ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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LOBATCHEVSKI Nicolaï Ivanovitch, russe, 1793-1856

Enfant prodige, à l'âge de 14 ans, Lobatchevski est admis à la toute "jeune" université de Kazan. Il y fera toute sa carrière et en deviendra le recteur : il n'a alors que 27 ans.

Kazan est située sur la Volga, 700 km environ à l'est de Moscou. Capitale actuelle du Tatarstan (fédération de Russie), son université, créée en 1804, est aujourd'hui une des plus réputées de Russie.

Assistant dès l'âge de 18 ans, professeur titulaire de mathématiques et d'astronomie à 23 ans, il crée et dirige l'observatoire astronomique. Dès 1826, il publie, en français, son Exposition succincte des principes de la géométrie, une géométrie non euclidienne que Gauss et Bolyai avaient également similairement entrevue mais non publiée.

Lobatchevski complète ses recherches entre 1830 et 1840 : Sur les fondements de la géométrie, Géométrie imaginaire (1837), Nouveaux fondements de géométrie. (1838), Recherches géométriques sur la théorie des parallèles. (1840, publié à Berlin).

Dans cette géométrie, dont un modèle élémentaire est l'hyperboloïde à une nappe, on peut mener au moins deux parallèles à une droite donnée (en fait une infinité). Ce n'est qu'en 1842 que ses travaux sont reconnus par la communauté mathématique, Gauss en particulier, qui l'invite à Göttingen. Malade, démis de ses fonctions en 1846, quasiment aveugle à la fin de sa vie, son chant du signe, un an avant sa mort, sur le même sujet sera son traité Pangéométrie, précis de géométrie fondée sur une théorie générale et rigoureuse des parallèles (1855), synthèse de ces travaux révolutionnaires.

Euclide, dans sa construction de la géométrie (étymologiquement : mesure de la Terre), quoique convaincu de la sphéricité de la Terre, part du principe d'une planète localement plate (courbure nulle) où les droites le sont effectivement (ne sont pas incurvées), tout en étant infinies.

Afin de prouver l'indépendance du 5è postulat vis à vis des quatre premiers, Lobatchevski envisage l'hypothèse de l'angle aigu dans la présentation de Sacherri ce qui revient à remplacer le cinquième postulat d'Euclide par la possibilité de faire passer par un point, deux parallèles à une droite (donc une infinité) et montre que ce dernier axiome est effectivement équivalent à :

la somme des angles d'un triangle est inférieure à deux droits

Le "plan hyperbolique" (courbure négative) de Lobatchevski, concrétisé par l'hyperboloïde à une nappe, s'avère topologiquement équivalent à une demi-sphère mais la courbure de cette quadrique n'est pas constante : on ne peut y définir une métrique cohérente ni, par conséquent, y développer une trigonométrie.

Lobatchevski fut cependant ainsi le premier à construire et faire connaître une géométrie imaginaire mais cohérente, complète au sens de Gödel, refusant le 5e postulat. C'est à la recherche d'une métrique pour la géométrie de Lobatchevski que Beltrami a imaginé la pseudosphère (1868), dont une approche est figurée ci-dessous, surface de révolution engendrée par une tractrice, laquelle s'avère localement isomorphe à l'hyperboloïde, en prouvant la non contradiction de la géométrie hyperbolique de Lobatchevski : toute proposition énoncée et prouvée au sein de cette géométrie n'entraîne aucune contradiction.

Les géométries non euclidiennes et la pseudosphère :

La même année, Beltrami découvre une interprétation plane reprise par Klein en 1871. Henri Poincaré donna une nouvelle représentation plane de cette géométrie en 1882 :

Disques de Beltrami et de Poincaré, métrique de Cayley :            Théorie des modèles :

Noter que sur la sphère (courbure totale constante positive), toutes les "droites" (méridiens) ont la même courbure : on peut y tracer des triangles (dits sphériques) et parler de distance.

Courbure totale (ou gaussienne) :

On dit aujourd'hui qu'au voisinage des fameux trous noirs, sortes d'entonnoirs aspirateurs de matière, seraient-ce les pseudosphères ?, l'espace n'est plus euclidien et semble régi par la géométrie de Lobatchevski. Et notre univers, issu du Big-Bang, ne serait-il pas l'expression d'un trou noir de l'autre côté de l'entonnoir ?...

Petit saut dans le monde de la physique... :

Prix Lobatchevski :   

40 ans après sa disparition, ce prix fut mis en place par l'université de Kazan (1896) en l'honneur de Nicolaï Lobatchevski pour récompenser des travaux exceptionnels en géométrie. Après de nombreuses modifications dans le choix des attributions, le prix est actuellement décerné tous les quatre ans par l'Académie des sciences de Russie. Le premier récipiendaire fut Sophius Lie en 1897. Hilbert le reçut en 1902 pour ses Grundlagen der Geometrie. On pourra consulter la liste complète des récipiendaires sur le site de l'Académie des sciences de Russie ( réf.4, ci-dessous).

Pour en savoir plus :

  1. La théorie des parallèles de Lobatchevski traduite en français par le mathématicien français G. J. Houël (1823-1886) :
     http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3942g

  2. Géométrie intrinsèque de la pseudosphère : http://www-cabri.imag.fr/abracadabri/Courbes/Tract/Tract4c.html

  3. Trou noir sur Wikipedia : http://fr.wikipedia.org/wiki/Trou_noir.

  4. Prix Lobatchevski : http://www.ras.ru/about/awards/awdlist.aspx?awdid=62


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