ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

EISENSTEIN Gotthold Ferdinand Max, allemand, 1823-1852

Issu d'une famille de six enfants atteints par la méningite, maladie extrêmement contagieuse, Ferdinand sera le seul des enfants à survivre mais sa santé restera fragile. Élève brillant, il se passionne pour les mathématiques et s'inscrit à l'université de Berlin (1843), sa ville natale où il fut l'ami de Kronecker.

Eisenstein se fit rapidement connaître par une publication dans le Journal de Crelle relative à l'emploi des substitutions linéaires (x = aX + bY, y = cX + dY) dans l'étude des formes quadratiques, sur lesquelles Gauss travaillait dans le prolongement des recherches entreprises par Lagrange sur le sujet, et qui conduiront Hamilton et Sylvester au calcul matriciel.

Le célèbre et influent naturaliste et explorateur Alexander von Humboldt (1789-1859) le prendra sous sa protection : il étudiera auprès de Gauss à Göttingen et de Hamilton en Irlande et obtiendra, parrainé par Jacobi, une chaire à l'université de Berlin (1847) où il sera nommé académicien peu avant sa mort, à 29 ans, atteint de tuberculose.

Ce triste destin rappelle celui du célèbre mathématicien norvégien Niels Henrick Abel

Ses travaux les plus significatifs portèrent sur les formes quadratiques (théorie des invariants), la théorie analytique des nombres et les fonctions elliptiques dont la théorie, développée au moyen des fonctions méromorphes, plus audacieuse que celle de Jacobi, fit l'admiration de Riemann et fait encore aujourd'hui autorité.

A l'instar de Gauss qui avait défini ses entiers complexes, Eisenstein étudie les nombres complexes de la forme a + bj où j désigne la racine cubique primitive complexe de l'unité d'ordonnée positive :

a et b désignant des entiers relatifs.

On sait que 1 + j + j² = 0, (» Gauss), ce qui permet de constater que muni de l'addition et de la multiplication usuelle de C, ces nombres constituent un anneau commutatif unitaire, noté Z(j), inclus dans l'extension de corps Q(i√3). Leur norme est N(a + bj) = (a + bj)(a + bj) = a² - ab + b². Les unités de cet anneau (éléments inversibles) se limitent à 1, j, j² = j et leurs opposés.

Un nombre d'Eisenstein est premier si ses diviseurs se limitent à lui-même et aux unités de l'anneau.

∗∗∗
Montrer, comme affirmé ci-dessus, que les unités de Z(j) se limitent à 1, j, j² = j et leurs opposés en recherchant les entiers tels que a² - ab + b² = 1. On cherchera à résoudre cette équation d'inconnue a en fonction de b et on constatera que y = 0 ou ±1.

Nombres algébriques, entiers algébriques :  »

L'étude de la divisibilité dans cet anneau permit à Eisenstein d'énoncer des conditions de primarité (en franglais : primalité) dans l'arithmétique usuelle de N. En particulier :

Tout nombre premier dans N de la forme 3n + 1 est décomposable additivement sous la forme a² + 3b²  (a et b entiers)

Ce sont des nombres non premiers dans Z(j), de la forme (a + bj)(a + bj) = N(a + bj) norme, au sens des entiers algébriques de u + vj (car j² = j).

• Des entiers premiers comme 7, 13, 19, ... , 409 = 3 x 4² + 19² en sont des exemples et on remarque que 7 = (3 + j)(3 +  j),
  13 = (4 + 3j)(4 + 3j), ...

Un polynôme p de degré n sur un anneau commutatif K (polynôme à coefficients dans K) est dit réductible sur K s'il existe un polynôme q₁ de K[X]  de degré m non nul, m < n, qui divise p : il existe alors q₂ de K[X] tel que p = q₁q₂. Dans le cas contraire, on dit que p est irréductible sur K.

• Si p, de degré au moins égal à 2, est irréductible sur K, alors l'équation p(x) = 0 n'a pas de solution α dans K.

