ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
 LOBATCHEVSKI Nicolaï
Ivanovitch,
russe, 1793-1856 |
Enfant
prodige, à l'âge de 14 ans, Lobatchevski est admis à la toute "jeune" université de Kazan. Il y fera
toute sa carrière et en deviendra le recteur : il n'a alors que 27 ans.
Kazan est
située sur la Volga, 700 km environ à l'est de Moscou. Capitale actuelle du Tatarstan
(fédération de Russie), son université, créée en 1804, est aujourd'hui une des
plus réputées de Russie.
Assistant dès l'âge de 18 ans, professeur titulaire de mathématiques et d'astronomie à 23 ans, il crée et dirige l'observatoire astronomique. Dès 1826, il publie, en français, son Exposition succincte des principes de la géométrie, une géométrie non euclidienne que Gauss et Bolyai avaient également similairement entrevue mais non publiée.
Lobatchevski complète ses recherches entre 1830 et 1840 : Sur les fondements de la géométrie, Géométrie imaginaire (1837), Nouveaux fondements de géométrie. (1838), Recherches géométriques sur la théorie des parallèles. (1840, publié à Berlin).
Dans cette géométrie, dont un modèle élémentaire est l'hyperboloïde à une nappe, on peut mener au moins deux parallèles à une droite donnée (en fait une infinité). Ce n'est qu'en 1842 que ses travaux sont reconnus par la communauté mathématique, Gauss en particulier, qui l'invite à Göttingen. Malade, démis de ses fonctions en 1846, quasiment aveugle à la fin de sa vie, son chant du signe, un an avant sa mort, sur le même sujet sera son traité Pangéométrie, précis de géométrie fondée sur une théorie générale et rigoureuse des parallèles (1855), synthèse de ces travaux révolutionnaires.
Euclide, dans sa construction de la géométrie (étymologiquement
: mesure de la Terre), quoique convaincu de la sphéricité de la Terre, part
du principe d'une planète localement plate (courbure nulle) où les droites le
sont effectivement (ne sont pas incurvées), tout en étant infinies.
Afin de prouver l'indépendance du 5è postulat vis à vis des quatre premiers, Lobatchevski envisage l'hypothèse de l'angle aigu dans la présentation de Sacherri ce qui revient à remplacer le cinquième postulat d'Euclide par la possibilité de faire passer par un point, deux parallèles à une droite (donc une infinité) et montre que ce dernier axiome est effectivement équivalent à :
la somme des angles d'un triangle est inférieure à deux droits
Le "plan hyperbolique" (courbure négative)
de Lobatchevski, concrétisé par l'hyperboloïde à une nappe, s'avère topologiquement équivalent à une demi-sphère
mais la courbure de
cette quadrique n'est pas constante : on ne peut y définir une métrique cohérente
ni, par conséquent, y développer une trigonométrie.
Lobatchevski fut cependant ainsi le premier à construire et faire connaître une géométrie imaginaire mais cohérente, complète au sens de Gödel, refusant le 5e postulat. C'est à la recherche d'une métrique pour la géométrie de Lobatchevski que Beltrami a imaginé la pseudosphère (1868), laquelle s'avère localement isomorphe à l'hyperboloïde. Henri Poincaré donna une représentation plane de cette géométrie en 1882.
Disques de Beltrami et de Poincaré, métrique de Cayley :
Théorie des modèles :
Noter que sur la sphère (courbure
totale constante positive), toutes les "droites" (méridiens) ont la même courbure : on
peut y tracer des triangles (dits sphériques) et parler de distance.
Courbure totale (ou gaussienne) :
Notions
complémentaires sur les géométries non euclidiennes
:
On dit aujourd'hui qu'au voisinage des fameux
trous noirs, sortes d'entonnoirs (serait-ce
les pseudosphères ?), aspirateurs de
matière, où l'espace n'est plus euclidien et semble régi
par la géométrie de Lobatchevski.
On pourra lire La théorie des parallèles de Lobatchevski traduite
en français par le mathématicien français G. J. Houël
(1823-1886) à l'adresse :
http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3942g
Chasles
