ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Divisibilité dans un anneau, anneau principal, anneau factoriel
    généralités : anneau , idéal

Dans l'étude des propriétés des nombres algébriques et de leur structure algébrique, les problèmes de factorisation, tout comme en arithmétique, jouent un rôle très important. Et en tant que solutions d'équations polynomiales, ces nombres conduisent à la factorisation des polynômes.  Dans un ensemble de nombres, parler de factoriser, c'est écrire l'un comme multiple d'un autre, cet autre pouvant jouir, dans l'ensemble, de propriétés privilégiées, comme en arithmétique la propriété d'être premier.

Afin d'étudier les nombres algébriques, Dedekind a développé le concept d'idéal d'un anneau commutatif (A, +, x) : sous-groupe additif d'un anneau, A stable pour le produit par un élément de A. Le plus simple exemple d'idéal est celui défini dans l'anneau (Z, +, x) par l'ensemble nZ des multiples d'un entier naturel donné. Ce sont d'ailleurs les seuls de Z puisque tout sous-groupe de Z est de la forme nZ.


a) Vérifier que Q[i], sous-ensemble de Z[i] où a et b sont rationnels est un idéal de Z[i].
b) Montrer que l'ensemble J des multiples d'un polynôme p de R[x] est un idéal de R[x] : qJ ssi rR[x] / q = pr.

Dans toute la suite, A est supposé commutatif (la seconde loi, "multiplication", notée multiplicativement, est commutative : xy = yx) et unitaire (il possède un élément unité, neutre pour la seconde loi : ex = xe = x). Dans les exemples donnés, AZ ou AC, e = 1.


Entiers de Gauss
Vérifier que Z[i], ensemble des éléments de la forme a + bi, a et b entiers relatifs, appelés entiers de Gauss,
est un anneau commutatif unitaire.

Multiples & diviseurs :

Dans l'anneau A, on dira que a est multiple de b ou que b est un diviseur de a pour exprimer qu'il existe un élément q de A tel que a = bq (comme pour le produit de deux nombres, on omet le signe x , afin de simplifier).

La relation notée , définie par a b  ssi  a est multiple de b est une relation d'équivalence dans A.  

Gauss et la notion de congruence :

Anneau et élément inversible :

Dans l'anneau unitaire A, d'élément unité e, un élément admettant un symétrique pour la "multiplication" (seconde loi de A) est dit inversible (si tout élément en admet un, A est un corps).

Voici un théorème évident et pourtant très important pour une étude correcte de la divisibilité dans un anneau où il s'agira de distinguer entre diviseurs propres et impropres... :

Théorème :      

Tout élément d'un anneau A est multiple d'une seule façon de tout élément inversible de A

On peut aussi exprimer de façon équivalente que :

Tout élément inversible d'un anneau A est un diviseur de tout élément de A

En effet, si aA et b inversible dans A, l'équation d'inconnue x, a = bx possède l'unique solution x = b-1a.


Prouver que les éléments inversibles d'un anneau forment un groupe. Préciser ce groupe dans le cas A = Z. Rép : {-1,1}.
Préciser ce groupe dans le cas des entiers de Gauss. Rép : {-1,1,i,-i}   groupe cyclique

Dans l'anneau A, un élément inversible est parfois appelé une unité. C'est un peu ennuyeux vu la confusion avec l'élément unité. Mais cela se comprend au vu des résultats obtenus dans l'exercice ci-dessus.


Soit a A. On dit qu'un élément b de A est associé à l'élément a pour exprimer que b = ab' avec b' inversible dans A (élément unité de A). Montrer que l'on définit ainsi une relation d'équivalence.

On voit donc que si x est associé à y, alors x est un diviseur de y et y est un diviseur de x ! Voici un exemple "concret" :


Vérifier les tables de multiplication (ci-contre) dans Z/5Z et Z/6Z.
Vérifier que dans Z/6Z, 2 est multiple de 4 et 4 est multiple de 2 !
Étudier l'existence d'une telle propriété dans le cas général.
On pourra distinguer A intègre (sans diviseurs de zéro) ou non.
Vérifier votre conclusion avec Z/5Z.

