ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
 BRAHMAGUPTA
(ou Brahamagupta) ,
indien, 598-660 (?) |
Ce mathématicien et astronome
indien
vécut à Ujjain, une des sept villes sacrées de l'Inde dans le bassin du Gange.
Dans le cadre de ses calculs astronomiques, il
s'intéressa à l'algèbre et aux équations
diophantiennes, complétant des
travaux d'Aryabhata.
Ujjain fut le berceau des astronomes indiens. A droite,
l'ancien observatoire Vedh Shala, bâti par le maharadja de Jaipur en 1719 et où
il fut décidé le passage du méridien d'origine des géographes indiens : en
quelque sorte le Greenwich indien. Pour en savoir plus, cliquez sur l'image
(lien externe).
Brahmagupta est sans doute le premier, dans des calculs commerciaux,
à user des nombres
négatifs
(
Descartes)
pour signifier les pertes
et les profits et à les utiliser en algèbre en
énonçant la règle des signes.
Gauss, les quantités négatives ont enfin un statut :
Il emploie dans ses calculs un système décimal dont le graphisme est très proche de nos chiffres actuels dits arabes, fruit d'une évolution commençant au 3ème siècle avant J.-C. et, principalement le zéro (notation o) que les Arabes adopteront au 9è siècle avec, principalement, les travaux d'Al-Khwarizmi.
Arithmétique
et le zéro selon Raymond Queneau sur
YouTube
:
Le célèbre "chiffre" manqua cruellement aux grandes civilisations babyloniennes, égyptiennes et grecques. Son apparition en Inde, tout particulièrement dans l'œuvre de Brahmagupta, est un pas de géant en algèbre.
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Inconnue
jusqu'au 16è siècle, la civilisation Maya, découverte par les espagnols au sud
de l'actuel Mexique, usait d'un système de numération positionnel de base 20
présentant un symbole spécifique pour désigner l'absence d'une puissance de 20
dans la décomposition d'un nombre et que l'on peut interpréter comme un "zéro".
Systèmes de numération :
Le système maya :
| Résolution d'équations diophantiennes : |
Outre les déjà "classiques" équations indéterminées en nombres entiers de la forme ax + by = c, étudiées par Diophante et Aryabhata, Brahmagupta résoudra (sur des cas particuliers) de difficiles équations de la forme :
dites, de nos jours, équations de Pell, qu'étudiera aussi plus tard Bhaskara dans un cadre plus général.
Notons
que le concept de
congruence,
cher à Gauss,
apparaît chez Brahmagupta
dans son Bhrama-Sphuta-Siddhanta, traité
d'astronomie et de mathématiques, à travers la
résolution, sur des cas particuliers, de systèmes de la
forme :
a [k] et
n
b [k']Les congruences arithmétiques sont nées de l'astronomie de par les observations de phénomènes se répétant périodiquement. Elles se retrouvent également précocement, pour les mêmes raisons, dans les mathématiques chinoises où l'on rencontre souvent le module k = 60 (correspondant à deux lunaisons).
Dans son livre, Victor J. Katz cite un cas traité par Brahmagupta :
n
10 [137] et n
0 [60]
Ce système peut être résolu facilement en constatant qu'elle revient à écrire n = 60x et n - 10 = 137y. On en déduit : 60x - 137y = 10, équation que l'on résout par la méthode de Bézout.
| Une belle formule pour l'aire d'un quadrilatère inscriptible |
On doit à Brahamagupta la formule de l'aire d'un
quadrilatère convexe inscriptible,
c'est à dire dont les sommets sont sur un même cercle (quadruplet de points
cocycliques), en fonction de la mesure de ses côtés :
Si a, b, c et d désignent la mesure des côtés et p = (a + b + c + d)/2 le demi-périmètre, on a :
Cette formule généralise celle de l'aire du triangle souvent attribuée à Héron d'Alexandrie.
Al-Khwarizmi
