➔  Ces considérations conduisent aux définitions suivantes éliminant en quelque sorte les "faux diviseurs", à savoir les éléments inversibles (unités) et éléments associés :  

Diviseur propre, impropre, multiple, élément irréductible :     

♦  Dans un anneau unitaire A, on dira que b est un diviseur propre de a pour exprimer qu'il existe c dans A tel que a = bc où ni b ni c ne sont inversibles. c est alors aussi un diviseur de a. Bien que ce soit un abus de langage, car emprunté au vocabulaire de l'arithmétique dans N, on pourra dire que a est un multiple de b et de c.

Si a = bc avec b ou c inversibles, on parlera de diviseurs impropres. Un associé de est de la forme a' = au avec u inversible, ce qui implique a = a'u^-1 avec u^-1, inverse de u, inversible :

 les diviseurs impropres de a sont les unités et les associés de a

En particulier l'élément a lui-même et l'élément unité de l'anneau A sont des diviseurs impropres de a.

• Dans l'anneau des entiers algébriques de la forme a + b√3, (a,b)∈Z², 1 + √3 est un diviseur propre de 2. En effet, (1 + √3)(-1 + √3) = 2 et  ±1 + √3 ne sont pas inversibles dans cet anneau.    » éléments inversibles dans Z(√k)

• Dans l'anneau des entiers algébriques de la forme a + b√5, (a,b)∈Z², on a 1 + √5 = (2 + √5)(3 - √5) avec 2 + √5 inversible d'inverse -2 + √5 :  les éléments 2 + √5 (unité) et 3 - √5 (associé de 1 + √5) sont des diviseurs impropres de 1 + √5.

• Dans l'anneau des entiers de Gauss, le complexe i (i² = -1), qui est une unité (1/i) = -i, vérifie l'égalité i(1 - i) = 1 + i est un diviseur impropre de 1 + i.

♦  On qualifie d'irréductible un élément non inversible et sans diviseurs propres. Autrement dit :

p est irréductible
⇑⇓
(p est non inversible)  et  (p = xy  ⇒   x inversible ou bien y est inversible)

Ci-dessus, le ou bien insiste sur le fait que x et y inversibles ne peut avoir lieu, sinon p est inversible d'inverse y^-1x^-1, ce qui serait contradictoire.

 !  Dans l'arithmétique classique de N et Z, arithmétique euclidienne, un entier sans diviseurs propres est dit premier et vérifie le théorème de Gauss selon lequel s'il divise un produit xy  sans diviser x, alors il divise y. Dans le cas général de cette étude, cette dernière propriété n'est vérifiée que dans un anneau factoriel où tout élément est produit d'une unique façon d'éléments irréductibles

• Dans Z, tout nombre premier est irréductible.

• Dans Z(i√5), anneau des entiers algébriques de la forme a + ib√5, (a,b)∈Z², 1 + i√5 est irréductible.  » preuve

• Dans l'anneau R[x], ensemble des polynômes à coefficients réels d'une variable x, les éléments irréductibles sont les binômes du 1er degré (ax + b) et les trinômes (ax² + bx + c) ne s'annulant pas (b² - 4ac < 0).

Proposition 2 :     

Tout élément associé à un élément irréductible est également irréductible.

Preuve : soit y associé à x irréductible. On a y = xu avec u inversible. y est donc non inversible sinon u = x^-1y serait inversible d'inverse y^-1x. Si y = ab, on a ab = xu. Par suite a ou bien b est inversible sinon l'irréductible x = abu^-1 serait inversible.

Idéal et nombre premier : »        Anneau d'entiers algébriques Z(√k) : »

Idéal d'anneau :

Un des problèmes majeurs dans les anneaux est celui de la divisibilité et de la décomposition en produit de facteurs premiers. Si l'anneau Z(i) des entiers de Gauss (nombres complexes de la forme a + bi avec a et b entiers relatifs) se comporte bien comparativement aux propriétés de Z, il n'en est généralement pas de même de l'anneau Z(u) pour tout nombre algébrique u :

Considérons de nouveau l'anneau Z(i√5). Dans Z inclus, dans cet anneau, on a 6 = 2 × 3 et cette décomposition en facteurs premiers, donc irréductibles, est unique (à l'ordre près). Or, dans Z(i√5), 6 = (1 + i√5)(1 - i√5). Ainsi, dans cet anneau de nombres complexes, 6 possède au moins deux décompositions en facteurs premiers. On dit que l'anneau Z(i√5) n'est pas factoriel.

