ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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WANTZEL Pierre-Laurent, français, 1814-1848

Éléments biographiques : Sabix (Archives de l'X, 1897) , Source portrait : Université nationale du Mexique

Pierre Laurent Wantzel fait montre très jeune de capacités exceptionnelles tant en lettres qu'en mathématiques. Après des études secondaires au lycée Charlemagne (Paris), il entre brillamment à l'École Polytechnique à l'âge de 18 ans et sera ingénieur des Ponts et Chaussées (1840).

C'est en tant que chargé de cours à l'École Polytechnique que ce jeune mathématicien, se référant à des travaux antérieurs de Viète, de Descartes et de Gauss, s''intéressa tout particulièrement aux problèmes de constructibilité au sens d'Euclide (nombres ou figures géométriques), qui hantaient l'esprit des mathématiciens depuis l'antiquité. De santé fragile, Wantzel meurt prématurément à 34 ans.

Théorème de Wantzel (1837) :   

S'appuyant sur les résultats d'Abel relatifs aux équations algébriques, Wantzel réussit à prouver dans un mémoire intitulé "Recherche sur les moyens de reconnaître si un problème de géométrie peut se résoudre à la règle et au compas" et publié dans le journal de Liouville, le théorème fondamental suivant :

Tout nombre constructible x est racine d'un polynôme à coefficients entiers et le degré du polynôme
minimal admettant x comme zéro est une puissance de 2.

Un nombre constructible est donc algébrique. En termes simples, les nombres constructibles sont ceux qui peuvent s'écrire aux seuls moyens des quatre opérations élémentaires et de la racine carrée. Par exemple, est constructible le nombre :

 Conséquence 1 : la duplication du cube est impossible :

Selon le théorème de Wantzel, n'est pas constructible et par suite et la duplication du cube est impossible.

Notons que le théorème de Wantzel énonce une condition nécessaire pour qu'un nombre soit constructible. Cette condition n'est pas suffisante. Dans son livre, Théorie des corps, la règle et le compas, Jean Claude Carrega donne un exemple simple et convaincant de racine réelle algébrique sur Q, de degré 4 = 22 et non constructible.

 Conséquence 2 : la quadrature du cercle est impossible :

Autre conséquence du théorème de Wantzel, la quadrature du cercle, construction à la règle et au compas d'un carré de même aire qu'un cercle de rayon donné, est également impossible si l'on sait que π est transcendant (prouvé algébriquement par Lindemann en 1882) : donnons-nous un cercle et un point M du cercle en choisissant OM comme unité de longueur, l'aire du disque est alors π. Il faut donc construire √π, ce qui est impossible car la racine carrée d'un nombre transcendant est évidemment transcendante, donc, par définition non algébrique.

Quadrature approchée du cercle selon Dinostrate :

 Conséquence 3 : la trisection de l'angle est impossible :

Quant à la trisection de l'angle, il suffit de remarquer que construire un angle de mesure x revient à construire cos x : par projection, cos x = OH et la formule :

cos 3x = 4cos3x - 3cos x

montre que cos x est solution d'une équation du 3e degré où cos3x est alors un paramètre donné. 

Il est clair que les angles de 180° et 90° sont trisectables; d'ailleurs si x est trisectable, son double (par report) et sa moitié (bisection) le sont aussi. Ainsi 45° est trisectable :

D'après le théorème de Wantzel, pour que la trisection soit possible, l'équation doit être réductible au second degré dans Q. Par exemple, la trisection d'un angle de mesure x = 60° n'est pas possible : cos(π/9) serait solution de l'équation :

4x3 - 3x - 1/2 = 0

Or, il est facile de prouver ( ci-dessous) que ce polynôme n'admet aucune solution rationnelle q (qui permettrait par factorisation puis division par x - q de se ramener à une équation du second degré à coefficients rationnels). Ce qui montre, du même coup, l'impossibilité de construire l'ennéagone régulier (9 côtés), résultat prouvé en 1801 par Gauss.

Soit a/b une solution rationnelle que l'on peut supposer irréductible. Il s'ensuit, dans N, l'égalité : 4a3 - 3ab2 = b3/2. Donc b est pair. Posons b = 2c. Il vient a3 - c3 = 3ac2. Donc a divise c3 et c divise a3. Mais la fraction a/b étant irréductible a est premier avec b et par suite avec sa moitié c. Donc a = ±1. C'est dire que c divise ± 1, donc c = ± 1 et b = ± 2. En conséquence x = ±1/2 et on vérifie aisément que ± 1/2 n'est pas solution de l'équation.

Noter que les mathématiciens arabes avaient déjà soupçonné l'impossibilité de la trisection géométrique de l'angle en ramenant le problème, comme le fit ultérieurement Viète, à la résolution de l'équation du 3ème degré.

  Al-Biruni

Constructibilité des polygones réguliers :

Wantzel compléta la démonstration de Gauss concernant la condition (nécessaire et suffisante) de constructibilité des polygones réguliers Pn :

le nombre n de côtés doit être de la forme 2kF1F2...Fm où k est entier
et les Fi des nombres de
Fermat premiers
(c'est à dire de la forme indiquée ci-dessous).

En particulier si n est premier de la forme :

alors Pn est constructible. C'est donc le cas de P5, pentagone régulier mais pas de l'ennéagone, n = 11:

Pentagone et décagone réguliers :                Construction approchée de l'ennéagone :

Rappelons que Gauss avait démontré (1801) le théorème suivant :

Si m et n sont premiers entre eux et si 2π/m et 2π/n sont constructibles, alors 2π/(mn) est constructible

Gauss prouva également que 2π/n est constructible dès que n est un nombre premier de Fermat. Rappelons ici que si a et b sont constructibles, il en est de même très simplement de leurs inverses et de leur produit par usage de la propriété de Thalès.

Une petite remarque, niveau sup. : noter que l'ensemble des nombres constructibles est le plus petit sous-corps de R (nombres réels), stable pour la racine carrée. C'est un corps pythagoricien (appellation en hommage à Pythagore et à son célèbre théorème) :

Un corps K est dit pythagoricien si, pour toute paire de nombres constructibles a et b, il en est de même de


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