ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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 Notion de potentiel : potentiel newtonien, électrostatique, ...

C'est à Newton que l'on doit les premières lois de la gravitation (Principes mathématiques de philosophie naturelle, 1687). Sa mécanique fut complétée par Lagrange (Mécanique analytique, 1788), Laplace (Théorie des attractions, 1785) puis par Gauss et Poisson avant les perfectionnements apportés par la découverte de la relativité et de la mécanique quantique dont les célèbres initiateurs furent Albert Einstein (1879-1955), Max Planck (1858-1947), Werner K. Heisenberg (1901-1976), Erwin Schrödinger (1887-1961), Louis de Broglie (1892-1987), ...

La théorie mathématique du potentiel prend véritablement sa place avec le français Poisson (1811) : potentiel électrostatique (ou coulombien), suite aux travaux de son maître Laplace. On le considère aujourd'hui comme le fondateur de la physique mathématique.

Une théorie moderne du potentiel avec l'introduction de la théorie de la mesure sera tout particulièrement l'objet des travaux Deny, Choquet et Brelot dans les années 1950. L'aspect probabiliste sera principalement le fait de Doob, Meyer et Kolmogorov.

Introduction à la notion de potentiel, le potentiel newtonien  également dit gravitationnel :

les lettres en gras italiques ci-après désignent des vecteurs

Selon Newton , deux corps isolés de l'espace, de masses respectives m et m', sont soumis à une force F d'attraction mutuelle dont l'intensité est proportionnelle à leurs masses et inversement proportionnelle au carré de la distance qui les sépare :

|| F || = k.mm'/d2                                              Introduction à l'intégrale de Stieltjes

le nombre k est la constante d'attraction universelle valant 6,6726 N.m2/kg2. N désigne ici le newton...

 

Ne pas confondre avec l'accélération de la pesanteur sur Terre, qui n'est pas constante... : la formule F = m.g  aussi célèbre que celle, E = m.c2 d'Einstein, exprime la résultante des forces qui s'exercent sur un corps de masse m, soumis à une accélération g . Sur notre planète, tout corps est soumis à une force d'attraction p vers le centre de la Terre, proportionnelle à la force de pesanteur, notée g, et on a P = m.g.

L'intensité de P est le poids du corps, m est sa masse et l'intensité de g, appelé champ de pesanteur est de l'ordre de 9,81 m/s2 (intensité ou accélération de la pesanteur). Cette intensité varie compte tenu de la rotation de la Terre (dans un repère non galiléen) et du fait qu'elle n'est pas exactement sphérique (valeurs moyennes à Paris : 9,8 ; aux pôles : 9,83 ; à l'équateur : 9,78).

On se propose d'étudier les composantes X, Y et Z de F. Pour ce faire, on suppose que la masse agissante est m située en un point A(a,b,c). Elle agit en M(x,y,z) et on pose pour simplifier K = k.m'. Ainsi F = Km/d2 et d = MA.

Le vecteur F est porté par [MA) et est dirigé vers A. Dans un repère orthonormé (O,x,y,z) on représente la situation en "recopiant" les axes en M en (M,x',y',z'). La composante en x de F est ici positive : X = MH. Il nous faut calculer l'angle û que fait F avec (Ox) = (Mx'). Le triangle MAK est rectangle en K (attention à la perspective). On a alors cos û = MK/MA = (a - x)/d. Par suite :

X = || F || cos û = Km/d2 (a - x)/d = Km(a - x)/d3

On trouverait de façon semblable : Y = Km(b - y)/d3 , Z = Km(c - z)/d3. Or 1/d3 = [(x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2]-3/2 et si est une fonction de x, la fonction dérivée de -1/2 est : (-1/2)' = -½ ' -3/2. Il apparaît ainsi que si nous posons, tout simplement U(x,y,z) = Km/d = Km[(x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2]-1/2, la dérivée partielle de U par rapport à x est précisément la composante X de F. Constatation semblable relativement à Y et Z :

X = U/x, Y = U/y , Z = ¶U/z

On dit que la force F dérive du potentiel U et que U(x,y,z) est le potentiel newtonien créé par la masse A. C'est à Gauss que l'on doit cette appellation. Ce potentiel, inversement proportionnel à la distance de M à A, est également dit gravitationnel.