 i  Jusque relativement récemment, comme Dubreil dans ses Leçons d'algèbre moderne des années 1960 (» réf.1), plutôt que i, on écrivait √-1. Les solutions de l'équation x² + 5 = 0, à savoir ± i√5 s'écrivaient alors √-5. Cet usage incorrect du radical arithmétique (et troublant pour un élève du secondaire !) disparut dès le début des années 1970 où la rigueur était de mise avec l'enseignement des mathématiques dites "modernes". » Lichnerowicz

Un autre résultat bien connu dans Z, dû à Gauss, est ici en défaut : dans Z, si k divise a × b et si k est premier avec a, alors k divise b. En écrivant (2 + i√5)(2 - i√5) = 9 = 3², on voit que 3 divise le produit (2 + i√5)(2 - i√5). Cependant 3 est premier avec 2 + i√5 et avec 2 - i√5 !

Ces difficultés ont conduit Kummer à concevoir des nombres abstraits, qualifiés d'idéaux que Dedekind transforma en la féconde notion d'idéal d'anneau avec particulièrement celui d'idéal premier.

Définition :   

Dans un anneau commutatif (A, +, ×), un idéal J est un sous-groupe additif tel que pour tout α de A et tout x de J, le produit αx est élément de J.

On peut aussi dire de façon plus concise :

J est un sous-groupe additif de A stable pour la multiplication de A

 ➔  Pour certains mathématiciens, la commutativité de A n'est pas nécessaire pour définir un idéal : ce qui oblige alors à parler parfois d'idéal bilatère. Un idéal à gauche (resp. à droite) se limitant à la condition αx (resp. xα) est élément de J. Autrement dit

J est un sous-groupe additif de A stable pour la multiplication à gauche (resp. à droite) par A.

∗∗∗
Montrer que le noyau d'un homomorphisme h d'un anneau A dans un anneau B, à savoir Ker(h) = {α∈A, h(α) = 0} est un idéal (bilatère) de A. ☼

Remarques :   

1. Si 0 désigne l'élément nul de A, {0} et A lui-même sont des idéaux. {0} est qualifié d'idéal trivial. Tout idéal autre que {0} et A est dit propre. L'ensemble des idéaux d'un anneau A n'est donc pas vide.

2. 1_A désignant l'élément unité de A, neutre pour sa multiplication, soit J un idéal de A contenant 1_A. De tels idéaux existent puisque A est l'un d'eux et pour tout élément α de A, on a  α × 1_A = α est élément de J. Par suite J contient A, donc J = A :

L'unique idéal de A contenant 1_A est l'anneau A lui-même.

3. Supposons que l'anneau A soit un corps; tout élément non nul de A est inversible. Si J est un idéal de A contenant un élément x non nul, on peut écrire α = (αx^-1)x pour tout α de A. Par suite J contient A, donc J = A :

Un corps ne possède pas d'idéal propre. Ses seuls idéaux sont {0} et K lui-même.

Corollaire :   

Tout homomorphisme de corps est injectif.

Preuve : la preuve de ce résultat est apportée de façon élémentaire à la page consacrée aux homomorphismes de corps. Utilisons ici le résultat précédent. Soit h un homomorphisme d'un corps A dans un corps B. Son noyau est Ker(h) = {α∈A, h(α) = 0} et tout idéal d'un corps est un idéal bilatère (» exercice). Donc, ou bien Ker(h) = A, auquel cas h est l'homomorphisme trivial α→0, rejeté car tout corps étant un anneau unitaire on doit en principe exiger h(1_A) = 1_B, ou bien Ker(h) = {0}, auquel cas h(a) = h(b) implique h(a - b) = 0 , donc a - b = 0_A et a = b : h est injectif.

N.B. Si l'on n'exige pas h(1_A) = 1_B, l'énoncé reste valable à condition de préciser que h est un homomorphisme non trivial (» homomorphisme d'anneaux).

• Dans Z, l'ensemble des nombres pairs, noté 2Z, est un idéal bilatère.

• Les seuls sous-groupes de Z sont de la forme nZ, ensemble des multiples d'un entier naturel n de N. Un tel ensemble est un idéal de Z. Ce sont donc les seuls idéaux de Z.

• L'ensemble J des multiples d'un polynôme p de l'anneau R[x] des polynômes d'une variable x à coefficients réels est un idéal de R[x] :
  q∈J ssi ∃ r∈R[x] / q = pr.

