ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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Notions sur les courbes gauches        Courbure (courbes planes & gauches) | torsion

Une parabole, une sinusoïde sont des courbes planes. Une ellipse, un cercle sont des courbes planes fermées. Pour ces exemples, tous les points des courbes considérées sont situés dans un même plan : une courbe est dite gauche (gauchir = dévier, tordre) s'il n'en est pas ainsi. C'est une courbe dans l'espace euclidien usuel à trois dimensions dont un des premiers grands spécialistes français fut Alexis Clairaut.

Un exemple simple de courbe gauche est donné par un ressort, la vrille d'un tire-bouchon, la forme de l'escalier en colimaçon d'une tour (en hélice). L'intersection de deux surfaces (par exemple une sphère et un cylindre) est généralement une courbe gauche.

 Archimède , Frenet , courbe de Viviani

 Dans toute la suite, pour faciliter l'écriture, les vecteurs sont écrits en gras.

Dans un repère orthonormé (0,i,j,k) de l'espace, un arc de courbe gauche (c) s'étudie paramétriquement par :

OM(u) = f(u).i + g(u).j + h(u).k

où M(u) est un point de (c) dépendant du paramètre u. Les fonctions f, g et h, abscisse, ordonnée et cote de M, sont des fonctions de u au moins une fois continûment dérivables (classe C1).

Abscisse curviligne (plan & espace) :

On se place dans le cas dit régulier où les dérivées f ', g' et h' de f, g et h (définissant OM ci-dessus) ne s'annulent pas simultanément : la courbe (c) n'admet ni point multiple (elle ne se traverse pas) ni point de rebroussement et, lorsque u varie, M se déplace toujours dans le "même" sens d'une extrémité à l'autre de l'arc.

Rebroussement & inflexion :

Dans ces conditions le calcul différentiel et intégral permet de calculer la longueur de l'arc AM et on peut orienter la courbe de sorte que cette longueur soit une fonction strictement croissante de u : sens positif de parcours. Si on note A le point origine de l'arc, la mesure de l'arc AM(u) est l'abscisse curviligne, notée s(u) du point M(u).

En choisissant s comme paramètre, l'étude d'un arc régulier peut alors se ramener à celle du vecteur :

AM(s) = x(s).i + y(s).j + z(s).k

noté souvent simplement M(s) une fois l'origine des arcs choisie. L'introduction de s facilite l'étude des tangentes et de la courbure :

Tangente en un point, vecteur tangent :

De façon analogue à la notion élémentaire de tangente à une courbe plane, la tangente en un point M(u) s'obtient comme position limite d'une sécante en M(u) et M(u + h) lorsque h tend vers 0. Lorsque cette limite existe, un vecteur directeur de la tangente en M est alors colinéaire à T (dx/du, dy/du, dz/du), c'est à dire aussi T (f '(u), g'(u), h'(u)).

Noter que ce vecteur ne dépend pas de l'origine A des arcs : si B est un autre point origine : BM = AM - AB et dAM/du = 0.

En remarquant que :

on constate que le vecteur tangent T  est aussi colinéaire au vecteur de coordonnées (dx/ds, dy/ds, dz/ds) et ce dernier ne dépend pas de l'origine A des arcs.

Dans toute la suite, on notera τ le vecteur unitaire tangent en M(s); il est colinéaire à :

  Si la courbe gauche est définie paramétriquement sous la forme x = f(u), y = g(u), z= h(u) la tangente en M(a,b,c) correspondant à u = uo est dirigée par T(f '(uo),g'(uo),h'(uo)); son équation paramétrique est alors x - a = λ.f '(uo), y - b = λ.g'(uo), z - c= λ.h'(uo) et en éliminant λ, la tangente aura pour équation :

(x - a)/f '(uo) = (y - b)/g'(uo) = (z - c)h'(uo)

si les trois dérivées sont nulles, il s'agira d'un point singulier. Sinon, il conviendra d'annuler le numérateur d'un membre dont la dérivée est nulle.

Si la courbe gauche est définie comme intersection de deux surfaces f(x,y,z) = 0 et g(x,y,z) = 0, la tangente en M(a,b,c) est la droite d'intersection des plans tangents en M, c'est donc la droite définie par :

les dérivées partielles étant prises au point M(a,b,c).

Plan osculateur et normale principale :

La difficulté de l'étude des courbes gauches résulte du fait que le point M qui la parcourt change de plan : contrairement aux courbes planes, parler de normale à la courbe est ambigu : tout vecteur orthogonal en M à la tangente τ est candidat.

Il existe cependant un plan remarquable (P) contenant τ que l'on peut obtenir comme position limite (si elle existe) du plan défini par trois points de (c) infiniment proches M(s), M(s + h) et M(s + k) lorsque h et k tendent vers 0 : c'est le plan osculateur (du latin osculor, osculatus = caresser) à (c) au point M(s).

 Un plan tangent touche une courbe en un point (deux points confondus). Le plan osculateur (P) fait mieux : en général, il touche en deux points.

Le vecteur n = dτ/ds = d2M/ds2 est un vecteur de base unitaire de ce plan orthogonal à τ, appelé normale principale en M(s). On peut ainsi définir (P) en tant que plan (M,τ, n).