 La différentielle dU de U est :

dU = (U/x).dx + (U/y).dy + (U/z).dz

c'est dire que :

dU = X.dx + Y.dy + Z.dz

Généralisation :

Ce résultat se transpose à l'électrostatique en considérant, non plus des masses mais des charges électriques placées en M et A : loi de Coulomb (physicien français, 1736-1806), potentiel coulombien étudié par Poisson (1811) en remplaçant m par une charge q et k par 1/4peo, eo désignant la permittivité du vide.

Le gradient de U, de coordonnées (U/x , U/y , U/z) définit donc la force à laquelle est soumise le point M attiré par A. Généralement, on oriente cette force en sens inverse que celle utilisée pour notre calcul : ainsi, un champ de forces F(X, Y, Z) agissant sur un domaine D dérive d'un potentiel U si dU = -X.dx - Y.dy - Z.dz est une différentielle exacte. Le potentiel est alors défini par :

dU = -X.dx - Y.dy - Z.dz   ,   U = -D Xdx + Ydy + Zdy

X = - ¶U/x, Y = - ¶U/y , Z = - ¶U/z

F = - grad U          Maxwell

La différence de potentiel U2 - U1, ou circulation du champ, entre deux points M1 et M2 de D ne dépend que de la position de ces points et non du chemin (c), inclus dans D, conduisant de M1 à M2 :

U2 - U1  = -(c) Xdx + Ydy + Zdz

C'est dire que l'intégrale (curviligne) d'un gradient sur une courbe fermée est nulle. Noter que la circulation du champ s'interprète comme le travail d'une force.

Laplacien et fonctions harmoniques :

L'équation :

fut obtenue par Laplace : le membre de gauche, dit laplacien est généralement noté DU. Les solutions de classe C2 (admettant des dérivées première et seconde continues sur un ouvert W de R3) sont dites harmoniques sur W. L'étude de ces solutions (en mécanique, thermodynamique, ondes sonores, électricité,...) constituent la théorie du potentiel.

 Le potentiel newtonien est une fonction harmonique de x, y et z : montrons-le en choisissant A en O(o,o,o) et Km = 1 pour simplifier les calculs. On a U = 1/d avec d2 = x2 + y2 + z2, donc :

  • U/x = -x(x2 + y2 + z2)-3/2. Dérivons une seconde fois :

  • 2U/x2 = -(x2 + y2 + z2)-3/2 - x (-3/2)(x2 + y2 + z2)-5/2 2x

  • 2U/x2 = -d3 + 3x2d-5. Faisant de même en y et z, on obtient par sommation :

  • 2U/x2 + 2U/x2 + 2U/x2 = -3d-3 + 3(x2 + y2 + z2)d-5 = -3d-3 + 3d-3 = 0.

Surfaces équipotentielles :

Dans les applications physiques, il est important de connaître les portions d'espace où le potentiel est le même en s'intéressant à l'équation U = uo. Dans le cas simple du potentiel newtonien (ou électrostatique), cela revient à dire d = constante. Ce sont donc des sphères centrées en A (au point agissant).

D'une façon générale ce sont des surfaces, dites surfaces équipotentielles. Si l'on considère deux surfaces contenant l'une un point M, l'autre un point M', et si (c) désigne une courbe joignant M à M', alors, par définition du potentiel, l'intégrale curviligne :

(c) dU                    notion d'intégrale curviligne

ne dépend pas de (c) : elle représente la différence de potentiel entre M et M' et égale U(M') - U(M).

Pour en savoir plus :

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