ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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Corps de nombres algébriques

Le concept de nombre algébrique est né de la volonté des mathématiciens de résoudre les équations "algébriques" c'est à dire de calculer les exactes valeurs des nombres X vérifiant une équation polynomiale de la forme :

aXn + bXn-1 + ... + cX + ... p = 0

où les coefficients a, b, c, ..., p sont des entiers relatifs.

Cette recherche remonte au plus profond des temps et le très célèbre Diophante s'y intéressa tout particulièrement. Avant lui, on peut citer la genèse du théorème dit "de Pythagore" dont on retrouve les traces dans des tables babyloniennes (Plimpton 322, Université de Columbia, USA) vers 2000 ans avant Jésus-Christ.

Au 19è siècle, suite aux remarquables travaux de Lagrange, ceux de Abel et Galois apportèrent la preuve de l'impossibilité de résoudre par radicaux, dans le cas général, les équations de degré supérieur ou égal à 5. Les structures algébriques telles que les groupes, les anneaux puis les corps sont nés de ces travaux.

Mais le sujet n'était pas clos, le nombre p ne semblait pas pouvoir être "trouvé" comme solution d'une équation du type énoncé. De même le célèbre nombre e, base des logarithmes népériens.

Et n'oublions pas le célèbre problème que nous légua Fermat (inspiré par Diophante) avec son fameux grand et dernier théorème sur lequel s'acharnèrent tous les générations de mathématiciens jusqu'en juin 1993 avec, enfin, la preuve apportée par Wiles.

Ces problèmes relèvent d'une théorie des nombres de haut niveau et, outre Hilbert et Weber, les plus grands mathématiciens y apportèrent leurs contributions. S'il faut en citer quelques-uns :

Mais revenons à notre sujet principal en restant dans le cadre simple du corps C des nombres complexes, contenant celui des nombres réels R et celui des nombres rationnels Q (corps des fractions de Z).

Nombre et entier algébrique :

Un nombre (réel ou complexe) est dit algébrique s'il est solution d'une équation polynomiale du type (1) à coefficients entiers (ou rationnels : cela revient au même par réduction au même dénominateur et simplification par le dénominateur commun).

Tout nombre algébrique u est solution d'une infinité d'équations polynomiales P(x) = 0 parmi lesquelles existe une dont le degré est le plus petit : équation irréductible ayant u pour solution dont le polynôme P correspondant est dit minimal. On parle d'entier algébrique lorsque le polynôme minimal (à coefficients entiers) est unitaire (le coefficient du monôme de plus haut degré est 1).

Plus généralement, si B est un sous-anneau d'un anneau commutatif A; un élément x de A est dit algébrique sur B s'il existe un polynôme à coefficients dans B dont x est solution.

Ainsi le célèbre complexe i dont le carré est -1 est un entier algébrique car il est solution de l'équation x2 + 1 = 0. De même 2 est algébrique puisque solution (positive) de l'équation x2 - 2 = 0.

Un nombre non algébrique est dit transcendant (terme dû à Liouville). C'est le cas du célèbre nombre p (Lindemann) et du nombre e, moins connu du grand public mais tout aussi fondamental en toute science (Hermite).

Extension algébrique et extension transcendante d'un anneau ou d'un corps :

Considérons, dans l'ensemble R des nombres réels, l'équation x2 + 1 = 0. Notons i une solution "imaginaire"; elle n'est pas réelle : on a i2 = -1. L'ensemble R(i) des éléments de la forme a + bi où a et b sont réels est un espace vectoriel sur R de dimension 2 de base (1,i) et muni des opérations induites par R, on montre facilement que R(i) est un corps commutatif noté C : corps des nombres complexes. On parle d'extension algébrique simple de R. Simple, pour exprimer que i est le seul élément étranger ajouté pour construire ce corps s'avérant en outre être le plus petit corps (au sens de l'inclusion) contenant R.

La genèse de C : Corps de dislocation d'une équation :

Plus généralement, tout corps (resp. anneau) commutatif  L contenant un corps (resp. anneau) commutatif K est appelé extension de K et, outre l'extension algébrique, on parle a contrario d'extension transcendante.

