ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

La loi de probabilité, dite normale ou de Laplace-Gauss                  @ Programme de calcul en ligne | Lois binomiale & normale | Estimation par intervalles de confiance | »  loi de Poisson

Aussi appelée loi de Laplace-Gauss, la loi normale, ainsi dénommée par Pearson, au sens de naturelle, intervient dans l'étude de phénomènes quantitatifs aléatoires continus soumis à de multiples causes (aucune d'entre elles n'étant prépondérante), agissant additivement et indépendamment l'une de l'autre et dont la répartition des valeurs s'étale autour de leur moyenne.

 ➔  Par continu, on entend dont les valeurs peuvent être des nombres réels quelconques. Un phénomène non continu est dit discret : ses valeurs sont nombre fini ou dénombrable, c'est le cas de la loi de Poisson.

La paternité de cette célèbre loi devrait être attribuée à Abraham de Moivre (1730) car, près d'un siècle plus tôt, ce dernier l'avait découverte en tant que loi approchée d'une distribution binomiale de moyenne m, d'écart type σ, lorsque le nombre d'expériences est grand.

Les astronomes Laplace et Gauss la construisirent qu'au tout début du 19è siècle, à la manière de de Moivre, dans le cadre de l'évaluation des erreurs commises sur des mesures d'observations (astronomiques en particulier) et il en sera de même de la célèbre méthode des moindres carrés conduisant à cette loi et également revendiquée tant par Laplace que Gauss et Legendre.

Méthode des moindres carrés : »

On dit souvent loi de Gauss, loi de Laplace-Gauss (appellation due à Fréchet) mais plus rarement loi de Laplace : expression plutôt réservée, au pluriel et comme vu plus haut, aux lois de l'électromagnétisme. On utilisera toujours ici la locution loi normale. Si une variable aléatoire T est soumise à une telle loi, on dira que T suit une loi normale.

Notion de variable aléatoire continue :  »

On note généralement N(m,σ) la loi normale de moyenne m (espérance mathématique) et d'écart-type σ. Elle apparaît comme limite (convergence en loi) de la loi binomiale B(n,p) de même moyenne m = np et donc de même écart-type = np(1 - p). Sa densité est :

>>> zoom >>> 

Rappel :   

• Centrer une variable aléatoire X, c'est faire le changement de variable X' = X - m où m désigne l'espérance mathématique de X; on a alors E(X') = 0.

• Réduire une variable aléatoire X, c'est faire le changement de variable X'= X/σ où σ désigne l'écart-type de X;
  on a alors σ(X') = 1.

• Une variable centrée réduite s'obtient donc par la transformation affine X' = (X - m)/σ.

La densité de la loi normale N(0,1) centrée et réduite (parfois dite normée, m = 0, σ = 1) est alors :

Sa représentation graphique fournit la célèbre courbe en cloche, également dite cloche de Gauss. Sa fonction de répartition, généralement notée π (comme le célèbre nombre) est définie par :

 ➔   Les tables fournissent généralement les probabilités pour 0 ≤ T ≤ 5 par pas de 0,1. à noter que π(4,5) = 0,9999... est déjà sensiblement égal à 1. Les propriétés élémentaires du calcul intégral et du calcul des probabilités permettent d'écrire (les inégalités peuvent être écrites au sens large) :

π(-t) = 1 - π(t)  |  Prob(a < T < b) = π(b) - π(a)  |  Prob(-a < T < a) = 2π(a) - 1

• Votre loi X est de moyenne 12, d'écart-type 3. Vous cherchez la probabilité de l'événement 8 < X < 15. Cela revient à calculer Prob(-4/3 < T < 1) = π(1) - π(-4/3) = π(1) + π(4/3) - 1 ≅ 0,75.

∗∗∗
La demande mensuelle X d'un produit, exprimée en milliers d'unités, a évolué sur l'année écoulée suivant le tableau ci-dessous :

En supposant que X suit une loi normale et que la demande restera sensiblement identique pour l'année en cours, calculer la probabilité pour que la demande mensuelle soit supérieure à 125 milliers d'unités.

Réponse : La moyenne est m = Σx_i /6 = 137. La variance, carré de l'écart-type est Σ(x_i - m)²/6 = Σ(x_i - m)²/6 - m² = 23,9.. ≅ 24. La variable normale centrée réduite de X est donc T = (X - 137)/24, soit X = 24T + 137 et on a :
Prob (X > 125) ⇔ 1 - Prob (X ≤ 125) = 1 - Prob(T ≤ -0.5) = 1 - π(-0.5) = π(0.5) = 0,69

•  la moyenne (espérance mathématique) m = np;
•  la variance (carré de l'écart-type) σ² = npq. Pourquoi cela ?