• p(α) = 0, α ∈ K  si et seulement si p est divisible par x - α et il existe alors q dans  K[X] tel que p = (x - α) × q.

Division par x - α :  »              Étude théorique de la divisibilité dans un anneau :  »

Polynôme primitif p* d'un polynôme p de Q[X] :    

Considérons le cas d'un polynôme p de Q[X]. Ses coefficients sont rationnels, éventuellement entiers (Z⊂Q). Soit µ le PPMC des dénominateurs de ses coefficients. p peut s'écrire q/µ avec q∈Z[X]. Soit maintenant δ le polynôme le PGCD des coefficients de q. Le polynôme p* = q/δ est à coefficients entiers premiers entre eux. On l'appelle polynôme primitif de p. On remarquera que les équations p(x) = 0 et p*(x) = 0 sont équivalentes.

On a ce résultat bien évident :

Les assertions p est irréductible sue Q et p* est irréductible sur Z sont équivalentes.

Divisibilité dans un anneau :  »                 » polynôme scindé

• x² + 1 est l'exemple type de polynôme irréductible sur R mais non pas sur le corps C des nombres complexes puisqu'il s'écrit (x + i)(x - i) avec i² = -1.

• Considérons le polynôme x⁵ + x + 1. Si j désigne la racine cubique complexe de l'unité : j = (-1 + i√3)/2 , on a j³ = 1 et 1 + j + j² = 0, par suite j et son conjugué sont des racines de l'équation x⁵ + x + 1 = 0 et x⁵ + x + 1 est factorisable par x² + x + 1. On obtient alors par division : x⁵ + x + 1 = (x² + x + 1)(x³ - x² + 1), ce qui montre que x⁵ + x + 1 est réductible dans Z[X].

•  !   Un polynôme de K[X] peut être factorisable sans pour autant avec des zéros dans K : considérer K = R et p(x) = (x² + 1)(x² + 3) ou encore  K = Q et p(x) = x⁴ + x² - 6 = (x² - 2)(x² + 3). On notera cependant que :

∗∗∗
Un polynôme P de K[X], de degré 2 ou 3 ne possédant pas de zéros dans K est irréductible sur K.
(raisonner en supposant P réductible)

Critère d'Eisenstein :    

Soit P = a_o + a₁X + a₂X² + ... + a_nXⁿ un polynôme de Z[X]; s'il existe un entier naturel p premier divisant tous les a_i sauf a_n , p² ne divisant pas a_o , alors P est irréductible sur Z[X] et, par là, sur Q[X].

Ce résultat se généralise à un anneau commutatif A[X]. Hilbert donnera (1892) une extension de ce critère pour des polynômes à plusieurs variables.

 ! L'appellation critère, traditionnellement rencontrée pour ce résultat, n'est pas vraiment appropriée : un critère est plutôt une règle permettant de distinguer le vrai du faux par épuisement de tous les cas possibles; il s'agit ici d'une propriété suffisante, non nécessaire :

• Le polynôme p(x) = x⁴ + x + 1 a pour polynôme dérivé p'(x) = 4x³ + 1 possédant un unique zéro pour lequel p(x) > 0.
  x⁴ + x + 1 est donc strictement positif pour tout réel x : p est irréductible sur Q[x]. Cependant, les a_i étant ici égaux à 1, il n'existe pas d'entier premier p vérifiant le "critère".

  ∗∗∗
  Soit P un polynôme de Z[X], de degré 2 ou 3, de terme constant a_o dont aucun diviseur n'annule P.
  Montrer que P est irréductible sur Z (on pourra supposer P factorisable et remarquer qu'il admet un facteur du 1er degré)

∗∗∗
Montrer que si p est premier, le polynôme 1 + X + X² + .... + X^p-1 est irréductible sur Q[X].
» Indications : (X + 1)^p - 1 est divisible par X. Montrer que le quotient  vérifie le critère d'Eisenstein en remarquant
qu'il s'écrit comme la somme de k = 1 à p des C_p^k X^k-1

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Betti  Houël

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