ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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PFAFF Johann Friedrich, allemand, 1765-1825

Portrait : université de Halle , Source biographique : Maurice d'Ocagne

Né à Stuttgart, Pfaff y débutera ses études qu'il poursuivra dans diverses universités allemandes dont Göttingen.

Il enseigna les mathématiques à Helmstedt dès 1789, où il fut, de 1795 à 1798, le professeur de Gauss qui devint son ami. Nommé à Halle en 1810 (ville du grand compositeur allemand Georg Friedrich Haendel, 1685-1759) il en dirigea l'observatoire.

Selon Laplace, Pfaff était le plus grand géomètre allemand de son époque tout en considérant Gauss comme le plus grand de toute l'Europe...

Les travaux de Pfaff portèrent sur l'intégration des équations aux dérivées partielles et des systèmes différentiels où il apporte des méthodes de résolution qui seront généralisées par Élie Cartan dans le cadre de la topologie différentielle.

Formes de Pfaff :

 si Vi(x1, x2, ..., xn) désigne, pour i = 1,2, ... n, un champ de n vecteurs, la somme (forme différentielle) :

ω = V1dx1 + V2dx2 + ... + Vndxn

est parfois appelée forme de Pfaff. Dans le cas particulier où les Vi désignent les coordonnées du gradient d'une fonction différentiable sur un ouvert U de Rn, ω n'est autre que la différentielle totale de f, c'est à dire :

Différentielle exacte, intégration, facteurs intégrants, intégrale curviligne :

Pfaffien :

Il s'agit du déterminant de la forme :

où les aij désignent donc des réels vérifiant :

  1. a11 = a22 = ... ann = 0  (diagonale nulle)
  2. Quels que soient i et j : aji = - aji  (antisymétrie)

Vous pourrez facilement prouver ce résultat :

Par exemple, dans le cas n = 4 :

Un autre déterminant bien connu, celui de Vandermonde... :  


Lacroix  Ruffini
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