ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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LA VALLÉE-POUSSIN Charles Jean Gustave de-, belge, 1866-1962

Né à Louvain (Belgique), après des études à Mons, Charles de la Vallée-Poussin est nommé à la célèbre université flamande de Louvain (1892), poste qu'il conserva pendant toute sa carrière. Il enseigna également au collège de France.

Ses recherches portèrent principalement sur l'approximation des fonctions numériques et, en théorie des nombres, tout particulièrement sur les nombres ζ de Riemann, liés aux nombres premiers et à leur raréfaction pour les grandes valeurs de tels nombres. Ses recherches sont parallèles à ceux du français Jacques Hadamard. Correspondant de l'Académie des sciences de Paris, cette dernière lui octroie le prix Poncelet 1916 pour couronner l'ensemble de ses travaux. Le jury comprenait les plus grands mathématiciens de l'époque comme Darboux, Hadamard, Jordan, Painlevé, Picard. Distinction précoce (il n'a que 50 ans) car il n'en a pas fini pour autant de ses recherches : il meurt  à l'âge de 96 ans...

La Vallée-Poussin apporta une preuve de ce qu'on appelle aujourd'hui le théorème des nombres premiers (Sur la fonction de Riemann et le nombre de nombres premiers inférieurs à une limite donnée, 1896), résultat initialement conjecturé par Euler, puis Gauss et Legendre : si π(n) désigne le nombre de nombres premiers inférieurs à l'entier naturel, alors :

                  Tchebychev , Erdös

Trois ans plus tard, La Vallée-Poussin confirme un résultat de Gauss selon lequel le logarithme intégral est une meilleure approximation de π(n) que x/ln x en démontrant l'estimation :

où k est une constante strictement positive, O désignant la notation de Landau.

Théorème des nombres premiers et logarithme intégral :

Un résultat de Legendre complété par La Vallée-Poussin :    

Une conjecture de Legendre prouvée par Dirichlet exprime que :

Si a et b sont premiers entre eux, la suite arithmétique de 1er terme a de raison b contient une infinité de nombres premiers. 

En notant φ la fonction indicatrice d'Euler, φ(b) = Card{k, kN, 1 ≤ k ≤ b - 1, pgcd(k,b) = 1}. Soit alors π(x,a,b) le nombre de nombres premiers inférieurs à x de la forme a + nb, c'est à dire Card{pN, p premier, p ≤ x, p a [b]}.

En admettant, a priori, une distribution similaire des différentes progressions selon leur raison b, La Vallée-Poussin prouva :

π(x,a,b) ~ π(x)/φ(b)

Le calcul  d'une estimation fine de π(x,a,b) fait partie de recherches pointues dans le cadre de la théorie analytique des nombres.

Terence Tao


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Fredholm  Tauber
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