Les conditions licites varient suivant les spécialistes... Généralement :

• n > 30 ou n > 50 avec npq >10;

• ou bien np >15 et nq > 15.

Tout dépend du phénomène étudié et de la précision voulue. Par des raisons de symétrie de la courbe en cloche, l'approximation en question sera d'autant meilleure que si p et q seront "voisins", donc si p et q sont tous deux "proches" de 0,5. Un exemple d'application est donné dans le paragraphe suivant.

Théorème central limite : »

∗∗∗
Une P.M.E. produit des enveloppes postales dont le poids suit une loi normale N d'espérance mathématique m = 1,950 g et un écart-type de 0,025 g.
Ces enveloppes sont conditionnées par lots de 1000. On prend au hasard un lot.
1°/ A combien peut-on estimer dans ce lot le nombre d'enveloppes dont le poids excède 2 g ?
2°/ Calculer la probabilité qu'au plus 30 enveloppes de ce lot aient un poids supérieur à 2 g.

Réponses : La variable normale centrée réduite de N est T = (N - 1,95)/0,025. Donc N = 0,025T + 1,95.
1°/ Prob (N > 2) ⇔ Prob (0,025T + 1,95 > 2) ⇔  Prob(T > 2) = 1 - π(2) = 0,0228 = 22,8 ^o/oo (en pour mille). Le nombre (entier) cherché est donc 23.
2°/ La situation s'interprète comme un tirage de 30 enveloppes dans une population d'effectif 1000. Il s'agit d'une loi binomiale B(n = 1000, p = 23/1000) que l'on peut approcher par la loi normale de moyenne np = 23, d'écart-type σ = √(npq), q = 1 - p, soit σ = 4,74. Prob (B ≤ 30) = Prob[T ≤ (30 - 23)/4,74] ≅ 0,93.

Calcul des C_n^p par l'ordinateur :  »

p = C₂¹ × (0,5)¹ × (0,5)¹ = 2 × 0,25 = 0,50

• si n = 4 : il nous faut 2 "pile". Il y a déjà là 2⁴ = 16 éventualités. Procédons par ordre... :
      - on peut obtenir 4 "pile" : PPPP, soit 1 cas;
      - on peut obtenir 3 "pile" : PPPF, PPFP, PFPP, FPPP, soit 4 cas;
      - on peut obtenir 2 "pile" : PPFF, PFPF, PFFP, FFPP, FPFP, FPPF, soit 6 cas;
      - on peut obtenir 1 "pile" : cas symétrique de 3 "pile" : FFFP, FFPF, FPFF, PFFF, soit 4 cas
      - on peut obtenir 0 "pile" : FFFF, cas symétrique de 1 "pile", soit 1 cas

Sur ces 16 cas, 6 sont favorables : p = 6/16 = 3/8 = 0,375 : la probabilité diminue car le nombre de cas augmente et chacun veut sa part... En termes de loi binomiale : p = C₄² x (0,5)² x (0,5)² = 6 x 0,625 = 0,375.

• si n = 10, il y a 2¹⁰ = 1024 cas et seulement 252 cas favorables (C₁₀⁵), soit une proba de 1/4 environ.

Combinatoire & calcul des C_n^p :  »

 ➔   Pour éviter des erreurs ou "oublis", on peut aussi procéder en construisant un arbre des éventualités (à gauche) : la distribution des "pile" est conforme à la courbe de Gauss. Si X désigne le nombre de faces obtenues, on a par exemple :

 Prob (X = 1) = Prob (X = 99), Prob (X = 49) = Prob (X = 51), ...

car "pile" et "face" sont complémentaires et équiprobables (en supposant la pièce de monnaie parfaitement équilibrée...).

Et pour clore la discussion, ajoutons que la probabilité p = 0,5 est, selon la loi faible des grands nombres, une valeur fortement probable lorsque n devient très grand de la fréquence des "pile".

Effectivement : jouez à pile ou face 100 fois, vos chances d'obtenir un nombre de "piles" proche de 50 sont fortes. Proche de 50, pas égal à 50... On parle de probabilité, donc de hasard, bien vu ? Sinon revenez ici...
 

Soit X le nombre de "pile" obtenus. X suit une loi binomiale B(100, 1/2). On a vu ci-dessus que son espérance mathématique est 50 et son écart-type 5 : calculons alors la probabilité p d'obtenir entre 45 et 55 "pile". En termes de loi binomiale, cette probabilité s'écrit :

      (si le "entre" est au sens strict, on sommera de 46 à 54).

