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![]() » Sinus , tangente , cotangente , sécante & cosécante , Arc sinus & Arc cosinus , Arc tangente & Arc cotangente Sinus & cosinus hyperboliques , tangente & cotangente hyperboliques , exercices |
cos x = sin (π/2 - x) » ci-après la 1ère définition
Définitions possibles : |
Dans un triangle ABC rectangle en A, le cosinus d'un angle aigu (^B ou ^C) est égal au quotient (des mesures) du côté adjacent par l'hypoténuse.
Par exemple : cos^B = AB/BC
On a sin^C = AB/BC. Par suite, vu que ^B et ^C sont complémentaires (^B + ^C = 90°), on peut donner une définition du cosinus par :
Le cosinus d'un angle ^x est le sinus de son
complémentaire.
Plus généralement, si x est exprimé en radians :
cos x = sin(π/2 - x)
Dans un repère orthonormé (O,I,J) , cos^x = cos^HOM est l'abscisse OH d'un point M en rotation sur un cercle centré en O, de rayon 1 (cercle trigonométrique), d'où le nom de fonction circulaire, au nombre de trois avec sinus et tangente (quatre si on admet la cotangente, inverse de la tangente).
∗∗∗
Dérivabilité
en 0 de sin(x)/x
: développement (très) limité de
sin x
Représentation graphique : |
La figure ci-dessous est générée au moyen du logiciel de géométrie dynamique Cabri Géomètre, dans sa version CabriJava pour Internet :
Si votre navigateur accepte les applets
Java (»
extension CheerpJ) :
OP =
arc OM : en
déplaçant P, la courbe cosinus
apparaît en bleu,
le
sinus
en rouge
» Pour le tracé du cosinus, l'abscisse
de M a été renvoyée sur l'axe des ordonnées par rotation d'angle +π/2
Fonctions réciproques Arc sinus & Arc cosinus : »
Applications : |
Elles sont innombrables ! Les fonctions sinus et cosinus sont sans doute les fonctions les plus rencontrées dans les applications scientifiques. En usage dès l'Antiquité en Astronomie, on les rencontre en Électricité (par exemple, le courant EDF est sinusoïdal de fréquence 50Hz, soit de période 1/50), en Mécanique (élasticité, fluidité, marées, ...), en Acoustique (propagation du son), en Électromagnétisme (ondes radios ou hertziennes) , en Optique (réfraction), en Topographie (trigonométrie), etc.
» Ptolémée , Aryabhata , Al Battani , Regiomontanus , Roberval
Conseils aux collégiens : |
Apprenez à rédiger sans confondre un angle
(ou sa mesure) avec son sinus ou son cosinus... Par exemple,
dans le triangle ABC ci-dessous, rectangle en A, on
suppose AC = 5,2 cm et BC = 6 cm.
La consigne est Calculer l'angle ^C à 0,1 près. Une rédaction pourra être la suivante :
! La calculatrice affiche 29.926... Comme dans les exemples précédents, il ne faut pas lui fournir une approximation de la valeur du cosinus car vous risquez de perdre la (ou les) décimale(s) demandée(s). Ici, 5,2/6 = 0,866666666...
En fournissant 0.86 au lieu de taper la séquence 5 . 2 ÷ 6 = sur la calculatrice (pour 5.2/6), vous trouverez 30.683..., soit 30°, 7 à 0,1 près ! Avec 0.866, vous obtiendrez : 30.0029..., soit 30° à 0,1 près, ce qui est acceptable.
