ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
 WANTZEL Pierre-Laurent,
français, 1814-1848 |
Chargé de cours à l'École Polytechnique, ce jeune mathématicien, se référant à des travaux antérieurs de Viète, de Descartes et de Gauss, s'est intéressé tout particulièrement aux problèmes de constructibilité au sens d'Euclide (nombres ou figures géométriques), qui hantaient l'esprit des mathématiciens depuis l'antiquité.
| Théorème de Wantzel (1837) : |
S'appuyant sur les résultats d'Abel relatifs aux équations algébriques, Wantzel réussit à prouver dans un mémoire intitulé "Recherche sur les moyens de reconnaître si un problème de géométrie peut se résoudre à la règle et au compas" , le théorème fondamental suivant :
Tout nombre constructible x est racine d'un polynôme à coefficients entiers et le degré du polynôme minimal admettant x comme zéro est une puissance de 2.
Un nombre constructible est donc algébrique. En termes simples, les nombres constructibles sont ceux qui peuvent s'écrire aux seuls moyens des quatre opérations élémentaires et de la racine carrée. Par exemple, est constructible le nombre :
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Conséquence 1 : la duplication du cube est impossible : |
Selon le théorème de Wantzel,
n'est
pas constructible et par suite et la duplication
du cube est impossible.
Notons que le théorème de Wantzel énonce une
condition nécessaire pour qu'un nombre soit constructible.
Cette condition n'est pas suffisante. Dans son livre, Théorie des
corps, la règle et le compas, Jean Claude Carrega donne un exemple simple et convaincant
de racine réelle algébrique sur Q, de
degré 4 = 22 et non constructible.
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Conséquence 2 : la quadrature du cercle est impossible : |
Autre conséquence du théorème
de Wantzel, la quadrature du cercle, construction à la règle et au compas d'un
carré de même aire qu'un cercle de rayon donné, est également impossible
si l'on sait que p est
transcendant
(prouvé algébriquement par
Lindemann
en 1882) : donnons-nous un cercle et un point M du cercle en
choisissant OM comme unité de longueur, l'aire du disque est
alors p.
Il faut donc construire 
p
, ce qui est impossible car la racine carrée d'un nombre
transcendant est évidemment transcendante, donc, par
définition non algébrique.
Quadrature approchée du cercle selon
Dinostrate :
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Conséquence 3 : la trisection de l'angle est impossible : |
Quant
à la trisection
de l'angle, il suffit de remarquer que
construire un angle de mesure x revient à construire
cos x : par projection, cos x = OH et la
formule :
montre que cos x est solution d'une équation du 3e degré où cos3x est alors un paramètre donné.
Il est clair que les angles de 180° et 90° sont trisectables; d'ailleurs si x est trisectable, son double (par report) et sa moitié (bisection) le sont aussi. Ainsi 45° est trisectable :
D'après le théorème de Wantzel, pour que la trisection soit possible, l'équation doit être réductible au second degré dans Q. Par exemple, la trisection d'un angle de mesure x = 60° n'est pas possible : cos(p/9) serait solution de l'équation :
Or, il est facile de prouver
(
ci-dessous)
que ce polynôme n'admet aucune solution rationnelle q (qui
permettrait par factorisation puis division par x - q de se ramener
à une équation du second degré à
coefficients rationnels). Ce qui montre, du même coup,
l'impossibilité de construire l'ennéagone
régulier (9 côtés), résultat prouvé
en 1801 par Gauss.
L'équation 4x3 - 3x - 1/2 = 0 n'admet pas de racine rationnelle :
Soit a/b une solution rationnelle que l'on peut supposer irréductible. Il s'ensuit, dans N, l'égalité : 4a3 - 3ab2 = b3/2. Donc b est pair. Posons b = 2c. Il vient a3 - c3 = 3ac2. Donc a divise c3 et c divise a3. Mais la fraction a/b étant irréductible a est premier avec b et par suite avec sa moitié c. Donc a = ±1. C'est dire que c divise ± 1, donc c = ± 1 et b = ± 2. En conséquence x = ±1/2 et on vérifie aisément que ± 1/2 n'est pas solution de l'équation.
Noter que les mathématiciens arabes avaient déjà
soupçonné l'impossibilité de la trisection géométrique de l'angle en
ramenant le problème, comme le fit ultérieurement Viète, à la résolution de
l'équation du 3ème degré.
| Constructibilité des polygones réguliers : |
Wantzel compléta la démonstration de Gauss concernant la condition (nécessaire et suffisante) de constructibilité des polygones réguliers Pn :
le nombre n de côtés
doit être de la forme
2kF1F2...Fm
où k est entier
et les Fi des nombres de
Fermat
premiers (c'est à dire de la forme indiquée
ci-dessous).
En particulier si n est premier de la forme :
alors Pn est constructible. C'est donc le cas de P5, pentagone régulier mais pas de l'ennéagone, n = 11:
Pentagone et décagone réguliers
:
Construction approchée de l'ennéagone
:
Rappelons que Gauss avait démontré (1801) le théorème suivant :
si m et n sont premiers entre
eux et si 2p/m
et 2p/n
sont constructibles,
alors 2p/(mn)
est constructible
Gauss prouva également que 2p/n est constructible dès que n est un nombre premier de Fermat.
Les constructions d'un inverse 1/a et d'un produit ab sont fort simples par usage de la propriété de Thalès.
Une
petite remarque, niveau sup. : noter que l'ensemble des nombres
constructibles est le plus petit sous-corps de R (nombres
réels), stable pour la racine carrée. C'est un corps
pythagoricien
(appellation en hommage à Pythagore
et à son célèbre théorème) :
Un corps K est dit pythagoricien si
, pour toute paire de nombres constructibles a et b,
il en est de même de
Théorie des corps ,
la règle et le compas
,
Jean-Claude Carrega -
Ed. Hermann, 1989.
Ada
Byron
