Arc sinus & Arc cosinus

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Fonctions Arc sinus & arc sinus

Arc cosinus , Arc tangente

Nom de la fonction : Arc sinus. C'est une fonction trigonométrique, réciproque de la fonction sinus restreinte à l'intervalle J = [-p/2, +p/2].
Origine du nom : abréviation de sinus et de arc (de cercle). L'Arc sinus d'un nombre x est l'angle y (exprimé en radians) de l'intervalle [-p/2, +p/2] dont le sinus est x.
Ensemble de définition : [-1,+1].
Notation : y = Arcsin(x) ou y = Asn(x).

y = Arcsin(x) x = sin y

Exemple : Arcsin(1/2) = p/6.
Pourquoi Arc et non angle ? Tout simplement parce que sur le cercle trigonométrique (centré à l'origine et de rayon 1), y représente la mesure de l'arc AM défini par l'angle ^AOM.
Périodique : non.
Fonction dérivée :

Nom de la courbe associée : néant. Mais, par symétrie, c'est un arc de sinusoïde.
Définition équivalente : fonction réciproque (aussi dite, à tort, fonction inverse) de la fonction sinus restreinte à l'intervalle J = [-p/2, +p/2] sur lequel cette dernière est bijective puisque continue et strictement croissante de J sur [-1,+1].
Applications :
Recherche d'un angle dont le sinus est donné. Touche sin^-1 ou Asn des calculatrices.

Plus généralement, la fonction asn :

Si on a l'égalité x = sin y, on notera y = asn x (ou y = arc sin x), sans majuscule, les nombres y dont le sinus est x : c'est une fonction multiforme (infinité d'images).

En effet, la fonction sinus a pour période 2p et, de plus sin y = sin(p - y), donc :

Si x = sin y, on a aussi x = sin(y + 2kp) et x = sin(p - y + 2kp)

C'est dire, par exemple que asn(1/2) a pour images p/6 , 5p/6 , 13p/6 , 17p/6 , ...

Dans le bon vieux temps des années 1980, les matheux faisaient de la programmation : on n'avait pas encore Mathematica ou Maple. Les langages comme BASIC sur Apple ou MSdos ne possédaient que la fonction ATN (Arc tangente), d'où l'astuce : vérifier que l'instruction

u = 2*ATN(x/(1 + sqr(1 - x*x))

retourne la valeur Asn(x) dans la variable u.

Étude d'une fonction Arc sinus un peu compliquée...

Fonction Arc cosinus & arc cosinus

Nom de la fonction : Arc cosinus. C'est une fonction trigonométrique, réciproque de la fonction cosinus restreinte à l'intervalle J = [0, p].
Origine du nom, abréviation : de cosinus et de arc (de cercle). L'Arc cosinus d'un nombre x est l'angle y (exprimé en radians) de l'intervalle [0, p] dont le cosinus est x.
Ensemble de définition : [-1,+1].
Notation : y = Arccos(x) ou y = Acs(x).

y = Arccos(x)

x = cos y

Exemple : Arccos(1/2) = p/3.
Pourquoi Arc et non angle ? Tout simplement parce que sur le cercle trigonométrique (centré à l'origine et de rayon 1), y représente la mesure de l'arc AM défini par l'angle ^AOM.
Périodique : non.
Fonction dérivée :

Nom de la courbe associée : néant. Mais, par symétrie, c'est un arc de sinusoïde.
Définition équivalente : fonction réciproque (aussi dite, à tort, fonction inverse) de la fonction cosinus restreinte à l'intervalle J = [0,p] sur lequel cette dernière est bijective : continue et strictement décroissante de J sur [-1,+1].
Applications :
Recherche d'un angle dont le cosinus est donné. Touche cos^-1 ou Acs des calculatrices.

Puisque cos x = sin(p/2 - x), on remarquera que :

Arcsin x + Arccos x = p/2

Plus généralement, la fonction acs :

Plus généralement, si on a l'égalité x = cos y, on notera y = acs x (ou y = arc cos x), sans majuscule, les nombres y dont le cosinus est x : c'est une fonction multiforme (infinité d'images).

En effet, la fonction cosinus a pour période 2p et, de plus cos y = cos(- y), donc :

Si x = cos y, on a aussi x = cos(y + 2kp) et x = cos(2kp - y)

C'est dire, par exemple que acs(1/2) a pour images p/3 , -p/3 , 13p/3 , 11p/3 , ...

u = 1.5707963 - 2*ATN(x/(1 + sqr(1 - x*x))

retourne une bonne approximation de Acs(x) dans la variable u.

Prouver que : 2Acs(3/4) = Acs(1/8)