Conseils similaires concernant le sinus : » Arrondis et troncature : »
Formules et limites élémentaires, valeurs remarquables : |
On peut prouver les deux premières au moyen du théorème de Ptolémée sachant que cos x = sin(π/2 - x)
• cos(a + b) = cos a.cos b - sin a.sin b
• cos(a - b) = cos a.cos b + sin a.sin b
• cos(a + b + c) = cos a.cos b.cos c - sin a.sin b.cos c - sin a.cos b.sin c - cos a.sin b.sin c
• cos a ± cos b : » formules de transformation de sommes en produits
• cos2a + sin2a = 1 • cos 2a = cos2a - sin2a = 2cos2a - 1 = 1 - 2sin2a
•
• cos2a - cos2b = sin(a + b).sin(b - a) | cos2a - sin2b = cos2b - sin2a = cos(a + b).cos(a - b)
• cos 3a = 4cos3a - 3cos a | cos 4a = 8cos4a - 8cos2a + 1 | cos5a = 16cos5a - 20cos3a + 5cos a
• cos3a = ¼(cos 3a + 3cos 3a) | cos4a = (cos 4a + 4cos 2a +3)/8 | sin5a = (cos 5a + 5cos 3a + 10cos a)/16
• formules de transformations de produits en somme ou différence : » Werner Johannes
•
»
preuve
•
• cos a = cos b ⇔ a = b + 2kπ, k∈Z ou a = - b + 2kπ, k∈Z
• cos(- a) = cos a (la fonction cos est paire) • cos(π/2 - a) = sin a • cos(π/2 + a) = - sin a
• cos(π - a) = - cos a • cos(π + a) = - cos a • cos(2π ± a) = ± cos a
• cos 0 = 1 • cos(π/6) = cos 30° = √3/2 • cos(π/4) = cos 45° = 1/√2 = √2/2 • cos(π/3) = cos 60°= 1/2
• cos(π/2) = cos 90° = 0 • cos(2π/3) = cos 120° = - 1/2 • cos(3π/4) = cos 135° = - 1/√2 = - √2/2
➔ Pour d'autres valeurs remarquables, utiliser les propriétés de cosinus, par exemple :
• cos(4π/3)
= cos(π + π/3) = - cos(π/3) = - 1/2
• cos(7π/4) =
cos(2π - π/4) = cos(- π/4) = cos(π/4) = 1/√2
= √2/2
• Concernant les sinus et cosinus des angles π/5 (36°) , 2π/5, π/10 (18°), 3π/10 : » pentagone et décagone réguliers
• Concernant les sinus, cosinus et tangente de π/12 (15°) et π/8 (22,5°) : » exercice 1 ci-dessous
• Formules de transformations de produits en somme ou différence : »
Werner Johannes ________
________
1 a) En remarquant que π/12 = π/3 - π/4, montrer que :
cos(π/12) = (√6 + √2)/4 , sin(π/12) = (√6 - √2)/
En déduire :
tan(π/12) = (√3 - 1)/ (√3 + 1)
b) On suppose a ∈[0,2π]. Déduire des formules cos 2a = 2cos2a - 1 = 1 - 2sin2a les expressions de sin(a/2) et cos(a/2) ci-dessous en précisant leur signe en fonction de a :
En déduire :
c) Retrouver ces valeurs au moyen de la
formule sin2a = 2sina.cos
a lorsque a = π/8
et en posant X = sin
a
sous la condition 0 ≤ X ≤ 1.On obtiendra l'équation 8X4 - 8X2
+ 1 = 0. Justifier que la plus petite des solutions est sin(π/8) et que l'autre est
cos(π/8).
☼
2 En utilisant les développements de sin(a + b) et
sin(a - b), exprimer le produit 2sina.cos
b; en déduire la formule :
sin x + sin 3x = 2sin2x.cos
x
puis la résolution de l'équation sin x + sin 2x + sin 3x = 1 + cos x + cos 2x
Rép. : l'équation se ramène à sin 2x = cos x ou 2cos x +1 = 0; d'où trois ensembles de solutions :
x = π/6 + 2kπ/3, x = π/2 + 2kπ, x = ± 2π/3 + 2kπ
3 On pose :
f(t) = 8 + 18sin2 t + 24sin t.cos t pour tout réel t.
Montrer que f(t) peut se mettre sous la forme a - b.cos(2t - α) où a, b et α sont positifs, a et b entiers, α exprimé en radians à 0,01 près dans l'intervalle [0,2π].
Rép. : f(t) = 17 + 12sin2t - 9cos2t = 17 - 15[3/5 x cos2t - 4/5 x sin2t] = 17 - 15cos(2t - α) où α est l'angle défini par
cosα = 3/5 ,sinα = -4/5, soit α = 5,36 rad à 0,01 près, en ajoutant 2π à la détermination principale de α afin d'obtenir une valeur dans [0,2π].
4 En factorisant 2XY + 2Y - X - 1, déduire les solutions de l'équation sin 2x + 2cos x - sin x - 1 = 0.
5 a/ Rappeler le développement de (a + b)3 et en déduire que pour tout
réel x, on a : sin6x + cos6x
= 1 - 3sin2xcos2x
b/
Déduire de a/ une résolution de l'équation (e) : sin6x + cos6x
= 1.
c/ Représenter sur le cercle trigonométrique les images des solutions de
l'équation (e) lorsque x est élément de [0;2π].
6
Quelles sont, dans l'intervalle [-π;+π]
les solutions non rationnelles de l'équation 8cos3x = 6cosx - 2 ?
»
On pourra poser X = cos x
et remarquer que X = 0,5 est une solution...
Solution partielle de l'exercice 1. c)
: