ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Théorie des nombres algébriques      Extension algébrique d'un corps, corps de nombres algébriques        La notion de corps | Surcorps, extensions simple et finie | Extension algébrique | C en tant qu'extension algébrique de R        Corps quadratiques | Entiers algébriques dans Q(√k) | Corps de dislocation d'un équation | Extension transcendante

Le concept de nombre algébrique, appellation due à Abel, est né de la volonté des mathématiciens de résoudre les équations "algébriques" c'est à dire de calculer les valeurs exactes, ou approchées à toute précision voulue, de nombres x vérifiant une équation du type P(x) = 0, où P désigne un polynôme à coefficients entiers ou fractionnaires.

Cette recherche remonte au plus profond des temps et le très célèbre Diophante s'y intéressa tout particulièrement. Avant lui, on peut citer la genèse du théorème dit "de Pythagore" dont on retrouve les traces dans des tables babyloniennes (Plimpton 322, Université Columbia, New York, USA) vers 2000 ans avant Jésus-Christ.

Au 19è siècle, suite aux remarquables travaux de Lagrange, ceux de Abel et Galois apportèrent la preuve de l'impossibilité de résoudre par radicaux, dans le cas général, les équations de degré supérieur ou égal à 5. Les structures algébriques telles que les groupes, les anneaux et idéaux, les corps sont nés de ces travaux.

Les structures algébriques fondamentales :  »

Mais le sujet n'était pas clos, le nombre π ne semblait pas pouvoir être "trouvé" comme solution d'une équation du type énoncé. De même le célèbre nombre e, base des logarithmes népériens.

Et n'oublions pas le célèbre problème que nous légua Fermat (inspiré par Diophante) avec son fameux grand et dernier théorème sur lequel s'acharnèrent tous les générations de mathématiciens jusqu'en juin 1993 avec, enfin, la preuve apportée par Wiles.

Ces problèmes relèvent d'une théorie des nombres de haut niveau et, outre Hilbert et Weber (auquel on doit la notion de corps de classes), les plus grands mathématiciens y apportèrent leurs contributions. S'il faut en citer quelques-uns :

• Gauss, Dedekind, Dirichlet, Galois , Kummer, Kronecker, Liouville
• Hermite, Lindemann, Siegel, Weyl, Gelfond, Hensel, Hurwitz, Baker, ...

Par définition, on qualifie de nombre algébrique toute solution réelle ou complexe u d'une équation polynomiale P(x) = 0 de degré n, à coefficients entiers ou rationnels (éléments de Z ou Q). On peut limiter la définition à des coefficients entiers car, en réduisant au même dénominateur δ les coefficients de P et en multipliant par δ, on se ramène à un tel cas en pouvant supposer de surcroit que a_n, coefficient du monôme de plus haut degré, est positif :

Lorsque u est solution d'un polynôme tel que (1) avec a_n = 1 (polynôme unitaire à coefficients entiers), on parle d'entier algébrique.

Un nombre non algébrique est qualifié de transcendant (terme dû à Liouville). C'est le cas du célèbre nombre π (Lindemann) et du nombre e, base des logarithmes népériens, moins connu du grand public mais tout aussi fondamental en toute science (Hermite).

• Tout nombre constructible est algébrique;
• Tout radical √k, k > 0, est algébrique de degré 2, zéro de l'équation x² - k = 0;
• Le nombre complexe i, issu de l'équation x² + 1 = 0 est algébrique de degré 2;
• Tout zéro d'un polynôme dont les coefficients sont algébriques est lui-même algébrique.

 ➔  Un des objectifs de cette page est de prouver que l'ensemble A de tous les nombres algébriques, c'est à dire l'ensemble de tous les nombres réels ou complexes solutions d'une équation du type (1) ci-dessus, constituent un corps commutatif.

Cas général, élément algébrique, polynôme minimal :    

Dans le cas précédent, le rôle de Z en tant que sous-anneau de Q, corps des fractions de Z, est primordial et permet la distinction entre entier algébrique et nombre algébrique. Dans le cas général développé ci-dessous, cette distinction n'est plus de mise mais on y reviendra après l'étude des corps quadratiques.

Soit K un sous-anneau (resp. sous-corps) d'un anneau unitaire (resp. corps) commutatif L, un élément x de L est dit algébrique sur K s'il existe un polynôme P à coefficients dans K dont x est un zéro.