• Si B est une partie d'un anneau A, l'ensemble des éléments x de A tels que xy = 0 pour tout élément de B est un idéal à gauche. En effet, soit J cet ensemble; c'est un sous-groupe additif de A car il contient 0 et la différence x - x' de deux éléments de J est manifestement un élément de J.

Intersection d'idéaux, idéal irréductible, somme et produit d'idéaux :

Dans un anneau A, l'intersection de deux idéaux est un idéal. Et toute intersection d'idéaux de A est un idéal de A. Un idéal est dit irréductible s'il ne peut s'écrire comme intersection de deux idéaux de A.

Comme pour un sous-espace vectoriel, on définit la somme S = I + J de deux idéaux I et J d'un anneau commutatif A comme étant l'ensemble des éléments z de A s'écrivant x + y où x est élément de I et y élément de J. S est un idéal de A.

∗∗∗
a) Montrer par un exemple que la réunion de deux idéaux n'est pas toujours un idéal.
b) Montrer que la somme de deux idéaux contient leur intersection. Étudier l'inclusion inverse.
c) Dans Z, quel est l'idéal défini par 18Z + 24Z, 2Z + 4Z, 2Z + 3Z ?       mot clé : pgcd...

Dans un anneau A, le produit de deux idéaux I et J est l'ensemble des sommes finies d'éléments de la forme x_iy_i où x_i est dans I et y_i dans J. On vérifie facilement que l'ensemble IJ ainsi défini est un idéal de A.

∗∗∗
Vérifier la chaîne d'inclusion : IJ  ⊂  I ∩ J  ⊂  I ∪ J  ⊂  I + J

Idéal engendré par une famille finie d'éléments, idéal principal :

 Soit A un anneau commutatif et b₁, b₂,..., b_n une famille donnée et finie d'éléments de A. Il est facile de prouver que l'ensemble des combinaisons finies du type a₁b₁+ a₂b₂+... + a_nb_n , les a_i décrivant A, est un idéal de A, appelé idéal engendré par b₁, b₂,..., b_n et généralement noté (b₁, b₂,..., b_n) si cela ne prête pas à confusion. On parle de système générateur (b₁, b₂,..., b_n).

On appelle idéal principal d'un anneau A tout idéal engendré par un unique élément u de A. On le note alors souvent uA ou simplement (u).

• Le cas le plus évident d'idéal principal est représenté par les idéaux nZ, multiples de n dans Z, seuls idéaux de Z.

• L'idéal engendré dans Z par 18 et 24, que l'on pourrait noter, dont les éléments sont de la forme 18a + 24b, (a,b)∈Z², n'est autre que 18Z + 24Z = 6Z.     »  identité de Bézout

• Un cas important est celui des idéaux de K[x] étudié ci- après.

• Dans l'anneau K[x,y] des polynômes de deux variables x et y à coefficients dans le corps K, considérons l'idéal J des polynômes engendré par x et y. Par définition, ses éléments sont de la forme x.a(x,y) + y.b(x,y). Il ne peut être engendré par un seul polynôme p de K[x,y] car x, en particulier, devrait en être un multiple !

 i   Pourquoi cette appellation principal ? selon le dictionnaire historique de la langue française, (Le Robert), il faut rappeler que le mot principal vient du latin principalis pour signifier tout d'abord originaire, primitif, puis important, fondamental. C'est cette dernière acception qu'il faut retenir dans cette idée de génération par un seul élément s'avérant... fondamental.

Proposition 3 :   

Soit a et b deux éléments de A et (a) et (b) les idéaux principaux qu'ils engendrent. alors :

• a divise b ⇔ (b)⊂(a);

• a et b sont associés ⇔ (b) = (a)  

Idéal de type fini, Anneau noethérien :

Tout idéal J de A pouvant être engendré par une famille finie est dit de type fini. Il est alors somme d'idéaux principaux. Un anneau dont les idéaux sont de type fini est qualifié de noethérien en hommage à Emmy Noether dont les travaux sur les structures algébriques ont marqué, par leur rigueur et leur modernité, les deux premières décennies du 20è siècle.

Proposition 4 :   

Un anneau A est noethérien  ssi  toute suite emboîtée croissante d'idéaux de A est finie.

