ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
Formes
quadratiques
 forme
polaire , matrice
d'une forme quadratique , réduction |
Cette
page suppose connues les notions d'application
linéaire, de forme
linéaire, de
matrice
d'application linéaire
et d'application
bilinéaire
Application
bilinéaire, exercices
:
E désignant un espace vectoriel quelconque sur un corps commutatif K = R ou C et f une forme bilinéaire sur E, on appelle forme quadratique associée à f , l'application q de E vers K définie par :
u
E
: q(u) = f(u,u)On remarque que si l est un scalaire, alors q(l.u) = l2.u : la forme q n'est pas linéaire. Elle sera additive, c'est à dire vérifiant q(u + v) = q(u) + q(v), si f est antisymétrique et identiquement nulle (c'est à dire nulle pour tout u) si f est alternée car on a :
L'application f qui à (u,v) associe f(u,v) + f(v,u) = q(u + v) - q(u) - q(v) est une forme bilinéaire et symétrique. D'où une définition plus générale ne faisant pas appel à la forme f forme associée f : on appelle forme quadratique sur E, toute application q de E vers K telle que :
l
K
: q(l.u)
= l2.q(u)
K,
définie par f(u,v)
=
q(u + v) - q(u) - q(v) est bilinéaire et
symétrique sur E.On a f(u,u) = q(2u) - 2q(u) = 4q(u) - 2q(u) = = 2q(u). Divisons par 2. La forme bilinéaire et symétrique φ = ½f est appelée forme polaire de q :
et se donner φ revient à se donner q.
Dans R2 : si u = (x,y), on pose q(x,y) = xy. On a alors, si u = (x,y) et v = (x',y') : φ(u,v) = ½(xy' + x'y).
Inversement supposons connu que φ(u,v) = xx' + xy' + x'y + yy'. La forme quadratique associée à une telle forme bilinéaire est alors définie par q(u) = q(x,y) = φ(u,u) = (x + y)2.
F désignant
un espace vectoriel sur K, montrer que si f
est linéaire de E vers F et q une forme quadratique de forme polaire
φ, alors q o f est une
forme quadratique de forme polaire φ o f : (u,v)
φ(f(u),f(v)).
Le produit scalaire, forme bilinéaire symétrique
définie positive :
| Matrice d'une forme quadratique : |
On suppose E de dimension finie n. L'ensemble des formes
quadratiques sur E constituent un espace vectoriel sur K. Il en est de
même de l'ensemble des formes polaires et ces espaces sont isomorphes via
l'isomorphisme q
φ.
Selon les résultats obtenus dans le cas d'une forme bilinéaire symétrique, dans une base (e1, ..., en) de E, une forme quadratique q s'exprimera sous la forme :
Si φ est la forme polaire de q, u = (x1,...,xn), v = (x'1,...,x'n), alors par définition et un calcul élémentaire :
D'une façon générale en dimension n (règle
de dédoublement), on voit que xi2
s'échange en xix'i
et xixj (i
j, i < j)
s'échange en ½(xix'j
+ xjx'i).
La matrice de q dans une base (e1, ..., en) est, par définition, celle de sa forme polaire φ. Soit :
C'est une
matrice symétrique. Le
rang de cette matrice (dimension du s. e.
v. engendré par ses vecteurs-colonnes) est appelé rang
de la forme quadratique q. La notion de rang est un paramètre
important dans l'étude de la réduction (
ci-après) de la forme quadratique q par diagonalisation de Mq
(toujours possible puisqu'elle est symétrique).
ax2
+ 2bxy + cy2 aura pour matrice :
Son rang est 2 si detM = ac - b2 est non nul.
| Réduction d'une forme quadratique : |
Alliée à la théorie des matrices et des valeurs propres, la réduction de ces formes permit de grandement faciliter, par diagonalisation de la matrice associée, l'étude des quadriques, surfaces algébriques de degré 2 de l'espace ordinaire.
Théorème de décomposition de Gauss :
Toute forme quadratique de rang r sur l'espace vectoriel E de dimension finie n peut s'écrire comme combinaison linéaire de r carrés de formes linéaires indépendantes :
q(u) = l1[L1(u)]2 + ... + lr[Lr(u)]2
On peut démontrer ce résultat par récurrence par décomposition canonique. Mais on peut faire mieux, si on accepte de changer de base :
Corollaire :
Pour tout forme quadratique de rang r sur l'espace vectoriel E, de dimension finie n sur R, il existe une base orthogonale suivant laquelle la matrice de q est diagonale de valeurs propres l1, l2 , ... lr et
q(X) = l1X12 + l2X22 + ... + lrX2
Considérons par exemple l'ensemble des points de l'espace vérifiant : yz + zx - xy = k dans un repère orthonormé de l'espace, k étant un réel donné; on peut associer cette équation à la forme quadratique q : (x,y,z)
Mieux encore :
Théorème de Sylvester (dit théorème d'inertie) :
Pour tout forme quadratique de rang r sur l'espace vectoriel E, de dimension finie n sur R, il existe une base orthogonale et un entier naturel p ≤ r suivant laquelle :
q(X) = X12 + X22... + Xp2 - Xp2+1 - Xp2+2 - ... - lrX2
Une décomposition de ce type n'est pas unique mais l'entier p ne dépend cependant pas de la base : le couple d'entier (p, r - p) est appelé signature de la forme quadratique q.
Pour
en savoir plus :