Le calcul de cette somme n'est pas simple. On obtient 0,632 (sens large) et 0,728 (sens strict). Mais le calcul par sommation est ici encore à éviter : on approxime par la loi normale :

et on lit sur la table de la loi normale centrée réduite :

Ce qui est conforme au calcul exact obtenu par la loi binomiale. Noter que la fourchette 40 < X < 60 est "beaucoup plus" probable, elle fournit p = 0,965.

Équivalent pour n grand de la probabilité d'obtenir n piles et n faces en jouant 2n fois à pile ou face :

Cette probabilité (d'obtenir n fois pile et n fois face) sensiblement égale à . En effet, la valeur exacte est donnée par la loi binomiale :

Mais, selon la formule de Stirling, nous avons :

 

Ce qui fournit :

Ainsi, contrairement à l'opinion commune, plus vous jouez à pile ou face, moins vous avez de chances d'obtenir une probabilité proche de 0,5 pour vos n/2 "pile" : normal, dit la loi normale..., car vous augmentez le nombre d'éventualités, lesquelles ont chacune une petite chance de se réaliser.

Estimation par intervalles de confiance :

Étant donné un échantillon statistique {x₁, x₂, ..., x_n} de taille n d'un caractère X (variable statistique ou aléatoire) étudié au sein d'une population relevant d'une loi binomiale, on cherche à estimer de façon fiable (à une certaine probabilité près mais proche de 1) la loi de probabilités suivie par X, tout particulièrement sa moyenne vraie (espérance mathématique m) et/ou sa fréquence vraie (proportion p) au sein de la population :

Estimation d'une moyenne (espérance mathématique) :   

Les valeurs x₁, x₂, ..., x_n de l'échantillon de taille n accompagnées de leurs fréquences respectives s'interprètent comme des variables aléatoires indépendantes X₁, X₂ , ..., X_n de même loi de probabilité que X. Soit alors m la moyenne vraie de X (espérance mathématique) et σ son écart-type. Posons Y_n = ΣX_i/n, moyenne des X_i. Dans ces conditions, E(Y_n) = m (espérance) et V(Y_n) = σ²/n (variance, carré de l'écart-type). Selon le théorème central-limite, lorsque n devient infini, la variable aléatoire centrée réduite de Y_n, à savoir :

converge en loi vers la loi normale centrée réduite. C'est dire que :

En conséquence, en notant m' la moyenne observée de l'échantillon et σ' son écart-type. Il s'agit là de la probabilité p_n, dit coefficient de confiance, que la moyenne vraie m de la loi de Gauss approchant la loi de l'échantillon appartienne à l'intervalle [m' - tσ'/√n, m' + tσ'/√n]. Dans la pratique, on se donne p_n proche de 1 (par exemple 0,95 ≡ 95%) et on parle de calculer l'intervalle de confiance au risque de 1 - p_n (0,05 ≡ 5%).

Estimation d'une proportion (probabilité, fréquence) :   

On s'intéresse là à un caractère X suivant une loi binomiale B(n,p) dont on ne connaît pas la proportion au sein de la population étudiée. On ne connaît que la fréquence f_n observée X/n d'un échantillon de taille n. On a (» Huygens) :

E(f_n) = E(X)/n = np/n = p, V(f_n) = V(X)/n² = npq/n² = pq/n  (avec q = 1 - p)

On a vu que pour n "suffisamment" grand, la loi centrée réduite de B(n,p) définie par :

peut être assimilée à la loi normale (» loi normale et loi binomiale). Dans notre cas, on peut écrire :

et la variable aléatoire X₁ peut s'interpréter en tant que fréquence centrée réduite. Notons alors p_n la probabilité que X₁ appartienne à l'intervalle [-t,+t]. On a :

      (f1)

La dernière égalité peut aussi s'écrire :

          (f2)

Or, pour n "grand", on a p ≅ f_n et  q = 1 - p = 1 - f_n, (f2) fournit alors l'intervalle de confiance :

assurant au risque de 1 - p_n, l'appartenance de la proportion vraie dans cet intervalle.

 ➔  Par exemple, l'intervalle de confiance au risque de 5%, couramment utilisé, conduit à 2π(t) - 1 = 1 - 5% = 0,95. On a donc π(t) = 0,975. La table de la loi normale centrée réduite (source univ. Bordeaux/univ. René Descartes) indique que t = 1,96 :

N.B. : au risque de 1%, on trouverait t = 2,58.

∗∗∗ 
Sur le site de l'APMEP
Sujet Bac S juin 2014 Métropole Exercice 2 & son corrigé
Sur le site Maths-France de Jean-Louis Rouget :
Maths-France Sujet Bac S avril 2018 Pondichéry Exercice 3 & son corrigé
Sujet Bac S juin 2015 Centres étrangers Exercice 1 & son corrigé
Sur ChronoMath : Sujet BTS services informatiques 1989