Par suite emboîtée croissante d'idéaux, on entend une suite (J_n) d'idéaux telle que J_n⊂J_n+1. On parle aussi de chaîne ascendante. Dire que la suite est finie signifie qu'elle est stationnaire à partir d'un certain rang. On dit aussi d'une telle suite qu'elle vérifie la condition de chaîne ascendante. La preuve de ce résultat repose sur le lemme suivant :

Lemme :   

(J_n) désignant une chaîne ascendante d'idéaux de A, la réunion U  des J_n est un idéal de A

Preuves : »

Radical d'un idéal dans un anneau commutatif :

Soit (A,+, ×) un anneau commutatif unitaire et J un idéal de A. On appelle radical de J et on note √J, l'ensemble des éléments a de A pour lesquels il existe un entier naturel n tel que aⁿ = a × a × a ×... × a (n facteurs égaux à a) soit élément de J :

√J = {a∈A / ∃ n∈N : aⁿ∈J}

Les aⁿ sont les itérés de a pour la multiplication de A. Conformément à la convention usuelle des itérés, on a a^o = 1_A et a¹ = a.

√J est un idéal de A contenant J

preuve : le cas n = 1 montre que √J contient J; √J est stable pour la multiplication de A car si a∈A et x∈√J, ax∈A et il existe n de N tel que xⁿ soit élément de J. Or (ax)ⁿ = aⁿxⁿ puisque l'anneau A est commutatif et comme J est stable pour la multiplication de A, c'est un élément de l'idéal J, donc ax est un élément de √J. Reste à montrer que √J est un sous-groupe de A. Il suffit pour cela d'établir que si a et b sont dans √J avec aⁿ∈J et b^m∈J, il en est de même de a - b : n'ayant pas d'informations sur n et m, par raison de symétrie, calculons (a - b^)n+m. La formule du binôme fournit (a - b^)n+m = ΣC^k_n+ma^kb^n+m-k, la somme s'étendant de k = 0 à n + m. Une condition suffisante (non nécessaire) permettant d'affirmer que a - b est élément de √J est que chaque terme de la somme soit dans J.

• Si k ≥  n, k = n + p, donc C^k_n+ma^kb^n+m-k = C^k_n+ma^pb^n+m-k × aⁿ∈J.

• Sinon k < n, donc -k > -n  et n + m - k > m, n + m - k = m + q et C^k_n+ma^kb^n+m-k =  C^k_n+ma^kb^q × b^m∈J. 

Idéaux de l'anneau K[x] des polynômes à une indéterminée x sur un corps commutatif K :

K désignant un corps commutatif, si p est un polynôme de K[x], il est bien évident que J_p en est un idéal. Inversement, soit J est un idéal de K[x]. Si J est réduit au polynôme nul, le cas est réglé. Sinon, il possède un polynôme non nul p et, en tant qu'idéal, il contient tous les polynômes de la forme pq, q∈K[x]. La question est de savoir si J contient des polynômes non multiples de p.

Soit m ≥ 1 le plus petit degré (polynôme nul exclu) d'un polynôme p de J. Par division euclidienne par p, tout polynôme A de J peut s'écrire A  = pQ + R avec d°R < d°p. J étant un idéal de K[x], R = A - pQ est un élément de J avec un degré moindre que p, ce qui n'est possible que si R = 0 (polynôme nul).

Par suite, tout élément de J est de la forme A = pQ, multiple de p et on voit ainsi que le polynôme de plus bas degré dans J est unique à un coefficient multiplicatif près : on peut donc le choisir unitaire (le coefficient du terme de plus haut degré égal à 1). L'idéal J_p est engendré par p : J_p = (p). Tout idéal de K[x] est donc principal et on peut énoncer :

Proposition 5 :       

les idéaux de l'anneau K[x] des polynômes à une indéterminée x sur un corps commutatif K sont de la forme J_p , ensembles des multiples d'un polynôme p de K[x], avec p unitaire de degré minimal.

Polynôme minimal d'un nombre algébrique : »          Critère d'Eisenstein : »

 !  Un ensemble infini ne possède pas toujours un plus petit élément. Dans la démonstration ci-dessus, l'ensemble des degrés m est dénombrable et minoré par 0 : un tel ensemble admet alors un plus petit élément au moins égal à 1.  » Bolzano

Le résultat précédent se généralise à un polynôme de plusieurs variables :

Théorème de Hilbert  (preuve en réf.8)  :     

Tout idéal de K[x₁, x₂, ..., x_n] est noethérien (autrement dit de type fini : il possède une famille finie de générateurs)

Théorème des zéros de Hilbert (Nullstellensatz) :   

J désignant un idéal propre de K[x₁, x₂, ..., x_n] et L une clôture algébrique de K, il existe au moins un élément
α de Lⁿ tel que pour tout polynôme p de J, p(α) = 0.