Trièdre (ou repère) de Frenet :

Afin de faciliter l'étude locale d'une courbe de l'espace, Frenet eut l'idée d'étudier la courbe dans un repère mobile d'origine M(s). Dans l'espace euclidien orienté c'est le triplet (τ , n, b) où :

Étude du trièdre de Frenet, formules de Frenet :

Courbure d'une courbe (plane ou gauche), rayon de courbure, cercle osculateur :

On conçoit qu'un cercle possède une certaine courbure ne dépendant que de son rayon : son rayon de courbure.

Il s'agit de définir la courbure pour une courbe quelconque. Le schéma ci-dessous permet de comprendre que la courbure entre deux points M(s) et M(s + Δs) peut se mesurer au moyen de l'angle Δâ formé par les tangentes en ces points.

Elle correspond à l'angle des plans normaux en deux points infiniment proches M(s) et M(s + Δs). Ainsi la courbure K en un point peut être définie, par unité d'arc, par la limite, lorsque Δs tend vers 0, du rapport Δâ/Δs :

K(s) = dâ/ds          en savoir plus
K(s) = dâ/ds = 1/R

Si R devient infini, la courbure tend vers 0. On retrouve ce résultat souvent énoncé : une droite peut être considérée comme un cercle de rayon infiniment grand.

Rayon de courbure :     

D'une façon générale, le rayon de courbure ρ en un point d'une courbe est l'inverse de la courbure.

Centre et cercle de courbure, cercle osculateur :    

Le centre de courbure est la position limite de l'intersection des deux normales en M(s) et M(s+Δs) et on parle alors de cercle de courbure ou cercle osculateur (du latin osculor, osculatus = caresser).

 

Comme dans le cas du cercle, le centre de courbure ω en un point M d'une courbe (Γ) est porté par la normale en M, du côté de la concavité de (Γ) et tel que ωM = ρ.

Le cercle osculateur est tangent à la courbe au point considéré. Il est clair qu'une infinité de cercles possèdent alors cette propriété. Ce qui distingue le cercle osculateur, c'est d'avoir le même rayon de courbure que la courbe. En d'autres termes :

le rayon de courbure en un point est le rayon du cercle osculateur en ce point

Dans le cas d'une courbe plane, Δâ s'interprète comme différence entre les angles formés par ces tangentes avec l'axe des abscisses. On a donc tan â = dy/dx (= y' dans le cas cartésien) et le rayon de courbure en un point de la courbe s'évalue relativement facilement selon le type d'équation :

ρ = (1 + y'2)3/2/y"
car â = Atn y', donc dâ/dx = y"/(1+y'2). Or ds = (dx2 + dy2)½ = dx(1 + y'2)½

ρ = (x'2 + y'2)3/2/(x'y" - y'x")

par dérivation implicite : y' = - x/y
et y" = - ('
xx + 2y''xy + y'2'yy)/'y. Puis utiliser 1.

ρ = (r2 + r'2)3/2/(r2 + 2r'2 - rr")

 si (α',β',γ') sont les coordonnées de n (normale principale unitaire), les coordonnées du centre de courbure en M(x,y,z) sont alors :

xω = x + ρα' , yω = y + ρβ' , zω = z + ργ'
 

Torsion ou seconde courbure :

Cette notion est propre aux courbes gauches et mesure comment la courbe se "tord" en changeant de plan. Dans le trièdre de Frenet, elle correspond à l'angle des plans osculateurs P(s) et P(s + Δs) en deux points infiniment proches M(s) et M(s + Δs), donc à l'angle Δû entre les binormales mesurant comment la courbe se tord en passant de P(s) à P(s + Δs). Ainsi, de façon analogue à la courbure, la torsion T en un point sera, par unité d'arc, la limite lorsque Δs tend vers 0 du rapport Δû/Δs :

T(s) = dû/ds                en savoir plus

Le calcul d'une torsion est donc, a priori, le calcul de la mesure d'un angle de l'espace. A l'instar de la courbure et du rayon de courbure, on parle du rayon de torsion, ρ = 1/T, inverse de la torsion.

Au 19è siècle, l'analogie avec la courbure conduisit les mathématiciens à appeler seconde courbure cette torsion qui, grâce à Frenet, se réduit à un calcul différentiel. Voir, en exemple, la courbure et la torsion de hélice circulaire.

 Formules de Serret-Frenet , Trièdre de Darboux-Ribaucour , Meusnier

 Pour en savoir plus :

  1. Cours de mathématiques, tome 1, Ch. 21 par Jean Bass - Ed. Masson et Cie - Paris, 1964.
  2. Traité de mathématiques spéciales, tome 4 , applications de l'analyse à la géométrie
    par G. Cagnac, E. Ramis, J. Commeau , Ed. Masson, Paris - 1971
  3. Cours de mathématiques supérieures, Abbé E. Stoffaes - Ed. Gauthier-Villars, 1930
  4. ATLAS DES MATHEMATIQUES, Fritz Reinhardt, Heinrich Soeder , Ch. géométrie différentielle
    La Pochothèque - Le Livre de Poche (collection Encyclopédies d'aujourd'hui), 1997
  5. Courbes et surfaces par Jean Taillé - Que sais-je ?, n° 564, P.U.F.


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