Ces considérations conduisent aux définitions suivantes éliminant en quelque sorte les "faux diviseurs" : éléments inversibles (unités) et éléments associés :

Diviseurs propres, éléments irréductibles :

Dans un anneau unitaire A, on dira que b est un diviseur propre de a pour exprimer que a = bq où ni b ni q ne sont inversibles. Si a = bq avec b ou q inversibles, on parlera de diviseurs impropres.

  • Dans l'exemple précédent,  i est un diviseur impropre de -1 + i.

Tout associé de a est impropre (si b = ab' avec b' inversible, on aurait a = bb'-1), en particulier a lui-même et l'élément unité.

Dans un anneau, on dit d'un élément non inversible et sans diviseurs propres qu'il est irréductible.

  • Dans R[x] les éléments irréductibles sont les binômes du 1er degré (ax + b) et les trinômes (ax2 + bx + c) ne s'annulant pas (b2 - 4ac < 0).

Idéal premier :

On sait que si J est un idéal de A, la relation R définie dans A : aRb  ssi  a -  b J, est une relation d'équivalence compatible avec les opérations de A. L'ensemble quotient, noté A/J est un anneau (anneau quotient).

On dira que l'idéal J est premier si l'anneau A/J est intègre (sans diviseurs de zéro) : en notant en surlignés les éléments de A/J (classes d'équivalence), cela signifie que si le produit a.b est nul dans A/J, alors a = 0 ou b = 0. Or 0, la classe de 0, est l'ensemble des a de A tels que a - 0J, c'est donc J. On peut donc énoncer :

 Un idéal est dit premier si pour toute paire {x,y} d'éléments de A vérifiant x.yJ, on a : xJ ou yJ.

Pourquoi cette appellation premier ? pour se rattacher à celle de nombre premier sur laquelle est calquée l'arithmétique dans les anneaux abstraits. En tant que sous-groupe additif de Z, un idéal de Z est de la forme nZ. L'anneau Z/nZ est intègre (et est un corps) si et seulement si n est un entier premier.

Dans un tel anneau comme J = 3Z, un élément produit se décompose nécessairement comme produit d'un entier par un élément (voire deux) de J. Par exemple 12 = 112 = 26 = 34. Et cela car 3 est un entier premier : indécomposable. Dans l'anneau 6Z, cette propriété est détruite : 12 = 26 , mais 12 = 34 du fait que 6 est décomposable en 23 et ni 2, ni 3 ne sont dans 6Z.

  • Soit Q[i] les nombres complexes de la forme a + bi, avec a et b rationnels n'est pas premier. L'anneau Z[i] des entiers de Gauss est inclus dans Q[i]. C'est un idéal de Q[i]. Or 2 + i = (1/2 + i/4)(12/5 + 4i/5) :  2 + i Z[i] : c'est le produit de deux éléments n'appartenant pas à Z[i] : Q[i] n'est pas premier.


Plus généralement, on pourra prouver en résolvant le système {aa' - bb'Z , ab' + a'bZ}, que si a et b sont dans Q - Z, (a + ib)(a' + ib') est dans Z[i]
si a' = (ap + bn)/(a2 + b2) et b' = (an - bp)/(a2 + b2), n et p entiers.

Théorème :       

les idéaux de K[x] sont de la forme Jp, ensembles des multiples d'un polynôme p de K[x].

Il est bien évident que Jp est un idéal de K[x]. Inversement, soit J est un idéal de K[x]. Si J est réduit au polynôme nul, le cas est réglé. Sinon, il possède un polynôme non nul p et, en tant qu'idéal, il contient tous les polynômes de la forme pq, qK[x]. La question est de savoir si J contient des polynômes non multiples de p. Soit m 1 le plus petit degré des polynômes contenus dans (polynôme nul exclu), degré d'un polynôme p de J.

Un ensemble infini ne possède pas toujours un plus petit élément. Dans notre cas, il s'agit d'un ensemble minoré par 0, de surcroit dénombrable puisqu'inclus dans N et un tel ensemble admet alors un plus petit élément au moins égal à 1. Bolzano

Par division euclidienne par p, tout polynôme A de J peut s'écrire A  = pQ + R avec d°R < d°p. J étant un idéal de K[x], R = A - pQ est un élément de J avec un degré moindre que p, ce qui ne se peut à moins qu'en fait R ne soit nul. Par suite, tout élément de J est de la forme A = pQ, multiple de p et on voit ainsi que le polynôme de plus bas degré dans J est unique à un coefficient multiplicatif près. On dira que l'idéal Jp est engendré par p. On le note souvent simplement (p).