Ce difficile théorème s'interprète aujourd'hui dans le cadre de la géométrie algébrique au moyen du lemme de Zariski. Sur ce sujet pointu, on pourra consulter les références 4, 5a et 5b données en liens sur la page consacrée à ce mathématicien.

Anneau principal :

On qualifie d'anneau principal un anneau commutatif intègre où tout idéal est principal.

• Z, c'est bien évident...

• K[x], on vient de le voir, est principal.

∗∗∗  Un contre-exemple
Soit A = Z[x] l'anneau des polynômes p à coefficients entiers (relatifs) et J ⊂ A pour lesquels p(0) = 3k, multiple de 3.
a) Vérifier que J est un idéal de A.   b) On suppose qu'il existe un polynôme b de J tel que ∀p∈J, p = bq, q∈A.
Montrer que cette hypothèse conduit à une contradiction, en déduire que A n'est pas un anneau principal.
Ce contre-exemple montre que J n'est pas pas un idéal principal du fait que Z n'est pas un corps (condition nécessaire). 

Proposition 6 :   

Tout anneau principal est noethérien.

Proposition 7 :    

Tout élément non nul et non inversible d'un anneau principal peut s'écrire d'au moins une façon comme produit fini p₁p₂...p_k d'éléments irréductibles (k = 1 correspondant à un élément irréductible).

Preuves : »              Anneau factoriel (factorisation unique) : » 

Anneau quotient, idéal premier :

Si J est un idéal de A, la relation R définie dans A : a R b  ssi  a -  b ∈J, est une relation d'équivalence compatible avec les opérations de A. On dira que a et b sont congrus modulo J et, plutôt que R, on utilise la notation usuelle ≡ des congruences arithmétiques :

• Si a, b et p désignent des entiers relatifs on écrit a ≡ b  [p] pour signifier que a - b est un multiple de p. Par exemple : 7 ≡ 19  [3] ,   -7 ≡ 2  [3].

Congruences et arithmétique de Gauss : »

Muni des lois induites, l'ensemble quotient A/J, image homomorphe de A par l'homomorphisme canonique a→ a, classe de a, est un anneau (anneau quotient) commutatif et unitaire (tout comme A). La somme (resp. le produit) de deux classes est la classe de la somme (resp. du produit).

Loi quotient, groupe quotient, anneau quotient : »          Homomorphismes de structures : »

Idéal premier :      

On dit que l'idéal J est premier si l'anneau A/J est intègre (sans diviseurs de zéro)    (p1)

En notant en surlignés les éléments de A/J (classes d'équivalence), cela signifie que si le produit a.b est nul dans A/J, alors a = 0 ou b = 0. Or 0, la classe de 0, est l'ensemble des a de A tels que a - 0 = a∈J, c'est donc J. On peut donc énoncer :

 Un idéal J de A est premier si pour tous x et y de A vérifiant xy∈J, on a : x∈J ou y∈J    (p2)

 i  Pourquoi cette appellation premier ? pour se rattacher à celle de nombre premier sur laquelle est calquée l'arithmétique dans les anneaux abstraits. En tant que sous-groupe additif de Z, un idéal de Z est de la forme nZ. L'anneau quotient Z/nZ est intègre (et est un corps) si et seulement si n est un entier premier.

• Dans J = 3Z, idéal de Z, un élément produit se décompose nécessairement comme produit d'un entier par un élément (voire deux) de J. Par exemple 12 = 1 × 12 = 2 × 6 = 3 × 4. Et cela car 3 est un entier premier : indécomposable. Dans l'anneau 6Z, cette propriété est détruite : 12 = 2 × 6 , mais 12 = 3 × 4 du fait que 6 est décomposable en 2 × 3 et ni 2, ni 3 ne sont dans 6Z :

• {0} est un idéal premier de Z, cas trivial... Les autres sont de la forme pZ où p est un nombre premier.

• Dans Q(i), corps algébrique des nombres complexes de la forme a + bi, avec a et b rationnels, l'anneau Z(i) des entiers de Gauss est un idéal. 2 + i ∈Z(i) mais 2 + i = (1/2 + i/4)(12/5 + 4i/5) : c'est le produit de deux éléments n'appartenant pas à Z(i) :cet anneau n'est pas premier.

∗∗∗
Vérifier en résolvant le système {aa' - bb'∈Z , ab' + a'b∈Z}, que si a et b sont dans Q - Z, alors (a + ib)(a' + ib') est élément de Z(i)
si a' et b' sont respectivement de la forme (ap + bn)/(a² + b²) et (an - bp)/(a² + b²), n et p entiers.

