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Formes quadratiques            forme polaire , matrice d'une forme quadratique , réduction ,  théorème de Sylvester

Cette page suppose connues les notions d'application linéaire, de matrice d'application linéaire, de forme linéaire et de forme  bilinéaire.

Application linéaire, forme linéaire, matrice :                  Application bilinéaire, forme bilinéaire :

Définition 1 :   

E désignant un espace vectoriel quelconque sur un corps commutatif K = R ou C et f une forme bilinéaire sur E, on appelle forme quadratique associée à f , l'application q de E vers K définie par :

u E : q(u) = f(u,u)

On remarque que si λ est un scalaire, alors q(λ.u) = λ2.u : la forme q n'est pas linéaire. Elle sera additive, c'est à dire vérifiant q(u + v) = q(u) + q(v), si f est antisymétrique et identiquement nulle (c'est à dire nulle pour tout u) si f est alternée car on a :

q(u + v) = f(u + v,u + v) = f(u,u) + f(u,v) + f(v,u) + f(v,v) = q(u) + q(v) + f(u,v) + f(v,u)

Définition 2 et forme polaire :   

L'application σ qui à (u,v) associe f(u,v) + f(v,u) = q(u + v) - q(u) - q(v) est une forme bilinéaire et symétrique. D'où une définition plus générale ne faisant pas appel à la forme f :

On appelle forme quadratique sur l'espace vectoriel E, toute application q de E vers K telle que :

 On a σ(u,u) = q(2u) - 2q(u) = 4q(u) - 2q(u) = 2q(u).

Divisons par 2. La forme bilinéaire et symétrique φ = ½σ est appelée forme polaire de q :

et se donner φ revient à se donner q.


On montrera facilement le résultat suivant :

F désignant un espace vectoriel sur K, montrer que si f est linéaire de E vers F et q une forme quadratique de forme polaire φ, alors q o f est une forme quadratique de forme polaire φ o f : (u,v) φ(f(u),f(v)).

Le produit scalaire en tant que forme bilinéaire symétrique définie positive :

Expression générale et matrice d'une forme quadratique :

On suppose E de dimension finie n. L'ensemble des formes quadratiques sur E constituent un espace vectoriel sur K. Il en est de même de l'ensemble des formes polaires et ces espaces sont isomorphes via l'isomorphisme qφ.

Selon les résultats obtenus dans le cas d'une forme bilinéaire symétrique, dans une base (e1, ..., en) de E, une forme quadratique q s'exprimera sous la forme :

Si φ est la forme polaire de q, u = (x1,...,xn), v = (x'1,...,x'n), alors par définition et un calcul élémentaire :

  D'une façon générale en dimension n (règle de dédoublement), on voit que xi2 s'échange en xix'i et xixj (i j, i < j) s'échange en ½(xix'j + xjx'i).

La matrice de q dans une base (e1, ..., en) est, par définition, celle de sa forme polaire φ. Soit :

C'est une matrice symétrique.

Le rang de cette matrice (dimension du s. e. v. engendré par ses vecteurs-colonnes) est appelé rang de la forme quadratique q. La notion de rang est un paramètre important dans l'étude de la réduction ( ci-après) de la forme quadratique q par diagonalisation de Mq (toujours possible puisqu'elle est symétrique).

Par exemple :   

Son rang est 2 si detM = ac - b2 est non nul.

Réduction d'une forme quadratique :

Alliée à la théorie des matrices et des valeurs propres, la réduction de ces formes permit de grandement faciliter, par diagonalisation de la matrice associée, l'étude des quadriques, surfaces algébriques de degré 2 de l'espace ordinaire.

Théorème de décomposition de Gauss :  

Toute forme quadratique de rang r sur l'espace vectoriel E de dimension finie n peut s'écrire comme combinaison linéaire de r carrés de formes linéaires indépendantes : 

q(u) = λ1[L1(u)]2 + ... + λr[Lr(u)]2

On peut démontrer ce résultat par décomposition canonique en raisonnant par récurrence. Mais on peut faire mieux, si on accepte de changer de base :

Corollaire :  

Pour tout forme quadratique de rang r sur l'espace vectoriel E, de dimension finie n sur R, il existe une base orthogonale suivant laquelle la matrice de q est diagonale de valeurs propres λ1, λ2 , ... λr et

q(X) = λ1X12 + λ2X22 + ... + λr X2

Considérons par exemple l'ensemble des points de l'espace vérifiant : yz + zx - xy = k dans un repère orthonormé de l'espace, k étant un réel donné; on peut associer cette équation à la forme quadratique q : (x,y,z) yz + zx - xy dont on recherche la ligne de niveau q(x,y,z) = k. Un changement de base orthonormée convenable, correspondant aux vecteurs propres de M, permet de diagonaliser cette matrice et de ramener l'équation à  X2 + Y2 - 2Z2 = 2k. Sous cette forme, on reconnaît immédiatement une quadrique :

     ligne de niveau et exemple de réduction d'une forme quadratique : clic me...

Mieux encore :

Théorème de Sylvester (dit théorème d'inertie) :  

Pour tout forme quadratique de rang r sur l'espace vectoriel E, de dimension finie n sur R, il existe une base orthogonale et un entier naturel p ≤  r suivant laquelle :

q(X) = X12 + X22... + Xp2 - Xp2+1 - Xp2+2 - ... - λr X2

Une décomposition de ce type n'est pas unique mais l'entier p ne dépend cependant pas de la base : le couple d'entier (p, r - p) est appelé signature de la forme quadratique q.


 Pour en savoir plus :


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