ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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LA VALLÉE-POUSSIN Charles Jean Gustave de-, belge, 1866-1962

Né à Louvain (Belgique), après des études à Mons, Charles de la Vallée-Poussin est nommé à la célèbre université flamande de Louvain (1892), poste qu'il conserva pendant toute sa carrière. Il enseigna également au collège de France.

Ses recherches portèrent principalement sur l'approximation des fonctions numériques et, en théorie des nombres, tout particulièrement sur les nombres ζ de Riemann, liés aux nombres premiers et à leur raréfaction pour les grandes valeurs de tels nombres. Ses recherches sont parallèles à ceux du français Jacques Hadamard. Correspondant de l'Académie des sciences de Paris, cette dernière lui octroie le prix Poncelet 1916 pour couronner l'ensemble de ses travaux. Le jury comprenait les plus grands mathématiciens de l'époque comme Darboux, Hadamard, Jordan, Painlevé, Picard. Distinction précoce (il n'a que 50 ans) car il n'en a pas fini pour autant de ses recherches : il meurt  à l'âge de 96 ans...

Entre 1896 et 1898, de La Vallée-Poussin apporta une preuve de ce qu'on appelle aujourd'hui le théorème des nombres premiers (Sur la fonction de Riemann et le nombre de nombres premiers inférieurs à une limite donnée, » réf.2), issu d'une conjecture de Gauss confirmée par Riemann, son élève, laquelle résistait depuis près de 100 ans :

Si π(n) désigne le nombre de nombres premiers inférieurs à l'entier naturel (notation de Legendre), il était conjecturé que :

Gauss, puis Riemann, estimaient que le logarithme intégral (fonction li) était une meilleure approximation de π(n) que x/lnx. Les travaux de de La Vallée-Poussin et d'Hadamard, indépendamment et de façon similaire confirment cette estimation (» réf.2, réf.3) :

     

où k est une constante strictement positive indépendante de x, O désignant la notation de Landau.

En savoir un peu plus sur le théorème des nombres premiers : » 

Un résultat de Legendre complété par de La Vallée-Poussin :

Une conjecture de Legendre prouvée par Dirichlet exprime que :

Si a et b sont premiers entre eux, la suite arithmétique de 1er terme a de raison b contient une infinité de nombres premiers 

En notant φ la fonction indicatrice d'Euler, φ(b) = Card{k, k∈N, 1 ≤ k ≤ b - 1, pgcd(k,b) = 1}. Soit alors π(x,a,b) le nombre de nombres premiers inférieurs à x de la forme a + nb, c'est à dire Card{p∈N, p premier, p ≤ x, p ≡ a [b]}.

En admettant, a priori, une distribution similaire des différentes progressions selon leur raison b, de La Vallée-Poussin prouva :

π(x,a,b) ~ π(x)/φ(b)

Le calcul  d'une estimation fine de π(x,a,b) fait partie de recherches pointues dans le cadre de la théorie analytique des nombres.

» Terence Tao


   Pour en savoir plus :

  1. Recherches analytiques sur la théorie des nombres premiers, imprimé à Bruxelles (1897)
    https://archive.org/details/recherchesanaly00pousgoog/page/n6/mode/2up

  2. Charles-Jean de La Vallée-Poussin et le théorème des nombres premiers, par Jean Mahwin (uni. cath. Louvain) :
    https://www.researchgate.net/profile/Jean_Mawhin/publication/242019095_CharlesJean_de_La_Vallee_Poussin_
    ...

  3. Sur la fonction de Riemann et le nombre de nombres premiers inférieurs à une limite donnée
    par Ch. J. de La Vallée-Poussin (1898) : https://archive.org/details/surlafonctionze00pousgoog/page/n14/mode/2up

  4. ABRÉGÉ D'HISTOIRE DES MATHÉMATIQUES, 1700-1900, par Jean Dieudonné et une équipe de mathématiciens, Éd. Hermann - 1978 ,1992.

  5. Les Nombres premiers, Gérald Tenenbaum, Michel Mendès-France, Que Sais-je n°571, Ed. PUF.  
    Cette édition 1997 de l'ancien Que sais-je d'Émile Borel étudie la distribution des nombres premiers au moyen de l'analyse réelle et complexe.

  6. La fonction ζ de Riemann, par Javier Fresàn : http://jfresan.files.wordpress.com/2011/04/lecture-de-riemann.pdf


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