Théorème 2 (et définitions) :   

Soit u un élément algébrique sur K. Parmi tous les polynômes P de K[x], il en existe un unique, noté Π dans cette page, dont le degré n est le plus petit et dont le coefficient du terme de degré n est 1 (polynôme unitaire). De plus, tout polynôme P dont u est solution est divisible par P.

On dit que Π est le polynôme minimal de u et on parle de nombre algébrique de degré n sur K. Le degré de Π est le degré de u et les solutions autres que u sont appelés conjugués de u.

Preuve : soit J l'ensemble des polynômes p de K[x] tels que p(u) = 0. J est un idéal de K[x] non réduit à {0} et l'existence du polynôme minimal  Π est assuré par le théorème relatif aux idéaux de K[x].

Extension algébrique d'un corps :  

Un surcorps L de K est qualifié d'extension algébrique de K pour signifier que tout élément de L est algébrique sur K.

Surcorps, Extension simple d'un corps, extension finie, corps de nombres : »

Théorème 3 et définitions :   

Soit u algébrique de degré n sur K. Muni des opérations induites par K, l'extension simple K(u), plus petit corps contenant K et u, est un espace vectoriel sur K de dimension n. On parle d'extension algébrique de K engendré par u. Tout élément de K(u) est de la forme  au^n-1 + bu^n-2 + ... + cu + ... p où a, b, c, ..., p sont des éléments de K. On dit aussi que n est le degré de l'extension K(u).

Preuve : l'extension simple K(u) contient tous les éléments de K et tout composé (somme, différence = addition de l'opposé, produit, division = multiplication par l'inverse) contenant u et les éléments de K. En particulier toute combinaisons linéaire de puissances de u à coefficients dans K permet d'exprimer. Une combinaison linéaire nulle de puissances de u de degrés inférieurs à n, au^n-1 + bu^n-2 + ... + cu + ... p = 0, est nécessairement triviale : tous ses coefficients sont nuls, sinon u serait de degré inférieur à n. Le polynôme minimal de degré n s'annulant en u exprime une combinaison linéaire nulle dont les coefficients ne sont pas tous nuls : (1, u, u², ... , u^n-1, uⁿ) est une famille liée dans K(u) qui s'avère donc être un espace vectoriel sur K de dimension n dont une base est (1, u, u², ...,u^n-1).

 ➔  Si u est élément de K, on a manifestement K = K(u). C'est un cas trivial qu'il s'agit d'écarter correspondant à un polynôme minimal de degré 1. Il convient alors de décider que toute extension algébrique de K contient K strictement. Dans ces conditions : le polynôme minimal de u sur K est irréductible sur K (non factorisable) et son degré est au moins égal à 2.

• Dans le corps Q des nombres rationnels, l'équation x² - 2 = 0 ne possède pas de solution. Passons outre en notant r un "nombre" tel que r² = 2. r n'est pas rationnel, le polynôme x → x² - 2 est unitaire de degré 2. C'est le polynôme minimal de r. Q(r) est un corps commutatif, extension simple de Q. Il contient les deux solutions de l'équation x² - 2 = 0 = (x - r)(x + r) et tous les combinaisons linéaires du type a + br où a et b sont rationnels. C'est un espace vectoriel de dimension 2 sur Q. Posons traditionnellement r = √2, nombre irrationnel (puisque non rationnel) appelé racine carrée de 2. On dit que Q(√2) est un corps quadratique. Q (√2) = {a + b√2, (a,b)∈Q²}. C'est le plus petit sous-corps de R contenant √2.

Théorème 4 :   

Un polynôme p de K[x] est le polynôme minimal d'un nombre algébrique u sur K si et seulement si
p est unitaire, de degré au moins égal à 2, irréductible sur K et p(u) = 0.

Une extension algébrique fondamentale, celle du corps R des nombres réels :   

Considérons, dans l'ensemble R des nombres réels, l'équation x² + 1 = 0 dont nous notons i une solution "imaginaire"; elle n'est pas réelle puisque son carré i² = -1. L'ensemble R(i) des éléments de la forme a + bi où a et b sont réels est un espace vectoriel sur R de dimension 2 de base (1,i). Muni des opérations induites par R, l'ensemble R(i) est un corps commutatif noté C : corps des nombres complexes, extension algébrique simple de R, s'avérant en outre être le plus petit corps (au sens de l'inclusion) contenant R.

