ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

DEDEKIND Richard Julius Wilhelm, allemand, 1831-1916                             Jules Verne, écrivain français a 3 ans (1828-1905)

Né, comme Gauss, à Brunswick (Braunschweig), Dedekind y débutera ses études et sera son élève à Göttingen (1850) où il obtiendra son doctorat sous sa direction en 1852, thèse intitulée Sur la théorie des intégrales eulériennes.

À la mort de Gauss (1855), il étudiera sous la houlette de Dirichlet, son successeur, tout en enseignant à Göttingen en qualité d'assistant et s'imprégnant des travaux de Galois, de Weber et de Riemann qui fut son ami.

Dedekind sera nommé à l'École Polytechnique de Zurich en 1858, puis à Berlin auprès de Riemann avant de revenir à Brunswick en l'École polytechnique de sa ville natale, créée en 1862 en remplacement de son ancien lycée (Collegium Carolinum, fondé en 1745) et dont il deviendra le directeur. Membre correspondant des académies des sciences de Berlin (1880) et de Paris (1900), Dedekind sera membre à titre étranger de cette dernière en 1910 (membre associé).

Bon nombre de ses travaux furent en collaboration avec son ami Weber (comme sa théorie des fonctions algébriques). Ses apports en théorie des nombres marquent le début de la théorie des ensembles dont la mise en place sera due à Cantor.

En 1888, Dedekind publia Was sind und was sollen die Zahlen (Que sont et que doivent être les nombres) où, faisant usage de la théorie des ensembles de Cantor,  il expose une construction axiomatique des entiers naturels. Ce mémoire, le premier en la matière, inspirera Peano. On en trouvera un résumé et une analyse fort bien menée (en anglais) par David E. Joyce (Clark University, Worcester - Massachussetts) à cette adresse :

Notes on Richard Dedekind's Was sind und was sollen die Zahlen  :

Dedekind précise la structure de corps totalement ordonné des nombres rationnels (1871), puis crée l’ensemble des nombres irrationnels (Stetigkeit und Irrationalzahlen : Continuité et nombres irrationnels, 1872) par la notion de "coupure" dans l’ensemble des nombres rationnels :

Cette nouvelle théorie repose sur l'axiome d'Archimède (en fait dû à Eudoxe) : tout rationnel r partage l'ensemble Q des rationnels en deux classes C₁ et C₂ constituées respectivement des rationnels r₁< r et des rationnels r₂ > r. Le nombre r définit ainsi une coupure dans Q que l’on peut approcher aussi finement que l’on voudra. De telles coupures peuvent être provoquées par des nombres non rationnels (comme 2) : ce sont les nombres irrationnels.

Pythagore et les nombres incommensurables :

Toute coupure définit ainsi un nombre rationnel ou non et Dedekind montre que l'ensemble ainsi construit est un ensemble continu (on préfère aujourd'hui dire connexe) contrairement à N et Q, dont l'ordre prolonge celui de Q : c'est l'ensemble des nombres réels (par opposition aux nombres complexes qualifiés d'imaginaires), que l'on peut identifier à la droite géométrique, image de ce que l'on appela (et appelons encore parfois) le continu arithmétique, comparé au continu géométrique de la droite.

  Meray       Nombres imaginaires de Bombelli :     rebaptisés complexes par Gauss :

Le qualificatif arithmétique pour ce continu numérique peut paraître contestable car, historiquement, il désigne ce qui a rapport aux nombres entiers ou rationnels (quotients de deux entiers). Il est préférable de parler de continu mathématique dont parlait Poincaré.

Ce résultat est fondamental car le fossé entre la géométrie grecque et les nombres irrationnels est ainsi comblé : on peut parler de droite numérique. Et si la correspondance nombre réel point sur un axe est fortement intuitive et ne pose aucune difficulté de l'école à l'université, il aura pourtant fallu plus de deux millénaires pour en arriver là !

