ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

 Notions sur les géométries non euclidiennes

Considérons un segment [AB]. Élevons les segments isométriques [BC] et [AD] perpendiculaires à [AB]. Joignons C et D.

On obtient un quadrilatère de Saccheri, du nom d'un philosophe et mathématicien italien du qui s'intéressa au bien fondé de l'axiomatique euclidienne.

 S'il vous semble évident que ABCD est un rectangle (ce qui est aussi mon avis), il vous faudra, pour le prouver, utiliser le 5è postulat d'Euclide (axiome des parallèles) :

Par un point situé hors d'une droite, on ne peut faire passer qu'une seule parallèle à cette droite.

Les quatre premiers postulats d'Euclide permettent de prouver l'égalité des angles ^C et ^D. Le cinquième permet de prouver que ces angles sont droits. Inversement si nous admettons que ces angles sont droits, alors ils sont égaux (4è postulat) et le 5è postulat en découle.

Il y a ainsi 3 hypothèses :

Celle de l'angle droit : ^C et ^D sont droits et nous obtenons la géométrie euclidienne élémentaire (géométrie plane et géométrie de l'espace) où la somme des angles d'un triangle est égale à deux droits.

Celle de l'angle obtus : ^C et ^D sont obtus et nous obtenons la géométrie de Riemann, dite sphérique (et plus généralement elliptique) où les droites sont ses grands cercles (cercles équatoriaux de même centre que la sphère).

Deux droites quelconques se rencontrent donc en deux points (deux pôles de la sphère). Les "triangles" tracés sur la sphère ont pour côtés des segments de droites, soit ici de grands cercles : on parle de triangle sphérique.

Dans cette géométrie, la somme des angles d'un triangle est supérieure à 180° : sur le dessin de droite, le triangle dont les côtés sont des quarts de méridiens possède déjà deux angles droits !

Albert Girard et la notion de triangle sphérique :

Pour aller d'un point à un autre de la sphère par le chemin le plus court, il faut suivre le grand cercle passant par ces points : ligne géodésique de la sphère C'est le principe utilisé en navigation maritime et aérienne.

Géodésique, loxodromie, orthodromie :

Celle de l'angle aigu : ^C et ^D sont aigus et nous obtenons la géométrie de Lobatchevski, dite aussi de Bolyai, entrevue par Gauss et étudiée également par Beltrami, dont une représentation peut être donnée sur la pseudosphère : (schématisée ci-contre), surface de révolution engendrée par une tractrice et de courbure totale négative constante dont une équation est 

x = cos(u)/ch(v) , y = sin(u)/ch(v) , z = v - th(v)

Géométrie de la pseudosphère (lien externe) :

En rouge, ce sont des droites de cette géométrie : géodésiques de la surface (plus court chemin d'un point à un autre), à savoir les tractrices qui engendrent la surface et qui sont à la pseudosphère ce que sont les grands cercles de la sphère (méridiens). Sur cette surface, la somme des angles d'un triangle est inférieure à 180°.

La mise en place de telles géométries non euclidiennes (appellation due à Gauss), cohérentes (s'avérant sans contradictions logiques), montra l'indépendance du célèbre 5è postulat d'Euclide vis à vis des quatre autres.

C'est Félix Klein qui assurera leur classification dans son programme d'Erlangen en 1872. Il montra que les géométries non euclidiennes peuvent être interprétées comme des géométries projectives sur une surface conique, d'où la terminologie qu'il utilisa :

La géométrie différentielle, initiée par Gauss et développée par Riemann, avec la notion de courbure des surfaces, permettra de concrétiser ces nouvelles géométries.

  • La courbure d'un plan (en géométrie euclidienne) est nulle et les chemins minimisant les distances sur cette
    surface (géodésiques) sont ses droites. Pour tout triangle ^A + ^B + ^C = 180°.

  • La sphère possède une courbure totale positive constante; ses "droites" (géodésiques") sont les grands cercles (méridiens).
    Pour tout triangle ^A + ^B + ^C > 180°.

  • La pseudosphère est une surface à courbure totale négative constante.
    Pour tout triangle ^A + ^B + ^C < 180°.