La genèse de C :  »          Corps de dislocation d'une équation :  »

Extensions du corps Q des nombres rationnels :    

Le théorème 3 précédent permet d'énoncer le résultat suivant :

Soit u un nombre algébrique de degré n, zéro non rationnel d'un polynôme à coefficients rationnels. Alors, muni des opérations induites par Q, l'ensemble Q(u) est un corps commutatif, extension algébrique simple de Q engendré  par u. Tout élément r de Q(u) est algébrique de la forme r = au^n-1 + bu^n-2 + ... + cu + ... p avec a, b, c, ..., p rationnels.

Une extension simple de Q, le corps cyclotomique Q(e^2iπ/n) :  »

Corps quadratique :    

On appelle corps quadratique toute extension finie de degré 2 du corps Q des nombres rationnels issue de l'équation x² - k = 0 où k ne contient aucun facteur carré. Ces corps notés Q(√k) lorsque k > 0 et  Q(i√-k) dans le cas contraire sont des extensions algébriques simples de Q. Leurs éléments sont respectivement de la forme a + b√k et a + ib√-k où a et b désignent des nombres rationnels.

• Q(√2) = {a + b√2, a et b décrivant Q} est un surcorps de Q, plus petit corps de nombres algébriques contenant Q et √2.

• Q(√2) est également un espace vectoriel de dimension 2 sur Q, de base {1,√2} : on parle d'extension finie de degré 2.

• L'inverse de x = a + b√2 dans Q(√2) est (a - b√2)/(a² - 2b²)conjugué a - b√2, on obtient a² - 2b², non nul pour tout x non nul. Ce qui montre que l'inverse de a + b√2 dans Q(√2) est (a - b√2)/(a² - 2b²). Résultat que l'on peut généraliser :

• L'équation x² + 5 = 0 (k = -5), conduit par exemple à Q(i√5).

Anneaux Z(√k) et Z(i√k) :  »

Construction des corps Q(√2,√3) et Q(√2 + √3) :  

En vertu du théorème 3, on a construit facilement le corps Q(√2), plus petit corps contenant Q et √2, apparaissant comme un espace vectoriel de dimension 2 sur Q. On peut de même construire Q(√3).

D'une façon générale, on sait construire une extension finie K(a,b), plus petit corps contenant a, b et K, par adjonction de b à partir de K(a), autrement dit : K(a,b) = (K(a))(b).

Appliquons ce résultat à la construction de Q(√2,√3) :

•  Q(√2) = {a + b√2, a et b parcourant Q};

•  Q(√2,√3) = (Q(√2))(√3) = {α + β√3, α et β parcourant Q(√2)}

Donc :

Q(√2,√3) = {a + b√2 + a'√3 + b'√6 avec a, b, a', b' parcourant Q}

Or √6 ne peut s'exprimer rationnellement en fonction de √2 et √3. Une écriture du type √6 = a√2 + b√3 conduit en élevant au carré à : 2√6 = (6 - 2a² - 3b²)/ab, ce qui impliquerait √6 rationnel. On en déduit que Q(√2,√3) est un surcorps tant de Q(√2) que de Q(√3) et un espace vectoriel de dimension 4 sur Q dont une base est {1, √2, √3, √6}.

Avant d'admettre deux théorèmes importants dont on trouvera la preuve par exemple en réf. 1a, montrons que l'extension Q(√2,√3) est une extension algébrique finie de Q de degré 4 :

Posons u = √2 + √3. On a u² = 5 + 2√6 ⇒ 24 = (u² - 5)². Donc u⁴ - 10u² + 1 = 0. Le premier membre est ainsi le polynôme minimal de u. Ce qui montre que le nombre √2 + √3 est algébrique sur Q, de degré 4. Montrons que Q(√2,√3) coïncide avec l'extension algébrique Q(√2 + √3) = Q(u) : en tant qu'espace vectoriel de dimension 4 sur Q, une base de Q(u) est {1, u, u², u³}. Une base de Q(√2,√3) étant {1, √2, √3, √6}, u et u² sont éléments de Q(√2,√3). Or, u³ = (5 + 2√6)(√2 + √3) = 11√2 + 20√3 : élément de Q(√2,√3). Nos deux extensions, toutes deux de dimension 4, coïncident donc puisqu'elles ont ainsi une base commune {1, u, u², u³}. Il s'avère donc que :

l'extension par adjonction Q(√2,√3) n'est autre que l'extension algébrique Q(√2 + √3)

Théorème des dimensions pour les extension finies :

Soit L/K et M/K deux extensions finies d'un corps K telles que L ⊃ M ⊃ K et considérées en tant qu'espaces vectoriels sur K, alors dim(M/K) est un diviseur de dim(L/K). Plus précisément : dim(L/K) = dim(M/K) × dim(L/M).

