ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

EISENSTEIN Gotthold Ferdinand Max, allemand, 1823-1852

Issu d'une famille de six enfants atteints par la méningite, maladie extrêmement contagieuse, Ferdinand sera le seul des enfants à survivre mais sa santé restera fragile. Élève brillant, il se passionne pour les mathématiques et s'inscrit à l'université de Berlin (1843), sa ville natale où il fut l'ami de Kronecker.

Eisenstein se fit rapidement connaître par une publication dans le Journal de Crelle relative à l'emploi des substitutions linéaires (x = aX + bY, y = cX + dY) dans l'étude des formes quadratiques, sur lesquelles Gauss travaillait et qui conduiront Hamilton et Sylvester au calcul matriciel.

Le célèbre et influent naturaliste et explorateur Alexander von Humboldt (1789-1859) le prendra sous sa protection : il étudiera auprès de Gauss à Göttingen et de Hamilton en Irlande et obtiendra, parrainé par Jacobi, une chaire à l'université de Berlin (1847) où il sera nommé académicien peu avant sa mort, à 29 ans, atteint de tuberculose.

Ce triste destin rappelle celui du célèbre mathématicien norvégien Niels Henrick Abel

Ses travaux les plus significatifs portèrent sur les formes quadratiques (théorie des invariants), la théorie analytique des nombres et les fonctions elliptiques dont la théorie, développée au moyen des fonctions méromorphes, plus audacieuse que celle de Jacobi, fit l'admiration de Riemann et fait encore aujourd'hui autorité.

Nombres d'Eisenstein :

A l'instar de Gauss qui avait défini ses entiers complexes, Eisenstein étudie les nombres complexes de la forme a + bj où j désigne la racine cubique complexe d'ordonnée positive : j = (-1 + i3)/2, a et b désignant des entiers relatifs.

On sait que 1 + j + j2 = 0, ( Gauss), ce qui permet de constater que muni de l'addition et de la multiplication usuelle de C, ces nombres constituent un anneau commutatif unitaire, noté Z[j], inclus dans l'extension de corps Q(3). L'étude de la divisibilité dans cet anneau permit à Eisenstein d'énoncer des conditions de primarité (en franglais : primalité). En particulier :

Tout nombre premier dans N de la forme 3n + 1 est décomposable sous la forme
3a2 + b2  (a et b entiers)

Ce sont des nombres non premiers dans Z[j], de la forme (u + vj)(u + vj2) = u2 - uv + v2. Des entiers premiers comme 7, 13, 19, ... , 409 = 3 x 42 + 192 en sont des exemples.

Pour en savoir un peu plus :

Corps de nombres algébriques :
 

Théorème ou critère d'Eisenstein :

Soit P = ao + a1X + a2X2 + ... + anXn un polynôme de Z[X]; s'il existe un entier naturel p premier divisant tous les ai sauf an, p2 ne divisant pas ao, alors P est irréductible sur Z[X] et, par là, sur Q[X].

Ce résultat se généralise à un anneau commutatif A[X]. Hilbert donnera (1892) une extension de ce critère pour des polynômes à plusieurs variables.

Un polynôme P de degré n sur un anneau commutatif K (polynôme à coefficient dans K) est dit réductible sur K s'il existe un polynôme Q de K[X]  de degré m non nul, m < n, qui divise P. Dans le cas contraire, on dit que P est irréductible sur K.

x2 + 1 est irréductible sur R mais pas sur le corps C des nombres complexes puisqu'il s'écrit (x + i)(x - i) avec i2 = -1. Considérons maintenant le polynôme x5 + x + 1;  si j désigne la racine cubique complexe de l'unité : j = (-1 + i3)/2 , on a j3 = 1 et 1 + j + j2 = 0, par suite j et son conjugué (si un polynôme à coefficients réels admet une racine complexe a, alors sa conjuguée a est également racine) sont des racines de l'équation x5 + x + 1 = 0 et x5 + x + 1 est factorisable par x2 + x + 1. On obtient alors par division : x5 + x + 1 = (x2 + x + 1)(x3 - x2 + 1), ce qui montre que x5 + x + 1 est réductible dans Z[X].

L'appellation critère , souvent rencontrée, n'est pas vraiment appropriée : un critère est plutôt une règle permettant de distinguer le vrai du faux par épuisement de tous les cas possibles; il s'agit ici d'une propriété suffisante, non nécessaire : le polynôme défini par f(x) = x4 + x + 1 a pour polynôme dérivé f '(x) = 4x3 + 1; f ne possède qu'un seul zéro pour lequel f(x) > 0. X4 + X + 1 est donc irréductible sur Q[X].


Montrer que si p est premier, le polynôme 1 + X + X2 + .... + Xp-1 est irréductible sur Q[X].

Indications :
on montrera que le polynôme vérifie le critère d'Eisenstein en remarquant qu'il s'écrit comme
somme de k = 1 à p des Cpk Xk-1

Betti  Houël
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