Idéal maximal :

Un idéal J d'un anneau commutatif A est dit maximal si tout idéal le contenant n'est autre que A lui-même : J est le plus grand idéal de A au sens de l'inclusion.

∗∗∗
Dans Z, les idéaux sont de la forme nZ. L'idéal 6Z n'est pas maximal car il est inclus dans 2Z.
Montrer que les idéaux maximaux sont de la forme nZ avec n entier naturel premier.

Théorèmes 1-2-3 :      

1. Tout idéal maximal est premier.

2. L'anneau A étant supposé unitaire, l'anneau quotient A/J est un corps ssi J est maximal.
    » En particulier, compte tenu l'exercice ci-dessus, Z/nZ est un corps ssi n est premier dans N

Anneau des classes résiduelles modulo n : »

3.  Dans un anneau principal intègre, tout idéal premier est maximal. 

Éléments étrangers (ou premiers entre eux), pgcd, identité de Bézout :

Comme en arithmétique élémentaire, dans un anneau intègre on qualifie d'étrangers ou de premiers entre eux deux éléments x et y sans diviseurs communs autres que les unités de l'anneau. autrement dit, leurs seuls diviseurs communs sont les éléments inversibles. On dit aussi que x est premier avec y bien que cela détruise l'aspect réciproque de la définition.

Théorème 4 :      

Dans un anneau principal intègre A, tout couple (a,b) possède un « plus grand diviseur commun » d défini par (a) + (b) = (d) : idéal maximal contenant (a) et (b).

Il existe donc u et v dans A, tels que d = au + bv. Si d est inversible, alors (d) = A : a et b sont étrangers.

Identité de Bézout de l'arithmétique dans Z : »

Anneau factoriel, factorisation unique :

On nomme ainsi un anneau commutatif intègre et unitaire A dans lequel tout élément non inversible s'écrit de façon unique sous la forme p₁p₂...p_k où les p_i, i = 1, ..., k sont irréductibles dans A. Le cas k = 1 correspond à un élément irréductible. Un tel anneau est encore appelé anneau à factorisation unique.

• Cette unicité est à l'ordre près puisque A est supposé commutatif mais aussi à des unités près. Dans Z, par exemple, anneau factoriel dont les seules unités sont 1 et - 1, on peut écrire 6 = 2 × 3 = (-2) × (-3) = 3 × 2 = (63) × (-2) = 1 × 2 × 3.

En hommage à Gauss qui revisita l'arithmétique d'Euclide, un tel anneau est aussi qualifié d'anneau de Gauss.

Théorème 5-6-7 :    

5. A est factoriel   ssi  tout élément z irréductible divisant xy divise x ou y.
    » résultat souvent appelé lemme de Gauss ou condition de Gauss en corrélation avec le théorème de Gauss

6. Tout anneau principal intègre est factoriel.

7. Dans un anneau factoriel, si z divisant xy est premier avec x, alors z divise y.

• Les anneaux Z, Z(i), K[x], K[x,y], ..., tout A[x] où A est un anneau factoriel, sont factoriels.

• Dans Z(i√5), on peut s'écrire : 2 × 3 = (1 + i√5)(1 - i√5). En utilisant les propriétés de la norme d'un entier algébrique, montrer que 2, 3, 1 + i√5 et 1 - i√5 sont irréductibles dans Z(i√5). Conclure. Rép. : clic...
  » il s'agit là de l'anneau exhibé par Dedekind dans la mise en place de sa théorie des idéaux.


Autre exemple 9 = 3 × 3 = (2 + i√5)(2 - i√5) avec  2 + i√5 et 2 - i√5.

»  Gauss           Entiers d'un corps de nombres algébriques : »

Anneau euclidien (en hommage à Euclide, père de l'arithmétique dans N) :

Il s'agit d'un anneau commutatif intègre A (domaine d'intégrité) dont on note ici 0_A l'élément nul (élément neutre de l'addition, dans lequel il existe une division euclidienne comme dans N, Z ou K[x]. Dans l'anneau A, le concept de diviseur est clair : b divise a signifie il existe q∈A tel que a = bq mais celui de "division" est plus subtil.

1. Dans Z, si b est non nul, tout a de Z peut s'écrire a = bq + r, 0 ≤  r < | b |, q est le quotient et un reste r non nul caractérise la non divisibilité de a par b.

