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Fonctions Arc sinus & arc sinus        » Arc cosinus , Arc tangente

Plus généralement, la fonction asn :

Si on a l'égalité x = sin y, on notera y = asn x (ou y = arc sin x), sans majusculeles nombres y dont le sinus est x : c'est une fonction multiforme (infinité d'images).

En effet, la fonction sinus a pour période 2π et, de plus sin y = sin(π - y), donc :

Si x = sin y, on a aussi x = sin(y + 2kπ) et x = sin(π - y + 2kπ)


Dans le bon vieux temps des années 1980, les matheux faisaient de la programmation : on n'avait pas encore Mathematica ou Maple.
Les langages comme BASIC sur Apple ou MS-DOS ne possédaient que la fonction ATN (Arc tangente), d'où l'astuce :
Vérifier que l'instruction
u = 2*ATN(x/(1 + sqr(1 - x*x)) retourne Asn(x) dans la variable u.

 
Étude d'une fonction Arc sinus un peu compliquée...

Fonctions Arc cosinus & arc cosinus
y = Arccos(x) ⇔ x = cos y

Plus généralement, la fonction acs :

Si on a l'égalité x = cos y, on notera y = acsx (ou y = arccos x), sans majuscule,  les nombres y dont le cosinus est x : c'est une fonction multiforme (infinité d'images).

En effet, la fonction cosinus a pour période 2π et, de plus cos y = cos(- y), donc :

Si x = cosy, on a aussi x = cos(y + 2kπ) et x = cos(2kπ - y)


Dans le bon vieux temps des années 1980, les matheux faisaient de la programmation : on n'avait pas encore Mathematica ou Maple.
Les langages comme BASIC sur Apple ou MS-DOS ne possédaient que la fonction ATN (Arc tangente), d'où l'astuce :
Vérifier que l'instruction
u = 1.5707963267949897 - 2*ATN(x/(1 + sqr(1 - x*x)) retourne Acs(x) dans la variable u.

 
Prouver que : 2Acs(3/4) = Acs(1/8)

Remarques :

Puisque cos x = sin(π/2 - x), on remarquera que :

Arcsinx + Arccosx = π/2

D'autre part, cos2(Asin(x)) + sin2(Asin(x)) = 1, donc :

Si -1 ≤ x ≤ 1, cos(Asinx) = √(1 - x)2

On a aussi cos2(Acos(x)) + sin2(Acos(x)) = 1, donc :

Si -1 ≤ x ≤ 1, sin(Acos(x)) = √(1 - x)2


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