ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

DIOPHANTE d'Alexandrie, grec, vers 325-409         Alexandrie

La vie de ce grand arithméticien de l'Antiquité est mal connue. Il aurait écrit treize livres d'un traité intitulé Les Arithmétiques. On n'en connaissait que six jusqu'en 1972 -retrouvés au 15è siècle, en Italie, par Regiomantanus- lorsque quatre autres furent retrouvés en Iran.

Son œuvre, constituée principalement de problèmes des premier et second degré (189 problèmes, résolus pour la plupart) conduisant à des équations dont les solutions sont entières ou fractionnaires, influencera grandement les mathématiciens Arabes et, plus proches de nous, Viète et Fermat.

Elle fut traduite au 16è siècle à Heidelberg par le célèbre linguiste et philosophe allemand Xylander (Wilhelm Holtzmann, dit Xylander (1532-1596), qui traduisit également les six premiers livres des Éléments d'Euclide) puis complétée et commentée en France, en latin, par Bachet de Méziriac (1621).

Équation diophantienne, ensemble diophantien :

On appelle ainsi une équation de la forme P(x,y,z,...) = 0 où P est un polynôme à coefficients entiers (ou rationnels) dont on cherche les zéros dans N (entiers naturels) ou Q (nombres rationnels : fractions). Un ensemble de p-uplets (a1,a2,...ap)Np est dit diophantien si l'équation diophantienne P(x,y,z,...) = 0 de coefficients (a1,a2,...ap) possède au moins une solution.

Des exemples classiques d'équations diophantiennes :

Programme de résolution de l'équation ax + by = c :

Ensemble diophantien et ensemble récursivement énumérable :


Une belle identité remarquable de Diophante : (a2 + b2)(c2 + d2) = (ad + bc)2 + (ac - bd)2

Approximation diophantienne :

On entend par cette locution un algorithme consistant à approcher, à toute précision donnée, un nombre irrationnel par un nombre rationnel. Le problème est bien fondé puisque tout nombre réel est limite d'une suite de nombres rationnels. Le développement en fraction continue qu'étudieront Aryabhata, Chuquet, Wallis, Huygens (pour la construction d'horloges astronomiques) fut (et est encore) un puissant outil d'approximation des irrationnels.

Le sujet est fondamental. On peut dire que la quasi totalité des mathématiciens à travers le monde et les siècles se sont penchés et se penchent encore sur ce problème. Citons en particulier Euler, Lagrange, Gauss, Lambert, Legendre, Liouville avec la découverte des nombres transcendants (1844), Kronecker puis, au 20è siècle, Thue, Hardy et Roth avec l'étude des corps de nombres algébriques .

Meray et la construction des nombres réels au moyen des suites de Cauchy :

Pour Diophante, un nombre peut être entier ou fractionnaire (du type a/b, a et b entiers). Les équations (de degré 2, voire 3) ou systèmes mis en jeu peuvent avoir plus d'une solution. On doit en trouver une et tout artifice est permis.

  Trois problèmes de Diophante

  Citons ici deux beaux théorèmes d'arithmétique :

On voit implicitement là le concept de congruence modulo 4 : p 4 [1]. Ce type de problèmes, relève de la théorie additive des nombres et intéressera tout particulièrement Goldbach, Waring , Gauss , Lagrange, Hardy et Littlewood , Ramanujan, ...

  Dirichlet , Tao

Un petit problème d'arithmétique fractionnaire :   

Selon Bachet de Méziriac, dans ses Problèmes plaisants et délectables qui se font par les nombres publiés en 1613, l'épitaphe de Diophante d'Alexandrie propose cette énigme à la sagacité du visiteur. On retrouve le problème dans le Dictionnaire encyclopédique des amusements des sciences et physiques de Jacques Lacombe (1792, réf.6 ci-après) :

à quel âge mourut ce grand savant ? 

 Pour en savoir plus :

  1. L'algèbre d'Al-Khwarizmi et les méthodes indienne et grecque (dont Diophante), Léon Rodet, 1878
    http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k995262
  2. Approximation diophantienne par Maurice Mignotte, Univ. Paris-Sud, Orsay, 1975 :
    http://portail.mathdoc.fr/PMO/PDF/M_MIGNOTTE-91.pdf
  3. Introduction to number theory, approximations diophantiennes par Martin Klazar : http://kam.mff.cuni.cz/~klazar/ln_utc.pdf
  4. Recherches sur l'analyse indéterminée et l'arithmétique de Diophante, par Edouard Lucas (1873), sur Google Livres :
    https://books.google.fr/books?id=sFYkOOUbNIQC&printsec=frontcover&hl=fr&source=gbs_ge_summary_r&...
  5. Approximations diophantiennes, équations diophantiennes : Dictionnaire des mathématiques :algèbre, analyse, géométrie
    ENCYCLOPÆDIA UNIVERSALIS, tome1, Éd. Albin Michel (p. 251-275).
  6. Dictionnaire encyclopédique des amusements des sciences mathématiques et physiques, par Jacques Lacombe (1792)
    https://books.google.fr/books?id=_AVdAAAAcAAJ


Pappus d'Alexandrie  Hypatie
© Serge Mehl - www.chronomath.com