 ➔  Ce résultat montre que le nombre de dimensions distinctes de corps intermédiaires entre K et L est limité mais pas nécessairement leur nombre : par exemple entre Q et R nous avons une infinité de corps intermédiaires comme Q(√k), k premier.

Théorème 5 (transitivité) :

Soit K, L et M trois corps tels que L ⊃ M ⊃ K. Si un élément a de L est algébrique sur M et si M est une extension algébrique de K, alors a est algébrique sur K.

Théorème 6 :   

Toute extension L d'un corps K peut s'obtenir par adjonction finie ou non d'éléments algébriques sur K est une extension algébrique de K (tous les éléments de L sont algébriques sur K). Si L est du type K(α,β,γ, ...), engendré par un nombre fini d'éléments α, β, γ, ... algébriques sur K, alors L est une extension finie de K (espace vectoriel de dimension finie sur K).

Soit maintenant A l'ensemble de tous les nombres algébriques (éléments algébriques sur Q). Soit α et β deux nombres quelconques de A. Le corps Q(α,β) est une extension finie de Q dont tous les éléments sont algébriques sur Q. En particulier, la somme α + β et le produit αβ est algébrique sur Q ainsi que leurs opposés et inverses. En conclusion :

Théorème 7 : 

L'ensemble A des nombres algébriques est un sous-corps commutatif de C

L'ensemble A des nombres algébriques est infini, il contient par exemple la réunion de toutes les extensions simples de Q de la forme Q(√k) avec k premier, mais il est dénombrable :

Preuve de la dénombrabilité des nombres algébriques : »

♦  Le conjugué d'un élément u = a + b√k de Q(√k) est ici est le nombre u' = a - b√k.

♦  La norme de u = a + b√k est le nombre rationnel N(u) = a² - kb² = uu', produit de u par son conjugué. Ce nombre peut être négatif contrairement à la norme d'un vecteur et il ne possède pas les mêmes propriétés. On a toutefois celles-ci, d'une importante pratique :

N(u) = 0 ssi u = 0  et  N(uv) = N(u)N(v).

Preuve : dans le cas k > 0, √k étant irrationnel et a et b rationnels, a² = kb² ne peut avoir lieu que si et seulement si a = b = 0. Par ailleurs, pour tout u de Z(√k), on peut écrire N(u) = uu', donc N(u)N(v) = uu'vv' = uvu'v' = uv(uv)'= N(uv).

Pour k < 0, on définit de même le conjugué u' = a - ib√-k et la norme d'un élément u = a + ib√-k de Q(i√-k). On a alors N(u) =  (a + ib√-k)(a - ib√-k) = a² + kb² avec encore N(uv) = N(u)N(v).

♦  La trace de u est le nombre rationnel T(u) = 2a = u + u'.

Ces définitions interviennent dans l'étude générale des propriétés des éléments algébriques d'un corps K : par exemple, le polynôme minimal de u = a + b√k doit être à coefficients rationnels et irréductible sur Q, admettant u comme zéro. Il est donc de la forme P_min(x) = (x - u)(x - v).  Le second zéro v ne peut pas être rationnel, donc v = a' + √kb', b' non nul. Ce qui conduit à b' = - b, a' = a et finalement à :

P_min(x) = (x - u)(x - u') = x² - T(u)x + N(u)

Dans le cas plus difficile d'une extension de degré n, la norme est le produit de u par l'ensemble de ses n-1 conjugués. La trace est un sujet beaucoup plus complexe. On pourra consulter l'exposé de Vincent Pilaud, Introduction à la théorie algébrique des nombres : » réf.4.

Dans Q(√k), on qualifie d'entier algébrique un nombre algébrique dont le polynôme minimal est à coefficients entiers (éléments de Z) et dont la trace et la norme sont entières.

• Dans Q(√2), 1 ± √2 sont des entiers algébriques;

• Le nombre d'or Φ = (1 + √5)/2, solution de son polynôme minimal x² - x - 1 = 0, est un entier algébrique dans Q(√5), sa trace est 1 et sa norme est -1.

On voit ainsi qu'il faut distinguer l'anneau Z(√5) = {a + b√5 avec a et b entiers relatifs} de l'ensemble des entiers algébriques de Q(√5).

