ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

fonction cosinus (d'un angle ou de sa mesure)         animation     
      
sinus , tangente , cotangente , sécante & cosécante , sinus & cosinus hyperboliques , tangente & cotangente hyperboliques , exercices

cos x = sin (π/2 - x)       ci-après la 1ère définition

Définitions possibles :

  Dérivabilité en 0 de sin(x)/x  : développement (très) limité de sin x

Représentation graphique :

Animation : Déplacer le point P : la courbe cosinus apparaît en bleu, le sinus en rouge


Pour le tracé du cosinus, l'abscisse de M a été renvoyée sur l'axe des ordonnées par rotation d'angle +π/2

Fonctions réciproques Arc sinus & Arc cosinus : 

Applications :

Elles sont innombrables ! Les fonctions sinus et cosinus sont sans doute les fonctions les plus rencontrées dans les applications scientifiques. En usage dès l'Antiquité en Astronomie, on les rencontre en Électricité (par exemple, le courant EDF est sinusoïdal de fréquence 50Hz, soit de période 1/50), en Mécanique (élasticité, fluidité, marées, ...), en Acoustique (propagation du son), en Électromagnétisme (ondes radios ou hertziennes) , en Optique (réfraction), en Topographie (trigonométrie), etc.

 Ptolémée , Aryabhata , Al Battani , Regiomontanus , Roberval

Conseils aux collégiens :

Apprenez à rédiger sans confondre un angle (ou sa mesure) avec son sinus ou son cosinus... Par exemple, dans le triangle ABC ci-dessous, rectangle en A, on suppose AC = 5,2 cm et BC = 6 cm.

La consigne est Calculer l'angle ^C à 0,1 près. Une rédaction pourra être la suivante :

La calculatrice affiche 29.926... Comme dans les exemples précédents, il ne faut pas lui fournir une approximation de la valeur du cosinus car vous risquez de perdre la (ou les) décimale(s) demandée(s). Ici, 5,2/6 = 0,866666666...

En fournissant 0.86 au lieu de taper la séquence  5   .    2   ÷   6   =  sur la calculatrice (pour 5.2/6), vous trouverez 30.683..., soit 30°, 7 à 0,1 près ! Avec 0.866, vous obtiendrez : 30.0029..., soit 30° à 0,1 près, ce qui est acceptable.

Conseils similaires concernant le sinus :                  Arrondis et troncature :

Formules et limites élémentaires, valeurs remarquables :

 On peut prouver les deux premières au moyen du théorème de Ptolémée sachant que cos x = sin(π/2 - x)

  cos(a + b) = cos a.cos b - sin a.sin b

  cos(a - b) = cos a.cos b + sin a.sin b

  cos(a + b + c) = cos a.cos b.cos c - sin a.sin b.cos c - sin a.cos b.sin c - cos a.sin b.sin c          

  cos a ± cos b :   formules de transformation de sommes en produits

  cos2a + sin2a = 1    cos 2a = cos2a - sin2a = 2cos2a - 1 = 1 - 2sin2a

cos2a - cos2b = sin(a + b).sin(b - a)     cos2a - sin2b = cos2b - sin2a = cos(a + b).cos(a - b)    

       preuve         

  cos a = cos b a = b + 2kπ, kZ   ou   a = - b + 2kπ, kZ

  cos(- a) = cos a  (la fonction cos est paire)     cos(π/2 - a) = sin a     cos(π/2 + a) = - sin a  

  cos(π - a) = - cos a      cos(π + a) = - cos a     cos(2π ± a) = ± cos a

  cos 0 = 1     cos(π/6) = cos 30° = 3/2    cos(π/4) = cos 45° = 1/2 = 2/2    cos(π/3) = cos 60°= 1/2

  cos(π/2) = cos 90° = 0    cos(2π/3) = cos 120° = - 1/2    cos(3π/4) = cos 135° =   - 1/2 = - 2/2

  Pour d'autres valeurs remarquables, utiliser les propriétés de cosinus,  par exemple :

         cos(4π/3) = cos(π + π/3) = - cos(π/3) = - 1/2   
         
cos(7π/4) = cos(2π - π/4) = cos(- π/4) = cos(π/4) = 1/2 =  2/2

  Concernant les sinus et cosinus des angles π/5 (36°) , 2π/5, π/10 (18°), 3π/10 : pentagone et décagone réguliers

  Concernant les sinus et cosinus de π/12 (15°) : cliquez-moi

  Formules de transformations de produits en somme ou différence :    Werner Johannes

Autres formules pratiques :

 

 1  a) En remarquant que π/12 = π/3 - π/4, montrer que : cos(π/12) = (6 + 2)/4  , sin(π/12) = (6 - 2)/4.
     b) Déduire de a) que tan(π/12) =  (3 - 1)/ (3 + 1).

 2  En utilisant les développements de sin(a + b) et sin(a - b), exprimer 2sin a.cos b; en déduire la formule :

sin x + sin 3x = 2sin 2x.cos x

 puis la résolution de l'équation sin x + sin 2x + sin 3x = 1 + cos x + cos 2x

Rép.
: l'équation se ramène à sin 2x = cos x  ou  2cos x +1 = 0; d'où trois ensembles de solutions :

 x = π/6 + 2kπ/3,  x = π/2 + 2kπ,   x = ±2π/3 + 2kπ

3  On pose f(t) = 8 + 18sin2 t + 24sin t.cos t pour tout réel t. Montrer que f(t) peut se mettre sous la forme a - b.cos(2t - α) où a, b et α sont positifs, a et b entiers, α exprimé en radians à 0,01 près dans l'intervalle [0,2π].

Rép.
: f(t) = 17 + 12sin2t - 9cos2t = 17 - 15[3/5 x cos2t - 4/5 x sin2t] = 17 - 15cos(2t - α) où α est l'angle défini par cosα = 3/5 ,sinα = -4/5, soit α = 5,36 rad à 0,01 près, en ajoutant 2π à la détermination principale de α afin d'obtenir une valeur dans [0,2π].

 4   En factorisant 2XY + 2Y - X - 1, déduire les solutions de l'équation sin 2x + 2cos x - sin x - 1 = 0.

 5     a/ Rappeler le développement de (a + b)3 et en déduire que pour tout réel x, on a : sin6x + cos6x = 1 - 3sin2xcos2x
       b/ Déduire de a/ une résolution de l'équation  (e) : sin6x + cos6x = 1.
       c/ Représenter sur le cercle trigonométrique les images des solutions de l'équation (e) lorsque x est élément de [0;2π].

 6     Quelles sont, dans l'intervalle [-π;+π] les solutions non rationnelles de l'équation 8cos3x = 6cosx - 2 ?
       
   On pourra poser X = cos x et remarquer que X = 0,5 est une solution...

 7     Marée et sinusoïde


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