ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

On se propose de calculer l'intégrale généralisée ci-dessous, dite de Gauss :

 

Désignons par D le quart de plan défini par x 0, y 0 et considérons l'intégrale double :

dont nous admettons l'existence. Selon le théorème de Fubini, on peut écrire :

En application du changement de variables dans une intégrale double et de la notion de jacobien, on peut passer en coordonnées polaires en posant x = r.cost et y = r.sint avec r positif et t élément de [0,p/2].

Le jacobien est alors celui de la fonction (r, t) (rcos t, rsin t), soit :

Vu que cos²t + sin²t = 1, on a x² + y² = r² et l’intégrale double devient :

où K est le domaine équivalent à D en coordonnées polaires, donc défini par r positif et t élément de [0,p/2]. Ainsi :

d'où :

et par suite, G, l’intégrale de Gauss, vaut .

suivant les auteurs, l'intégrale de Gauss présente quelques variantes :

• Si l'on intègre e^-x²/2 sur R tout entier, alors, par parité, on trouve un résultat double : G = .
• Si l'on intègre e^-x² sur R⁺, en posant x = u, on vérifie facilement que G prend la valeur /2.
• Enfin, si c'est l'intégrale sur R tout entier de e^-x² que l'on considère, alors G = .

Considérons la transformée de Fourier F de la fonction x f(x) = exp(-x²/2) :

f étant paire, on a :

     (1)

Dérivons formellement sous le signe somme par rapport à w en écrivant :

Pour tout t, on a :

Le membre de droite de cette inégalité est une fonction positive et intégrable sur R⁺ : c'est la dérivée de -exp(-t²/2), son intégrale est égale à 1. Par suite, en appliquant le théorème de dérivation sous le signe somme pour les intégrales généralisées, on peut affirmer que F'(w) désigne la dérivée de F(w).

  Calculer alors F'(w) par intégration par parties. Facile ! Vous devriez trouver : F'(w) = - xF(w).

  Voilà un beau résultat qui nous conduit tout simplement comme tout bon lycéen de Terminale S à :

  Notre fonction f est continue, utilisons la formule d'inversion :

    En remplaçant F(w) par la valeur trouvée et en changeant w en -w, vérifier que l'on a :

  En déduire la valeur de C et que la transformée de Fourier de la fonction  x exp(-x²/2) est  w 1/ x exp(-w²/2) : à ce coefficient multiplicatif près, la transformée de Fourier de la loi normale est identique à elle-même. C'est la seule fonction possédant cette propriété remarquable.

  En faisant x = 0, dans la formule (1), en déduire :

suivant les auteurs, l'intégrale de Gauss présente quelques variantes :

• Si l'on intègre e^-x²/2 sur R tout entier, alors, par parité, on trouve un résultat double : G = .
• Si l'on intègre e^-x² sur R⁺, en posant x = u, on vérifie facilement que G prend la valeur /2.
• Enfin, si c'est l'intégrale sur R tout entier de e^-x² que l'on considère, alors G = .