∗∗∗
L'inverse de a + b√2 dans Q(√2) est (a - b√2)/(a² - 2b²). Existe-t-il des éléments inversibles dans Z(√2) ? 
» unités et éléments inversibles d'un anneau

Théorème fondamental :   

On peut facilement montrer (» réf.4) que les conditions sur la trace et la norme d'être des entiers conduisent un nombre entier algébrique x de Q(√k) à s'écrire sous la forme (a et b désignant des entiers relatifs) :

• x = a + b√k  si k est congru à 2 ou 3 modulo 4.

• x = a + b(1 + √k)/2 si k est congru à 1 modulo 4.

En notant d'une façon générale Z(u) = {x∈Q(√k), x = a + bu, (a,b)∈Z²}, on peut alors conclure :

x est un entier algébrique de Q(√k) si et seulement si x∈Z(√k) lorsque k ≡ 1 [4], x∈Z((1 + √k)/2) sinon

• Parler de Z(√5) est donc incorrect, il s'agit de Z(Φ), Φ désignant le nombre d'or. Ce sont les nombres de Dirichlet.

»  Eisenstein , Dirichlet           Congruences arithmétiques :  »       

Corollaire :   

L'ensemble Z(√k) des entiers algébriques de Q(√k) est un anneau commutatif unitaire

Preuve : L'ensemble est stable pour la multiplication dans Z(√k). Pour s'assurer de ce résultat, il suffit de vérifier que la seconde écriture pour k ≠ 1 [4] ne met pas en défaut la stabilité de l'ensemble pour la multiplication. Le seul cas a priori litigieux concerne les puissances de z = (1 + √k)/2. Or z² = (k + 1)/2 + √k. Mais k est impair, donc (k + 1)/2 est entier : z^2∈Z(√k). Par récurrence, si z^p∈Z(√k) pour tout p = 0, 1, 2, ...n, zⁿ⁺¹ = zⁿ × z^∈Z(√k) par stabilité de Z(√k).

Une extension simple K(u) du corps K, (plus petit corps commutatif contenant K et u, est dite transcendante sur K si u n'annule aucun polynôme non nul à coefficients dans K. L'élément u est alors dit transcendant sur K.

• Le corps R des nombres réels est une extension transcendante du corps Q des rationnels contenant par exemple les célèbres nombres transcendants π et e tous deux limites d'une suite de rationnels.

 » Liouville , Cantor , Weierstrass , Hermite , Dedekind , Lindemann 

Remarque :   

On ne connaît pas la nature (transcendante ou non) des nombres : eπ  et  e + π (e désignant bien sûr la base des logarithmes népériens : ln e = 1). Mais sachant que e et π sont transcendants, l'un au moins des nombres eπ  et  e + π est transcendant. En effet, sinon, ils sont algébriques et les nombres e et π, seraient solutions de l'équation du second degré :

 ➔    Pour en savoir plus :

1. a/ Leçons d'Algèbre Moderne, par Paul Dubreil et Marie-Louise Dubreil-Jacotin - Éd. Dunod, Paris -1961
   b/ Eléments de mathématiques , Nicolas Bourbaki, fascicule X1, ch. 5 (corps commutatifs, extensions de corps) - Éd. Hermann, Paris - 1973.
2. L'algèbre moderne par Michel Queysanne & André Delachet - Que sais-je ?, n° 661, P.U.F.
3. Arithmétique et théorie des nombres par Jean Itard - Que sais-je ?, n° 1093, P.U.F.
4. Introduction à la théorie algébrique des nombres, par Vincent Pilaut sur normalesup.org :
   http://www.normalesup.org/~robert/perso/scolarite/gt/thnombres.pdf
5. Théorie algébrique des nombres par  Laurent Berger (Ens Lyon) :
   http://perso.ens-lyon.fr/laurent.berger/autrestextes/algnum.pdf
6. Cours de théorie des corps (et théorie de Galois) par  M. Reversat et B. Zhang, univ. Toulouse, 2003 :
   http://www.math.univ-toulouse.fr/~reversat/galois.pdf
7. Les corps algébriques et la théorie des idéaux par Oystein Ore (Oslo, 1934) :
   http://www.numdam.org/item/MSM_1934__64__1_0
8. Fractions continues et unités dans les corps quadratiques, par Julien Houriet (École Polytechnique de Lausanne) :
   http://cqfd.epfl.ch/files/content/sites/cqfd/files/shared/projets/imb/Fractions%20continues%20et%20unit%....pdf
   Julien Houriet traite en particulier des entiers d'un corps quadratique et de l'équation de Pell-Fermat.