  • Il en est de même du paraboloïde hyperbolique en forme de "selle de cheval" (à gauche)

Courbure totale (ou gaussienne) :  

Le Big-bang, Albert Einstein et notre univers :

Ces nouvelles géométries s'avèrent adaptées à l'étude de notre univers où l'on a pu constater que la matière "courbe" l'espace dans lequel elle évolue (trou noir, rayons lumineux au voisinage du Soleil) , corroborant la théorie de la relativité générale (1916) d'Albert Einstein (1879-1955) dans une conception non euclidienne de l'espace.

  Albert Einstein sur WikipédiA

Il fut prouvé qu'admettre l'homogénéité de l'univers (propriétés identiques en tout point au même instant) et son isotropie (propriétés en tout point indépendantes de la direction), ce qui est conforme aux observations, équivalait à une courbure constante de ce dernier. On ne sait toujours pas si cette courbure est positive ou négative, voire nulle !

      Si la courbure est positive, notre univers relève de la géométrie elliptique et il est fini.

      Si la courbure est négative, note univers relève de la géométrie hyperbolique et il est infini.

Or, les observations et théories récentes émettent l'idée d'un univers en expansion  initiée (1927)  par les astronomes et mathématiciens Edwin P. Hubble (1889-1952), Alexander Friedmann (1888-1925) et l'astrophysicien belge Georges Lemaître (1894-1966) à qui l'on doit la célèbre hypothèse du Big-bang initial développée dans les années 1960-70 : une explosion d'une puissance inimaginable, point de départ (tant physique que mathématique !), il y a environ quinze milliards d'années, du temps et de l'espace dans lequel était concentré la matière, provoquant une expansion de ladite matière dans toutes les directions (si l'on peut dire, car celles-ci n'existaient pas avant l'explosion...) avec son cortège d'étoiles et d'amas d'étoiles : les galaxies. On peut parler de Création, proche de la pensée religieuse. Si l'expansion est réelle, d'apparence hyperbolique, l'univers pourrait pourtant être borné, donc, en réalité, elliptique !

 L'appellation Big-bang n'est en fait pas due à Lemaître mais à l'un de ses détracteurs qui utilisa cet onomatopée par dérision. Et le "mot" est resté...

Le Big-bang n'explique pas l'existence de l'univers. Fut-il unique ? Certains spécialistes, comme le célèbre astrophysicien anglais contemporain Stephen William Hawking (1942-), professeur à Cambridge à qui l'on doit Brève histoire du temps et Trous noirs et bébés univers, pensent que non. 

  Stephen W. Hawking sur WikipédiA

Le lecteur intéressé pourra visionner de nombreuses vidéos, comme :

Deux vidéos intéressantes sur YouTube  :
Histoire de l'univers selon Hubert Reeves :           Stephen Hawking's Universe, The bing Bang :

Les études actuelles font apparaître que l'univers est bien "plus vieux" que ne le laisse apparaître le fameux Big-bang. Quid de  l'avant Big-bang : quelle est l'origine de la concentration ponctuelle de matière (réduction de l'univers à un espace extrêmement dense dont le rayon de courbure serait nul) avant le Grand Boum. Le temps existait-il avant ?  D'aucuns diraient : que faisait Dieu avant cet événement : Avant, Je suis....

La théorie de la gravitation de Newton, inhérente à la notion de force, disparaît au profit d'une théorie géométrique quadridimensionnelle de l'univers courbé par la matière : l'espace-temps. La distance euclidienne, dont Pythagore est à l'origine, purement métrique, devient spatio-temporelle : elle s'exprime comme un polynôme homogène de degré 2 (forme quadratique) en x, y, z (coordonnées dans l'espace) et d'une quatrième dimension t (le temps).

Einstein, qui n'était pas très féru de mathématiques, sut s'entourer de mathématiciens de haut niveau, comme Minkowski, et puisa les outils mathématiques de cette nouvelle théorie dans la géométrie différentielle de Riemann et dans le calcul tensoriel, construit sur l'algèbre multilinéaire et élargissant le concept de calcul vectoriel, dont les pionniers furent (1902) les mathématiciens italiens Ricci-Curbastro et Levi-Civita, son élève.

 Pauli & mécanique quantique :               Penrose et l'origine de l'univers :  

Pour en savoir plus :

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