ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
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Né à Louvain
(Belgique), après des études à Mons, Charles de la Vallée-Poussin est nommé à la célèbre
université flamande de Louvain (1892), poste qu'il conserva pendant toute
sa carrière. Il enseigna également au collège de
France.
Ses recherches portèrent principalement sur l'approximation des fonctions numériques et, en théorie des nombres, tout particulièrement sur les nombres ζ de Riemann, liés aux nombres premiers et à leur raréfaction pour les grandes valeurs de tels nombres. Ses recherches sont parallèles à ceux du français Jacques Hadamard. Correspondant de l'Académie des sciences de Paris, cette dernière lui octroie le prix Poncelet 1916 pour couronner l'ensemble de ses travaux. Le jury comprenait les plus grands mathématiciens de l'époque comme Darboux, Hadamard, Jordan, Painlevé, Picard. Distinction précoce (il n'a que 50 ans) car il n'en a pas fini pour autant de ses recherches : il meurt à l'âge de 96 ans...
Entre 1896 et 1898, de La Vallée-Poussin apporta une preuve de ce qu'on appelle aujourd'hui le théorème des nombres premiers (Sur la fonction de Riemann et le nombre de nombres premiers inférieurs à une limite donnée, » réf.2), issu d'une conjecture de Gauss confirmée par Riemann, son élève, laquelle résistait depuis près de 100 ans :
Si π(n) désigne le nombre de nombres premiers inférieurs à l'entier naturel (notation de Legendre), il était conjecturé que :
Gauss, puis
Riemann,
estimaient que le logarithme intégral
(fonction li) était une meilleure
approximation de π(n) que x/ln
x.
Les travaux de de La Vallée-Poussin et d'Hadamard,
indépendamment et de façon similaire confirment cette estimation
(»
réf.2, réf.3) :
où k est une constante strictement positive indépendante de x, O désignant la notation de Landau.
En savoir un peu plus sur le théorème des nombres premiers : »
| Un résultat de Legendre complété par de La Vallée-Poussin : |
Une conjecture de Legendre prouvée par Dirichlet exprime que :
Si a et b sont premiers entre eux, la suite arithmétique de 1er terme a de raison b contient une infinité de nombres premiers
Par exemple : 5, 11, 17, 23, 29 est une suite finie de nombres premiers en progression arithmétique de raison 6 (nombres premiers dits sexy...).
En notant φ la fonction indicatrice d'Euler, φ(b) = Card{k, k∈N, 1 ≤ k ≤ b - 1, pgcd(k,b) = 1}. Soit alors π(x,a,b) le nombre de nombres premiers inférieurs à x de la forme a + nb, c'est à dire Card{p∈N, p premier, p ≤ x, p ≡ a [b]}.
En admettant, a priori, une distribution similaire des différentes progressions selon leur raison b, de La Vallée-Poussin prouva :
π(x,a,b) ~ π(x)/φ(b)
Le calcul d'une estimation fine de π(x,a,b) fait partie de recherches pointues dans le cadre de la théorie analytique des nombres.
➔ Pour en savoir plus :
Recherches analytiques sur la théorie des
nombres premiers, imprimé à Bruxelles (1897)
https://archive.org/details/recherchesanaly00pousgoog/page/n6/mode/2up
Charles-Jean de La Vallée-Poussin et le
théorème des nombres premiers, par Jean Mahwin (uni. cath. Louvain) :
https://www.researchgate.net/profile/Jean_Mawhin/publication/242019095_CharlesJean_de_La_Vallee_Poussin_...
Sur la fonction de Riemann et le nombre de
nombres premiers inférieurs à une limite donnée
par Ch. J. de La Vallée-Poussin (1898) :
https://archive.org/details/surlafonctionze00pousgoog/page/n14/mode/2up
ABRÉGÉ D'HISTOIRE DES MATHÉMATIQUES, 1700-1900
Les Nombres premiers
Cette édition 1997 de l'ancien Que sais-je d'Émile
Borel étudie la distribution des nombres premiers au moyen de l'analyse
réelle et complexe.
Tauber
LA VALLÉE-POUSSIN Charles Jean
Gustave de-, belge,
1866-1962