Polynôme minimal d'un nombre algébrique, extension finie :

Soit K un anneau ou un corps commutatif et u un nombre algébrique sur K. Le polynôme de plus bas degré dont u est solution est le polynôme minimal de u sur K. Soit n le degré de ce polynôme : ce sera le degré de u et les solutions autres que u sont les conjugués de u. Muni des opérations induites par K, l'ensemble K(u) des nombres de la forme :

aun-1 + bun-2 + ... + cu + ... p = 0        où a, b, c, ..., p sont des éléments de K

est un anneau (pouvant être un corps) contenant K : sur-corps de K. On parle d'extension algébrique de K.

Si u est élément de K, on a manifestement K = K(u). C'est un cas trivial qu'il s'agit d'écarter correspondant à un polynôme minimal de degré 1. Il convient alors de décider que toute extension algébrique de K contient K strictement. Dans ces conditions :

le polynôme minimal de u sur K est irréductible sur K (non factorisable)
et son degré au moins égal à 2

Dans l'exemple ci-dessus, Q (2) est un sur-corps de Q prenant le nom d'extension algébrique simple de Q : plus petit corps de nombres algébriques contenant Q et 2. On remarque que Q (2) est un espace vectoriel de dimension 2 sur Q, de base {1,2}. On parle d'extension finie de degré 2.

Extension transcendante d'un anneau et d'un corps :

Une extension simple K(u) du corps K (plus petit corps commutatif contenant K et u) est dite transcendante sur K si u n'annule aucun polynôme non nul à coefficients dans K. L'élément u est alors dit transcendant sur K.

Idéal d'anneau :

Les travaux des mathématiciens portèrent sur les propriétés des anneaux et des corps de nombres algébriques. Un des problèmes majeurs dans les anneaux est celui de la divisibilité et de la décomposition en produit de facteurs premiers. Si Z(i) se comporte bien comparativement aux propriétés de Z, il n'en est généralement pas de même de Z(u) pour tout nombre algébrique u.

Au même titre que l'anneau Z(i) = Z[(-1)] né de l'équation x2 + 1 = 0 insoluble dans Z, considérons l'anneau Z[(-5)] en posant, pour simplifier u = (-5) avec donc u2 = -5. Dans cet anneau, contenant Z, 6 = 2 x 3. C'est bien clair. Dans Z, cette décomposition en facteurs premiers, est unique (à l'ordre près). On a (1 + u)(1 - u) = 6. Or il est facile de vérifier que ces nombres sont premiers dans Z[(-5)] : on ne peut pas les écrire de la forme a x b à moins que a ou b ne soient 1 ou -1. Ainsi 6 possède au moins deux décompositions en facteurs premiers.

Encore plus choquant : un théorème bien connu dans Z, dû à Gauss, est ici en défaut : dans Z, si k divise a x b et si k est premier avec a, alors k divise b. En écrivant (2 + u)(2 - u) = 9 = 32, on voit que 3 devrait diviser le produit (2 + u)(2 - u). Cependant 3 est premier avec 2 + u et avec 2 - u !

Ces difficultés ont conduit Kummer à concevoir des nombres abstraits, dits idéaux que Dedekind transforma en la notion très puissante d'idéal d'anneau :

Dans un anneau commutatif A, un idéal J est un sous-groupe additif tel que
pour tout z de A et tout x de J, le produit xz est élément de J.

La commutativité de A n'est pas nécessaire pour définir un idéal :

Idéal à gauche, à droite, idéal bilatère :

Divisibilité dans un anneau, anneau principal, anneau factoriel :

Résultats fondamentaux :

Application : on ne connaît pas la nature (transcendante ou non) des nombres : P = ep  et  S = e + p (e désignant bien sûr la base des logarithmes népériens : ln e = 1). Mais sachant que e et p sont transcendants, l'un au moins est transcendant. En effet, sinon, ils sont algébriques et les nombres e et p, seraient solutions de l'équation du second degré :

x2 - (e + p)x + ep = 0 : classique équation x2 - Sx + P = 0

Les solutions d'une équation du second degré s'expriment facilement : (S ± (S2 - 4P)/2. Les nombres algébriques formant un corps, ces deux solutions seront algébriques si la racine carrée d'un nombre algébrique est algébrique, ce qui est bien évident : poser X = y2 dans (1). d'où la contradiction.

 Baker , Siegel , Gelfond

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