Idéal principal , idéal engendré par une famille finie d'éléments :


Soit A un anneau commutatif et b1, b2,..., bn une famille finie d'éléments de A. Montrer que l'ensemble des combinaisons finies du type a1b1+ a2b2+... + anbn est un idéal de A, appelé idéal engendré par b1, b2,..., bn.

 On appelle idéal principal d'un anneau A tout idéal engendré par un unique élément u de A. On le note alors souvent uA ou simplement (u). Le théorème ci-dessus montre que tout idéal de K[x] est principal.

Pourquoi cette appellation principal ? selon le dictionnaire historique de la langue française, (Le Robert), il faut rappeler que le mot principal vient du latin principalis pour signifier tout d'abord originaire, primitif, puis important, fondamental. C'est ce qu'il faut retenir dans cette idée de génération par un seul élément s'avérant fondamental...

Anneau principal :

On appelle ainsi un anneau commutatif où tout idéal est principal, comme nZ et K[x].


Soit A = Z[x] l'anneau des polynômes à coefficients entiers (relatifs) et J l'ensemble des polynômes de A
tels que P(0) = 3k, multiple de 3.
a) Vérifier que J est un idéal de A. b) On suppose qu'il existe un polynôme b de J tel que pJ, p = bq, qA.
Montrer que cette hypothèse conduit à une contradiction, en déduire que A n'est pas un anneau principal.
Ce contre-exemple montre que J n'est pas pas un idéal principal du fait que Z n'est pas un corps (condition nécessaire).

Idéal maximal :

Un idéal J d'un anneau commutatif A est dit maximal si tout idéal le contenant n'est autre que A lui-même : J est le plus grand idéal de A au sens de l'inclusion.


Dans Z, les idéaux sont de la forme nZ. L'idéal 6Z n'est pas maximal car il est inclus dans 2Z.
Montrer que les idéaux maximaux sont de la forme nZ avec n entier naturel premier.

Théorèmes :         

1. Si A est unitaire et A/J est un corps, alors J est maximal : la condition J maximal est nécessaire pour que A/J soit un corps.

L'exercice ci-dessus montrer que Z/nZ est un corps ssi n est premier dans N.     anneau des classes résiduelles modulo n.

2. Tout idéal maximal est premier.

3. Dans un anneau principal intègre, tout idéal premier est maximal.

Éléments premiers :

Dans un anneau unitaire A, un élément non inversible p est dit premier si (p), idéal engendré par p, est premier, c'est à dire si A/(p) est intègre ou encore, si pour tous x et y de A,  x.y (p) x(p) ou y(p). Ce qui revient à écrire ici puisque (p) = pA :

p est premier pour tous x et y de A tels que xy soit multiple de p, alors x ou y est multiple de p

ou encore :

Pour tous x et y de A, si p divise xy, alors p divise x ou p divise y     
c'est le théorème de Gauss de l'arithmétique élémentaire

Si p n'est pas premier, alors p = ab, a et b non inversibles.

  • Dans Z, les éléments premiers p sont les nombre premiers et c'est heureux ! : la définition abstraite coïncide avec la définition euclidienne.
    En effet, si p est un entier premier (au sens usuel) et xypZ, alors xy = kp, k entier. Selon le théorème de Gauss, p étant premier, il divise x ou il divise y, donc xpZ ou ypZ, donc (p) est premier.

  • Dans l'anneau Q[i2], 3 = (1 + i2)(1 - i2) = 31 et on peut vérifier qu'il s'agit des seules factorisations de 3. Les diviseurs de 3 sont alors 1, 3, 3/(1 + i2) = 1/3 - i2/3, 3/(1 - i2) = 1/3 + i2/3, tous inversibles : 3 n'est pas premier dans Q[i2].

  • Dans l'anneau Z[i2], 3 = (1 + i2)(1 - i2). 1 + i2 et 1 - i2 ne sont pas inversibles dans cet anneau : 3 est premier dans Z[i2].

  • Dans le cas de G = Z[i] des entiers de Gauss, u = 1 + 2i est premier.
    En effet, si zz'uG, alors zz' = z"u, z"G. Donc zz'u = 5z". 5 est un entier premier qui ne divise pas u = 1 - 2i. C'est donc un diviseur de z ou de z'. Supposons qu'il divise z, alors z = 5z''', z'''G, soit z = uuz'''uG.