2. De façon similaire, dans R[x], anneau des polynômes d'une variable x à coefficients réels, si b n'est pas le polynôme nul, tout polynôme a de R[x] vérifie a(x) = b(x)q(x) + r(x) avec 0 ≤ d°r < d°b, le polynôme q est le quotient et un reste r non nul caractérise la non divisibilité de a par b (d°r = 0 indique un reste constant : comme par exemple dans la division de x² + 2x - 1 par x - 1,  x² + 2x - 1 = (x - 1)(x + 3) + 2, le quotient est x + 3, le reste est 2.

3. L'anneau des entiers de Dirichlet est euclidien.

4. L'anneau des quaternions d'Hurwitz est un anneau euclidien.

Plus généralement et abstraitement, l'anneau A est dit euclidien, s'il existe une application f de A dans N compatible avec l'ordre de N telle que :

i/  f(a) = 0 si et seulement si a = 0_A, élément nul de A et si b divise a, alors f(b) ≤ f(a);
ii/  Pour tout (a,b) de A², il existe q et r tels que a = bq + r et f(r) < f(b).

• Les cas 1. et 2. ci-dessus correspondent respectivement à f(n) = | n | et f(p) = d°p.

• Dans ii/, si b divise a, a = bq avec r = 0, donc f(r) = 0

∗∗∗
Lorsque K est un corps commutatif, montrer que K[x] est un anneau euclidien en posant f(P) = d^o P.

Proposition 8 :    

Nous avons supposé en introduction de cette page que les anneaux qui en font l'objet sont unitaires. Voici un résultat intéressant :

Un anneau euclidien est nécessairement unitaire

Preuve : Lorsque x décrit l'anneau euclidien A privé de 0_A, l'ensemble des f(x), sous-ensemble de N, admet un minimum non nul m. Soit alors α∈A, tel que f(α) = m, α est non nul.  Avec les notations ci-dessus, en appliquant la division euclidienne à a = b = α il existe q et r tels que α = αq + r avec f(r) < f(α). Donc r = 0 puisque f(α) est minimal. On a donc alors α = αq et pour tout x de A, αx = αqx, ce qui peut s'écrire α(x - qx) = 0. A étant intègre et α non nul, x = qx : l'élément q est neutre à gauche mais A est commutatif, donc q est l'élément unité de A.

Théorème 8 :    

Tout anneau euclidien est principal, donc factoriel  

Éléments premiers et idéal d'anneau :

Dans un anneau commutatif unitaire A, un élément p est dit premier si l'idéal (p) engendré par p, est premier. Les assertions énoncées ci-dessous sont équivalentes :

Proposition 9 :    

i/    L'anneau quotient A/(p) est intègre

ii/   Pour tous x et y de A,  x.y ∈(p) ⇒ x∈(p) ou y∈(p).

iii/  Pour tous x et y de A tels que xy soit multiple de p, alors x ou y est multiple de p.

ce qui revient à dire :

4i/   Pour tous x et y de A, si p divise xy, alors p divise x ou p divise y.
       » propriété souvent appelée lemme d'Euclide ou condition d'Euclide.

• Dans Z, les éléments premiers p sont les nombre premiers et c'est heureux... : la définition abstraite coïncide avec la définition euclidienne. En effet, si p est un entier premier (au sens usuel) et xy∈pZ (multiples de p), alors xy = kp, k entier. Selon le théorème de Gauss, p étant premier, il divise x ou il divise y, donc x∈pZ ou y∈pZ : (p) est premier.

• Dans l'anneau Q(i√2), 3 = (1 + i√2)(1 - i√2) = 3 × 1 et on peut vérifier qu'il s'agit des seules factorisations de 3. Les diviseurs de 3 sont alors 1, 3, 3/(1 + i√2) = 1/3 - i√2/3, 3/(1 - i√2) = 1/3 + i√2/3, tous inversibles : 3 n'est pas premier dans Q(i√2).  » extension quadratique

• Dans l'anneau Z(i√2), 3 = (1 + i√2)(1 - i√2). 1 + i√2 et 1 - i√2 ne sont pas inversibles dans cet anneau : 3 est premier dans Z(i√2).

• Dans le cas de G = Z(i) des entiers de Gauss, u = 1 + 2i est premier. En effet, si zz'∈uG, alors zz' = z"u, z"∈G. Donc zz'u = 5z". 5 est un entier premier qui ne divise pas u = 1 - 2i. C'est donc un diviseur de z ou de z'. Supposons qu'il divise z, alors z = 5z''', z'''∈G, soit z = uuz'''∈uG.

