ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

BESSEL Friedrich Wilhelm, allemand, 1784-1846

âgé de 15 ans, Bessel entre comme apprenti dans une société de commerce. Il se forme lui-même à l'astronomie et se fait connaître en présentant en 1804 un mémoire sur le calcul de la trajectoire de la comète de Halley. Dès lors, son ascension sociale est fulgurante au même titre que ses découvertes et observations célestes. On doit à cet astronome renommé, ami de Gauss, plus de 75000 observations à l'observatoire de Königsberg dont il fut le fondateur en 1812. Il fut le premier (1838) à déterminer, par le calcul de sa parallaxe, la distance de l'étoile 61 de la constellation du Cygne : environ 11 années-lumière, soit 104 000 milliards de kilomètres (1 al 9460 000 000 000 km) !

 Copernic, Galilée

Sa contribution en mathématiques porte essentiellement sur le calcul différentiel et intégral et sur le développement en série trigonométrique des fonctions dont l'initiateur fut Fourier.

Inégalité de Bessel :

Dans l'espace vectoriel L2 des fonctions de carré intégrable sur un intervalle réel [a,b], considérons un système fini de n fonctions gi orthonormées et posons pour toute fonction f de L2, les nombres :

L’inégalité de Bessel s'écrit alors :

 ai2 || f ||2

Dans le cas où les ai sont les coefficients de Fourier d'une fonction numérique 2π-périodique et continue (ou tout au moins de carré intégrable), l'inégalité de Bessel devient une égalité dite de Parseval, permettant de calculer la somme de certains développements en série :

Cette égalité permet en particulier de calculer une fonction de Riemann :

calcul de ζ(4) :

Équation de Bessel et fonctions Jn de Bessel (1824) :

Avec l'objectif de résoudre l'équation de Kepler dans le cadre du calcul des orbites planétaires, Bessel rencontra les équations différentielles linéaires du second ordre, apparentées, tout comme celles de Mathieu, à l'équation de Helmotz, du type (k désignant une constante) :

y'' + y' + (1 - k2/x2)y = 0       (e)

x et k peuvent être réels ou complexes (auquel cas, on écrira z plutôt que x). Ces équations possèdent plusieurs familles de solutions. On peut rechercher les solutions de type y = xmΣunxn, m entier :


a) En remplaçant dans (e) , montrer que m = ± k et un = un-2/[k2 - (n + m)2]
b) On peut exprimer u2p en fonction de uo et u2p+1 en fonction de u
1. Lorsque m = k, on choisit  u1 = 0.
Montrer que u2p (-1)pp!22p(k + p)(k + p - 1)...(k + 1) = uo

Ces solutions sont généralement notées Jk. Vérifier alors que si on choisit convenablement uo, on a :

     avec 1/uo = 2kΓ(k + 1), fonction gamma

En remarquant que si k est entier Γ(k) = k!, on a, pour k entier :

 

Ces fonctions vérifient xJ'k = nJk - xJk+1 (fonctions de Bessel de 1ère espèce). Elles interviennent dans de nombreux développements en série et possèdent une foule de propriétés. Des tables existent permettant d'utiliser Jo, J1, J2, ... sans faire de calculs.

Généralement, on utilise traditionnellement la notation Jν (lettre grecque n : prononcer nu) plutôt que Jk.

Voici quelques formules usuelles lorsque k est entier :

A noter aussi que pour z fixé les Jk (z) peuvent s'écrire comme les coefficients de Fourier de la fonction teizsint. On montre que l'on peut en effet écrire :

Fonctions hypergéométriques de Gauss :                 Équation de Kummer :

Pour en savoir plus :


Poisson  Dupin
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