennes, égyptiennes et grecques. Son apparition en Inde, tout particulièrement dans l'œuvre de Brahmagupta, est un pas de géant en algèbre. En Inde, d'une province à l'autre, les notations différaient et évoluèrent sur plusieurs siècles :

 

Inconnue jusqu'au 16è siècle, la civilisation Maya, découverte par les espagnols au sud de l'actuel Mexique, usait d'un système de numération positionnel de base 20 présentant un symbole spécifique pour désigner l'absence d'une puissance de 20 dans la décomposition d'un nombre et que l'on peut interpréter comme un "zéro".

Systèmes de numération :                 Le système maya :

Résolution d'équations diophantiennes :

Brahmagupta précise certaines relations métriques dans le triangles rectangle, en particulier :

En 628, dans son Brâhma-Sphutasiddhânta, Brahmagupta revient sur les équations indéterminées en nombres entiers de la forme ax + by = c étudiées par Diophante et Aryabhata, en donnant non pas des solutions particulières comme ses prédécesseurs mais l'ensemble des solutions.

Il résout, sur des cas particuliers inspirés par Héron d'Alexandrie relatifs à la détermination de triangles à aire entière et cotés entiers consécutifs, de difficiles équations comme :

x2 - 3y2 = 1

dont (2,1), (7,4), (26,15), ... sont des solutions ( page Héron & réf. 1). Brahamgupta calcula également une solution équation de l'équation x2 - 92y2 = 1 dont la solution (x,y) = (1151,120) est minimale en x ( réf. 2)

Au 12è siècle, Bhaskara traitera ce type d'équations dans un cadre plus général. De nos jours, on parle d'équations de Pell ou de Pell-Fermat, de la forme :

x2 - Ay2 = 1, avec A entier, non carré

Résolution générale de l'équation x2 - Ay2 = 1  :

Par ailleurs, le concept de congruence, cher à Gauss, apparaît chez Brahmagupta dans son Bhrama-Sphuta-Siddhanta, traité d'astronomie et de mathématiques, à travers la résolution, sur des cas particuliers, de systèmes de la forme :

n a [k]  et  n b [k']

Les congruences arithmétiques sont nées de l'astronomie de par les observations de phénomènes se répétant périodiquement. Elles se retrouvent également précocement, pour les mêmes raisons, dans les mathématiques chinoises où l'on rencontre souvent le module k = 60 (correspondant à deux lunaisons).

Dans son livre, Victor J. Katz cite un cas traité par Brahmagupta :

n 10 [137]  et  n 0 [60]

Ce système peut être résolu facilement en constatant qu'elle revient à écrire n = 60x et n - 10 = 137y. On en déduit : 60x - 137y = 10, équation que l'on résout par la méthode de Bézout.

Gauss et les congruences :
 
Une belle formule pour l'aire d'un quadrilatère inscriptible

Brahamagupta établit la formule de l'aire d'un quadrilatère convexe inscriptible, c'est à dire dont les sommets sont sur un même cercle, en fonction de la mesure de ses côtés :

Si a, b, c et d désignent la mesure des côtés et p = (a + b + c + d)/2 le demi-périmètre, on a :

Cette formule généralise celle de l'aire du triangle souvent attribuée au mathématicien grec de l'antiquité Héron d'Alexandrie.

Il précise également que les diagonales [AC] et [BD] ont pour mesures respectives :

Leur produit est AC.BD = ac + bd.


 Pour en savoir plus :

  1. Une solution complète de ce problème est proposé par Ray Beauregard et E. R. Suryanarayan sur le site de la MAA sous le titre
    The Brahmagupta Triangles
    : http://www.maa.org/sites/default/files/pdf/mathdl/CMJ/methodoflastresort.pdf
  2. Résolution par Brahmagupta de l'équation x2 - 92y2 = 1 :
    A History of Mathematics, par Victor Katz, Éd. Pearson, 1998, rééd. 2008


Boèce  Al-Khwarizmi
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