• Par contre, v = 3 + 4i n'est pas premier. En effet, un raisonnement semblable fait apparaître l'égalité zz'v = 25z" = 5 × 5z". Le fait que 25 ne soit pas premier permet, en "intégrant" 5 dans z et 5 dans z', d'exhiber ce contre-exemple : z = 5(1 + i), z' = 5(1 - i). On constate que : zz' = 50 = (6 - 8i)(3 + 4i)∈vG mais ni z, ni z' ne sont éléments de vG.

Corps d'entiers algébriques  : »         Entiers d'Eisenstein : »         Théorème des unités de Dirichlet : »

Éléments premiers et éléments irréductibles :

Dans l'anneau Z des entiers relatifs, les éléments irréductibles et les éléments premiers coïncident. Cela est dû au fait que Z est un anneau intègre et factoriel. N'admettre aucun diviseur autre que lui-même et les unités de l'anneau, c'est à dire être irréductible, ne suffit pas pour être premier dans ce contexte général.

On le voit dans cet exercice où 2, irréductible dans Z(i√5) divise 6 = (1 + i√5)(1 - i√5) mais ne divise ni 1 + i√5 ni 1 - i√5 donc n'est pas premier dans cet anneau ! Conséquence du fait que Z(i√5) n'est pas factoriel.

Proposition 10 :    

Dans un anneau intègre A tout élément premier p est irréductible : p ne possède aucun diviseur propre

 !  La réciproque de ce résultat est fausse : considérer par exemple le sous-anneau A de R[x,y] constitués des polynômes homogènes de degré pair (un élément de A est une somme de monômes en x et y dont la somme des degrés est paire). A est unitaire car il contient e : (x,y) →1= x^o. Considérons f : (x,y) → x², g : (x,y) → y² et h : (x,y) → xy. Le polynôme h est irréductible car il n'est pas inversible (e est le seul élément inversible) et ses seuls diviseurs dans R[x,y] sont x, y et lui-même (diviseur impropre). Mais (x,y) →x et (x,y) →y ne sont pas éléments de A. Or h divise fg mais h ne divise ni f, ni g : h n'est pas premier. On a cependant le résultat suivant :

Proposition 11 :    

Dans un anneau factoriel, tout élément irréductible est premier

Preuves de ces propositions : »

Les propositions 10 et 11 sont rassurantes : elles nous confirment la compatibilité de la divisibilité dans les anneaux abstraits avec l'arithmétique élémentaire dans N et Z : l'anneau Z apparaît ainsi comme un cas d'anneau commutatif, unitaire, intègre et factoriel. De même pour K(x).

---

---

 ➔   Pour tout savoir (ou presque) :

1. Leçons d'Algèbre Moderne, par Paul Dubreil et Marie-Louise Dubreil-Jacotin - Éd. Dunod, Paris -1961
2. Éléments de mathématiques, Nicolas Bourbaki , Algèbre, ch. I - Éd. Hermann
3. Traité de mathématiques spéciales, Algèbre, Tome1, E. Ramis, C. Deschamps, J. Odoux, Masson & Cie.
4. Toute l'algèbre de la licence : Cours et exercices corrigés, par Jean-Pierre Escofier, Éd. Dunod, Paris - 2006
5. Cours d'algèbre première année, sur Exo7.emath.fr : http://exo7.emath.fr/cours/livre-algebre-1.pdf
6. Préparation à l'agrégation interne : http://squarcini.christian.perso.sfr.fr/AgregInterne/Anneauxcorps/AN.pdf
7. La théorie des idéaux de Dedekind (1871), traduction anglaise de Jeremy Avigad, 2004 :
   http://www.andrew.cmu.edu/user/avigad/Papers/ideals71.pdf
8. Divisions et idéaux dans l'anneau des polynômes à plusieurs variables (Ariane Mézard, univ. UPMC) :
   https://webusers.imj-prg.fr/~ariane.mezard/Grobner.pdf
9. Anneaux de Dedekind et théorie des valuations (dans le cadre de la théorie des nombres), par Jean-François Dat (UPMC) :
   http://webusers.imj-prg.fr/~jean-francois.dat/enseignement/TNM2/TNM2.pdf
10. Éléments d'algèbre commutative, par Fokko du Cloux, (univ. Lyon 1) :
    http://math.univ-lyon1.fr/~ducloux/enseignement/maitrise/algebre/chap5.pdf
    

---

© Serge Mehl - www.chronomath.com