ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

JACOBI Karl Gustav, allemand, 1804-1851

Fils d'un banquier juif, après ses études à l'université de Berlin, il y obtint un premier poste d'enseignement (1825) ayant dû, pour postuler, se convertir au christianisme ! Jacobi sera nommé l'année suivante à l'université de Königsberg (1826), où il sera l'ami de Bessel.

A Paris, il se liera avec les grands mathématiciens de l'époque comme Legendre et Poisson. Il reprit une chaire de mathématiques à Berlin en 1843 où il sera membre de la très réputée Académie des sciences.

Ses travaux portent essentiellement, indépendamment d'Abel à la même époque, sur l'étude des fonctions elliptiques (dès 1826 mais publié avec le soutien de Legendre en 1829 : Fundamenta nova theoriae functionem ellipticarum), sur les équations différentielles et aux dérivées partielles, les systèmes d'équations linéaires, la théorie des déterminants.

Jacobi fut aussi un des principaux artisans du journal de Crelle. Un très grand nombre de résultats d'algèbre et d'analyse portent ou utilisent son nom.

Fourier avait reproché à Jacobi (et à Abel) de perdre leur temps dans leurs travaux sur les fonctions elliptiques alors que la physique attendait des outils mathématiques (thermodynamique en particulier). Jacobi répondit « qu'un philosophe comme lui devrait savoir que la seule fin de la science est l'honneur de l'esprit humain et qu'à cet égard une question concernant les nombres a autant de prix qu'une question sur le système du monde ».
Dieudonné
 
Jacobien d'une application de plusieurs variables :

Cette notion s'applique à une application de n variables (n 2) de Rn à valeurs dans Rp. Restreignons-la ici au cas de R2 dans R2 : soit f une application différentiable qui à (x1,x2) (g(x1,x2), h(x1,x2)). La matrice jacobienne de f au point u = (x1,x2) est alors :
 

et le jacobien J de f en est le déterminant que l'on note souvent :

Le jacobien trouve son emploi dans la résolution des équations différentielles, dans le calcul des intégrales multiples (généralisation du changement de variable dans les intégrales simples), en géométrie différentielle.

Exemple : dans le cas du passage des coordonnées cartésiennes (x,y) aux coordonnées polaires (r,t), on a x = r.cost et y = r.sint. On poserait alors f(r,t) = (rcost, rsint) et la matrice jacobienne de f serait :

dont le jacobien est son déterminant, soit rcos2t + rsin2t = r. On démontre alors que :

D f(x,y)dx.dy = h-1(D)  f(h(r,t))| J(h) | dr.dt

En application du jacobien, on peut calculer l'intégrale dite de Gauss :

          Calcul :

 

Méthode itérative de Jacobi :

Il s'agit d'un algorithme de résolution des systèmes d'équations linéaires n n. Il se prête bien au traitement sur ordinateur :

Étude de l'algorithme :                     Seidel
 

Identité de Jacobi pour le produit vectoriel :

Si u, v et w sont trois vecteurs de l'espace, alors :

u (v w) + v (w u) + w (u v)  = 0

Preuve : utiliser la formule de Gibbs u (v w) = (u.w).v - (u.v).w  ici présente sous forme d'exercice...

        Gibbs et le produit vectoriel :                       Lien avec les algèbres de Lie :

Identité de Jacobi (théorie additive des nombres) :

On peut vérifier que  3(x2 + y2 + z2) = (x + y + z)2 + 2(x/2 + y/2 - z)2 + 6(x/2 - y/2)2.

Programmation du théorème des 3 carrés :

Fonctions théta (θ) de Jacobi (1828) :

Les fonctions elliptiques d'une variable complexe sont des fonctions méromorphes. Dans l'étude de ces fonctions et poursuivant des travaux initiés par Gauss en ce domaine, Jacobi définit ses fonctions θ, séries entières d'exponentielles permettant d'exprimer  les fonctions elliptiques sn, cn et dn en tant que quotient de telles fonctions.

Les fonctions θ verront leur application dans le domaine arithmétique, où on ne les attendait pas vraiment... La théorie des fonctions elliptiques d'une variable complexe mène en effet à la recherche de l'existence de points à coordonnées rationnelles sur une courbe elliptique, aux fonctions modulaires, et à la preuve du grand théorème de Fermat.

Un théorème de Jacobi (1835) :     

Une fonction méromorphe d'une variable complexe possède au plus 2 périodes
et leur rapport est imaginaire (complexe, non réel).

Fonctions doublement périodique :

 Pour en savoir un peu plus :

Sturm  Dirichlet
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