ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

fonction cosinus (d'un angle ou de sa mesure)     » Voir l'animation             » Sinus , tangente , cotangente , sécante & cosécante ,           Arc sinus & Arc cosinus , Arc tangente & Arc cotangente           Sinus & cosinus hyperboliques , tangente & cotangente hyperboliques , exercices

• Nom de la fonction : cosinus, abrégé en cos  » Oughtred. C'est une fonction transcendante.
  Étymologie : du latin cum = avec (donnant en français co = associé) et sinus = pli.    » Regiomontanus
• Ensemble de définition : R.
• Périodique : oui, période : 2π.     » la notion de période
• Fonction paire = cos(-x) = cos(x).
• Fonction dérivée : -sin(x), opposée de la fonction sinus.        » calcul de la fonction dérivée
• Primitive : sin(x) + k     » primitive de sec(x) = 1/cos(x).
• Nom de la courbe associée : sinusoïde car le cosinus d'un angle est le sinus de son complémentaire :

cos x = sin (π/2 - x)     » ci-après la 1ère définition

• Développement en série :  » développements limités usuels

• Comme pour le sinus, on peut donner une définition purement géométrique du cossinus d'un angle ^xAy :

  Dans un triangle ABC rectangle en A, le cosinus d'un angle aigu (^B ou ^C) est égal au quotient (des mesures) du côté adjacent par l'hypoténuse.

  Par exemple : cos^B = AB/BC

  

  On a sin^C = AB/BC. Par suite, vu que ^B et ^C sont complémentaires (^B + ^C = 90°), on peut donner une définition du cosinus par :

  Le cosinus d'un angle ^x est le sinus de son complémentaire.
  Plus généralement, si x est exprimé en radians :

  cos x = sin(π/2 - x)
  

• Dans un repère orthonormé (O,I,J) , cos^x = cos^HOM est l'abscisse OH d'un point M en rotation sur un cercle centré en O, de rayon 1 (cercle trigonométrique), d'où le nom de fonction circulaire, au nombre de trois avec sinus et tangente (quatre si on admet la cotangente, inverse de la tangente).

∗∗∗
Dérivabilité en 0 de sin(x)/x  : développement (très) limité de sin x

La figure ci-dessous est générée au moyen du logiciel de géométrie dynamique Cabri Géomètre, dans sa version CabriJava pour Internet :

Si votre navigateur accepte les applets Java (» extension CheerpJ) :
OP = arc OM : en déplaçant P, la courbe cosinus apparaît en bleu, le sinus en rouge

» Pour le tracé du cosinus, l'abscisse de M a été renvoyée sur l'axe des ordonnées par rotation d'angle +π/2

» Ptolémée , Aryabhata , Al Battani , Regiomontanus , Roberval

Apprenez à rédiger sans confondre un angle (ou sa mesure) avec son sinus ou son cosinus... Par exemple, dans le triangle ABC ci-dessous, rectangle en A, on suppose AC = 5,2 cm et BC = 6 cm.

La consigne est Calculer l'angle ^C à 0,1 près. Une rédaction pourra être la suivante :

 !  La calculatrice affiche 29.926... Comme dans les exemples précédents, il ne faut pas lui fournir une approximation de la valeur du cosinus car vous risquez de perdre la (ou les) décimale(s) demandée(s). Ici, 5,2/6 = 0,866666666...

En fournissant 0.86 au lieu de taper la séquence  5   .    2   ÷   6   =  sur la calculatrice (pour 5.2/6), vous trouverez 30.683..., soit 30°, 7 à 0,1 près ! Avec 0.866, vous obtiendrez : 30.0029..., soit 30° à 0,1 près, ce qui est acceptable.

Conseils similaires concernant le sinus :  »                 Arrondis et troncature :  »

 On peut prouver les deux premières au moyen du théorème de Ptolémée sachant que cos x = sin(π/2 - x)

•  cos(a + b) = cos a.cos b - sin a.sin b

•  cos(a - b) = cos a.cos b + sin a.sin b

•  cos(a + b + c) = cos a.cos b.cos c - sin a.sin b.cos c - sin a.cos b.sin c - cos a.sin b.sin c          

•  cos a ± cos b :  » formules de transformation de sommes en produits

•  cos²a + sin²a = 1    • cos 2a = cos²a - sin²a = 2cos²a - 1 = 1 - 2sin²a

• 

•  cos²a - cos²b = sin(a + b).sin(b - a)  |  cos²a - sin²b = cos²b - sin²a = cos(a + b).cos(a - b)

•  cos 3a = 4cos³a - 3cos a   |   cos 4a = 8cos⁴a - 8cos²a + 1  |  cos5a = 16cos⁵a - 20cos³a + 5cos a