Pour désigner les nombres rationnels, Dedekind utilisa initialement la notation R (pour rational).  Mais la notation Q (pour quotient, terme que l'on retrouve en français, anglais et allemand, quoziente en italien) s'imposa avec Bourbaki.

L'appellation corps est due à Dedekind utilisant le terme «Zahlkörper» pour un corps de nombres et «Körper R» pour celui des rationnels (1871), dans une réédition des Vorlesungen über Zahlentheorie : Leçons sur la théorie des nombres de Dirichlet ( Numdam/Dubreil, Réf4)

Le concept formel de corps sera énoncé par Weber en 1893. Le terme réel (real en allemand, comme en anglais) pour désigner un nombre quelconque (non imaginaire) rationnel ou non, fut utilisé par Cantor (1883) et la notation R pour les nombres réels provient encore de Dedekind qui utilisa alors (R gothique).

La notation Z pour l'ensemble des entiers relatifs, Z = {...., -3, -2, -1, 0, +1, +2, ... } nous vient aussi de Dedekind (en allemand Zahl = nombre et zahlen = compter) qui notait J le corps des nombres complexes, aujourd'hui noté C (pas de certitude sur l'origine : Bourbaki semble être l'initiateur, 1939).

Intervalles :  

La correspondance biunivoque entre nombre réel et point d'une droite (d) conduit à noter de façon semblable un segment [AB], ensemble de points de (d) compris entre A et B, et un ensemble [a,b], de nombres réels x compris au sens large entre a et b (a < b) : a ≤ x ≤ b,  qualifié d'intervalle fermé et également appelé segment. La notation ]a,b[ désigne l'ensemble des nombres réels x compris au sens strict entre a et b (a < b) : a < x < b. On peut aussi parler de [a,b[ ou ]a,b] avec des sens évidents.

 Parler d'intervalle dans N ou Z, voire dans Q, au moyen de la notation [ , ] n'est pas recommandé car en principe réservé à R. On pourra écrire cependant [1,10] ∩ N pour parler de l'ensemble {1, 2, ..., 10}.

Topologie et Intervalles :

Une partie A de R (ou de R, voir ci-dessous) est un intervalle si et seulement si pour tout (x,y) de AA,
l'intervalle ]x,y[ est inclus dans A.

L'ensemble des nombres réels n'est pas borné. Si on adjoint à R deux points à l'infini, notés -∞ et +∞, on obtient un nouvel ensemble contenant R, appelé droite numérique achevée, noté R, prolongeant l'ordre total de R de la façon suivante :

x R,   -∞ ≤ x  et  x  ≤ +∞

On convient d'écrire R = [-∞,+∞] et R = ]-∞,+∞[. Une notation comme ]a, +∞[ désignera l'ensemble des nombres réels x > a et on parle d'intervalle illimité (à droite). On peut aussi écrire :

• x = +∞  si et seulement si  quel que soit A > 0, x > A.

• x = -∞ si et seulement si  quel que soit A < 0, x < A.

On remarquera qu'il n'est pas possible de prolonger à R les opérations de R. La droite numérique achevée ne possède aucune structure algébrique usuelle. Son introduction ne sert qu'en topologie afin d'obtenir, dans le cadre de la notion de limite des fonctions numériques, des définitions et résultats ne dépendant pas de la finitude des éléments considérés.

Pour en savoir plus :

• Les constructions des nombres réels, Jacqueline Boniface, IREM - Histoire des mathématiques.
  Éd. Ellipses, Paris - 2002

• Traité de MATHÉMATIQUES spéciales - Tome 2, analyse, G. Cagnac, E. Ramis, J. Commeau
  Éd. Masson & Cie - Paris, 1972

• Richard Dedekind et les fondements des mathématiques, par Pierre Dugac, préface de J. Dieudonné,
  partiellement en ligne sur Google books.

Notations & symboles :            Weierstrass , Cantor

Toute suite croissante majorée (resp. décroissante minorée) de nombres réels est convergente.