  • Dans le cas de Z[i] des entiers de Gauss, v = 3 + 4i n'est pas premier.
    En effet, un raisonnement semblable fait apparaître l'égalité zz'v = 25z" = 55z". Le fait que 25 ne soit pas premier permet, en "intégrant" 5 dans z et 5 dans z', d'exhiber ce contre-exemple : z = 5(1 + i), z' = 5(1 - i). On constate que : zz' = 50 = (6 - 8i)(3 + 4i)vG mais ni z, ni z' ne sont éléments de vG.

On peut maintenant énoncer un résultat peu surprenant :

Théorème :       

Dans un anneau intègre A tout élément premier p est irréductible :
il ne possède aucun diviseur propre

Supposons p premier dans A (d'élément unité e) et x diviseur propre de p. On a alors p = xy, x non inversible, yA. xy est donc multiple de p, donc x(p) ou y(p). Si y(p), alors y = zp, donc p = xzp, ce qui implique p(e - xz) = 0; A étant intègre, xz = e, donc x est inversible d'inverse z. Ce qui est contradictoire puisque x est un diviseur propre. Si x(p), on a x = zp, on obtient cette fois yz = e, donc y inversible d'inverse z, d'où x = zp avec z inversible : diviseur impropre, ce qui est encore contradictoire.

La réciproque de ce résultat est fausse : considérer par exemple le sous-anneau A de R[x,y] constitués des polynômes homogènes de degré pair (un élément de A est une somme de monômes en x et y dont la somme des degrés est paire). A est unitaire car il contient e : (x,y)1= xo. Considérons f : (x,y)x2, g : (x,y)y2 et h : (x,y) xy. Le polynôme h est irréductible car il n'est pas inversible (e est le seul élément inversible) et ses seuls diviseurs dans R[x,y] sont x, y et lui-même (diviseur impropre). Mais (x,y)x et (x,y)y ne sont pas éléments de A. Or h divise fg mais h ne divise ni f, ni g : h n'est pas premier.

Anneau factoriel :

On nomme ainsi un anneau intègre dans lequel tout élément non inversible s'écrit de façon unique sous la forme p1p2...pk (k 1) où les pi sont irréductibles. Un tel anneau est encore appelé anneau à factorisation unique.

  • Z, Z[i], K[x], K[x,y], ..., tout A[x] où A est un anneau factoriel, sont factoriels.

  • Dans l'anneau Z[i5], 9 = 33 = (2 + i5)(2 - i5). 2 + i5 et 2 - i5 sont irréductibles; cet anneau n'est pas factoriel. il s'agit là de l'anneau exhibé par Dedekind dans la mise en place de sa théorie des idéaux.

Éléments étrangers (ou premiers entre eux) :

Dans un anneau intègre on qualifie d'étrangers deux éléments a et b dont les diviseurs communs sont inversibles.

Théorèmes :      

1. A est factoriel   ssi  tout élément z irréductible divisant divise xy divise x ou y

2. Tout anneau principal intègre est factoriel.

3. Dans un anneau principal intègre A, tout couple (a,b) d'éléments possède un « plus grand diviseur commun » d défini par (a) + (b) = (d) : idéal maximal contenant (a) et (b). Il existe donc u et v dans A, tels que d = au + bc. Si d est inversible, élément unité de A, alors (d) = A : a et b sont étrangers   identité de Bezout

Anneau euclidien :

Il s'agit d'un anneau intègre A dans lequel il existe une division euclidienne comme dans N ou K[x]. Il faut y définir une application f de A dans N compatible avec l'ordre de N (donc calquée sur la division euclidienne usuelle ) :

  • f(0) = 0 : l'image de l'élément nul de A est zéro, élément nul de N

  • f(a) 0 pour tout a de A.

  • Si b divise a, alors f(b) f(a) et pour tout (a,b) dans A2, il existe q et r tels que a = bq + r et f(r) f(b).

On peut démontrer qu'un tel anneau est unitaire et factoriel.


Lorsque K est un corps commutatif, montrer que K[x] est un anneau euclidien en posant f(P) = d°P.

L'anneau des quaternions d'Hurwitz est un anneau euclidien.

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