•  cos³a = ¼(cos 3a + 3cos 3a)  |  cos⁴a = (cos 4a + 4cos 2a +3)/8  |  sin⁵a = (cos 5a + 5cos 3a + 10cos a)/16

•  formules de transformations de produits en somme ou différence :  » Werner Johannes

•       » preuve       •  

•  cos a = cos b ⇔ a = b + 2kπ, k∈Z   ou   a = - b + 2kπ, k∈Z

•  cos(- a) = cos a  (la fonction cos est paire)    • cos(π/2 - a) = sin a    • cos(π/2 + a) = - sin a  

•  cos(π - a) = - cos a     • cos(π + a) = - cos a    • cos(2π ± a) = ± cos a

•  cos 0 = 1    • cos(π/6) = cos 30° = √3/2   • cos(π/4) = cos 45° = 1/√2 = √2/2   • cos(π/3) = cos 60°= 1/2

•  cos(π/2) = cos 90° = 0   • cos(2π/3) = cos 120° = - 1/2   • cos(3π/4) = cos 135° =   - 1/√2 = - √2/2

 ➔   Pour d'autres valeurs remarquables, utiliser les propriétés de cosinus,  par exemple :

        • cos(4π/3) = cos(π + π/3) = - cos(π/3) = - 1/2   
        • cos(7π/4) = cos(2π - π/4) = cos(- π/4) = cos(π/4) = 1/√2 =  √2/2

•  Concernant les sinus et cosinus des angles π/5 (36°) , 2π/5, π/10 (18°), 3π/10 : » pentagone et décagone réguliers

•  Concernant les sinus, cosinus et tangente de π/12 (15°) et π/8 (22,5°) : » exercice 1 ci-dessous

•  Formules de transformations de produits en somme ou différence :  »  Werner Johannes

 1  a) En remarquant que π/12 = π/3 - π/4, montrer que :

cos(π/12) = (√6 + √2)/4  , sin(π/12) = (√6 - √2)/

En déduire :

tan(π/12) =  (√3 - 1)/ (√3 + 1)

b) On suppose a ∈[0,2π]. Déduire des formules cos 2a = 2cos²a - 1 = 1 - 2sin²a les expressions de sin(a/2) et cos(a/2) ci-dessous en précisant leur signe en fonction de a :

En déduire :

c) Retrouver ces valeurs au moyen de la formule sin2a = 2sina.cosa lorsque a = π/8 et en posant X = sina sous la condition 0 ≤ X ≤ 1.On obtiendra l'équation 8X⁴ - 8X² + 1 = 0. Justifier que la plus petite des solutions est sin(π/8) et que l'autre est cos(π/8). ☼

 2  En utilisant les développements de sin(a + b) et sin(a - b), exprimer le produit 2sina.cosb; en déduire la formule :

sin x + sin 3x = 2sin2x.cosx

 puis la résolution de l'équation sin x + sin 2x + sin 3x = 1 + cos x + cos 2x

Rép. : l'équation se ramène à sin 2x = cos x  ou  2cos x +1 = 0; d'où trois ensembles de solutions :

 x = π/6 + 2kπ/3,  x = π/2 + 2kπ,   x = ± 2π/3 + 2kπ

3  On pose :

 f(t) = 8 + 18sin² t + 24sin t.cos t pour tout réel t.

Montrer que f(t) peut se mettre sous la forme a - b.cos(2t - α) où a, b et α sont positifs, a et b entiers, α exprimé en radians à 0,01 près dans l'intervalle [0,2π].

Rép. : f(t) = 17 + 12sin2t - 9cos2t = 17 - 15[3/5 x cos2t - 4/5 x sin2t] = 17 - 15cos(2t - α) où α est l'angle défini par
cosα = 3/5 ,sinα = -4/5, soit α = 5,36 rad à 0,01 près, en ajoutant 2π à la détermination principale de α afin d'obtenir une valeur dans [0,2π].

 4   En factorisant 2XY + 2Y - X - 1, déduire les solutions de l'équation sin 2x + 2cos x - sin x - 1 = 0.

 5    a/ Rappeler le développement de (a + b)³ et en déduire que pour tout réel x, on a : sin⁶x + cos⁶x = 1 - 3sin²xcos²x
       b/ Déduire de a/ une résolution de l'équation  (e) : sin⁶x + cos⁶x = 1.
       c/ Représenter sur le cercle trigonométrique les images des solutions de l'équation (e) lorsque x est élément de [0;2π].

Solution partielle  de l'exercice 1. c) :
L'équation bicarrée résolvante, 8X⁴ - 8X² + 1 = 0, obtenue en posant X = cosa est identique à celle obtenue avec X = sina car sin²a = 1 - X² et sin(π/4) = cos(π/4). D'autre part, dans l'intervalle [0,π/2], π/8 étant inférieur à π/4, son sinus est inférieur à son cosinus.