Ce théorème fondamental est appliqué systématiquement dans l'étude des suites ou des séries : dans l'usage des critères de convergence qui se ramènent à l'étude d'une suite.

Convergence en escalier :            Constante d'Euler :            Calcul d'une racine carrée :

Si la série Sa_n, à termes réels ou complexes, est convergente, et si la série S(b_n+1- b_n) est absolument convergente, alors la série Sa_nb_n est convergente.

Dedekind précisera la notion d'application, d'image et de bijection (correspondance biunivoque : tout élément de l'ensemble de départ possède un correspondant unique dans l'ensemble d'arrivée et, inversement : on notera, par exemple, que ce n'est pas le cas pour l'application de Z dans Z qui à tout entier relatif associe son carré) et donnera une définition élégante d’un ensemble fini E :

Un ensemble est fini si et seulement si toute application injective de E dans E est bijective

Ce qui revient à dire :

Un ensemble est infini s'il peut être mis en bijection avec l'une de ses parties propres,

définition dont la paternité est attribuée à Bolzano mais également à Ch. Peirce.

Paradoxe de Galilée :

Cette définition de la finitude d'un ensemble eut l'avantage d'éviter l'intervention des entiers naturels (ensemble ayant un nombre fini d'éléments) en permettant ainsi une construction de ces derniers au seul moyen du langage des ensembles de Cantor.

  Lorsqu'une correspondance f de E sur F est biunivoque, la relation x f(x) = y permet de définir une application g de F sur E par y g(y) = x et l'on note généralement g = f^-1 . Cette notation s'explique de façon naturelle du fait que si l'on note :

puis : f o f o f = f ³ , f o f o f... o f = f ⁿ , on pose alors logiquement f ¹ = f et f ³ o f ² est clairement f ⁵. Ainsi cette notation se comporte comme une fonction puissance. fⁿ(x) est le n-ème itéré de x par f.

Mais (f o g)(x) = x puisque f et g sont réciproques l'une de l'autre. L'application qui à x associe x est appelée application identique et souvent notée id. Ainsi f o id = f, soit f¹ o id = f¹ . On est en droit de poser id = f ^o et par suite, f o g = id, s'écrit f ¹ o g = f ⁰ : on est en droit de poser g = f ^-1.

Généralités sur les fonctions et les applications :               Notation f⁽ⁿ⁾ pour une dérivée d'ordre n :

Suite aux travaux de ses compatriotes Kummer et Kronecker, Dedekind s'investit dans l'étude des corps de nombres algébriques où il établit la théorie des idéaux (1871) et prouve (1873) que l'ensemble des nombres algébriques est dénombrable, c’est à dire que l’on peut établir une correspondance biunivoque entre eux et N (on peut les numéroter exhaustivement).

  La théorie des idéaux (traduction anglaise) : http://www.andrew.cmu.edu/user/avigad/Papers/ideals71.pdf

 Idéal d'anneau : Divisibilité dans un anneau commutatif unitaire :

• L'ensemble de tous les nombres algébriques constituent un sous-corps du corps C des nombres complexes.

• L'ensemble de tous les nombres algébriques réels constituent un sous-corps de R contenant le corps des nombres constructibles : l'ensemble des nombres constructibles est donc dénombrable.

• L'ensemble des nombres transcendants, complémentaire dans C (ou R dans le cas réel) de l'ensemble des nombres algébriques, n'est donc pas dénombrable. C'est donc dire que contrairement à l'intuition, qu'il n'existe pratiquement que des nombres transcendants...

Notons que l'épithète dénombrable fut utilisé la première fois par Cantor, avec lequel travailla Dedekind, et à qui l'on doit la preuve de la non dénombrabilité de R. Le terme ensemble (Menge, en allemand) est également dû à Cantor. Dedekind utilisait Gebiet signifiant domaine, champ.

  Liouville          Wantzel et les nombres constructibles :            Hensel et les nombres p-adiques :

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Christoffel  Du Bois-Reymond

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