ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Séries et fonctions hypergéométriques

Les séries hypergéométriques furent initiées par Gauss. Ce sont des séries entières, à termes  réels ou complexes, de la forme Σunzn  (n entier naturel) où le rapport un+1/un des coefficients de deux termes consécutifs est une fonction rationnelle de n.

Exemple : si un+1/un = 1/(n + 1) et uo = 1,  on a alors un = 1/n! et la série hypergéométrique converge donc vers ez.

L'appellation hypergéométrique provient du fait qu'on généralise ainsi celle de série géométrique Σan, somme des termes d'une suite géométrique dont le rapport de deux termes consécutifs an+1/an = a est constant.

La fonction exponentielle et son développement en série :

En 1812, Gauss obtient dans ses recherches en physique mathématique l'équation différentielle linéaire (qui apparaîtra ultérieurement comme un cas particulier d'équation de Riemann) :

z(z - 1)F" + z(α + β + 1)F' - γF' + αβy = 0

dont la recherche d'une solution F sous forme de série entière Σunzn, au voisinage de z = 0, le conduit à la relation de récurrence :

(n + 1)(n + γ)un+1 = (n + α)(n + β)un

Pour z réel ou complexe, on obtient alors, à un facteur multiplicatif près, lorsque γ est non nul et distinct de tout entier négatif :

soit, pour les 4 premiers termes :

Pour p entier et quelconque, on écrit parfois

x(x + 1)(x + 2)...(x + p - 1) = (x)p

notation pratique due au mathématicien allemand Leo August Pochhammer (1841-1920), élève de Kummer, qui étudia les séries hypergéométriques dans un cadre plus général.

Si x et p sont des entiers naturels, on a  (x)p = (x + p - 1)!/(x - 1)! Avec cette notation, on a alors :

un = (α)n(β)n / n!(γ)n.

Un cas élémentaire :       

Lorsque β = γ , on a :

F(1, β, β ,z) = 1 + z + z2 + ... zn + ...

Il s'agit de la série géométrique de raison z (de premier terme zo = 1) convergeant vers 1/(1 - z) si | z | < 1.


Montrer que : xF(1,1,2,-x) = ln(1 + x) , Asin x = xF(½,½,3/2,x2) avec Asin = Arc sinus , cosx = F(½,-½,½,sin2x) , ex = lim
β F(1,β,1,x/β)

En utilisant cette propriété de la fonction Γ d'Euler, on peut vérifier que F(α,β,γ,z) peut s'écrire :

Ces fonctions connurent un important développement jusqu'à nos jours car utilisées dans de nombreuses applications mathématiques ou physiques et dans des cas particuliers d'inversion d'intégrales elliptiques :

Par exemple, la fonction elliptique de 1ère espèce :

Lorsque φπ, on peut montrer que : u = ½πF(½,½,1,k2). De même, la fonction elliptique de 2ème espèce :

s'écrit de façon simple au moyen de la fonction hypergéométrique : v = ½πF(-½,½,1,k2).

Les fonctions hypergéométriques permettent également d'exprimer les polynômes orthogonaux comme ceux de Legendre ou de Hermite par exemple. Elles sont à rapprocher des fonctions Jn de Bessel rencontrées en mécanique céleste (perturbations des orbites) et dans des phénomènes oscillatoires de la physique

Équation et fonctions Jn de Bessel :    Équation de Kummer :

Pour en savoir plus :


© Serge Mehl - www.chronomath.com