ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

La loi de probabilité, dite normale ou de Laplace-Gauss                   programme de calcul        loi de Poisson

Aussi appelée loi de Laplace-Gauss, la loi normale intervient dans l'étude de phénomènes quantitatifs aléatoires continus soumis à de multiples causes (aucune d'entre elles n'étant prépondérante), agissant additivement et indépendamment l'une de l'autre et dont la répartition des valeurs s'étale autour de leur moyenne.

par continu, on entend dont les valeurs peuvent être des nombres réels quelconques. Un phénomène non continu est dit discret : ses valeurs sont entières et dénombrables, c'est le cas de la loi de Poisson.

Notion de variable aléatoire continue :                        Gauss , Laplace

Si X est la variable aléatoire soumise à une telle loi, on recherche la probabilité que X prenne ses valeurs dans un intervalle donné. La densité de la loi normale de moyenne m (espérance mathématique) et d'écart-type est :

La densité de la loi normale centrée et réduite (normée) est alors :

Sa représentation graphique fournit la célèbre courbe en cloche, également dite cloche de Gauss.

  Centrer une variable aléatoire X, c'est faire le changement de variable X' = X - m où m désigne l'espérance mathématique de X; on a alors E(X') = 0. Réduire X, c'est faire le changement de variable X'= X/s où s désigne l'écart-type de X; on a alors s(X') = 1. Une variable centrée réduite s'obtient donc par X' = (X - m)/s

Une loi normale X sera centrée réduite en posant T = (X - m)/s. Les tables fournissent généralement les probabilités pour 0 T 5 par pas de 0,1 (notons que (4,5) = 0,9999... est déjà sensiblement égal à 1).

Sa fonction de répartition, généralement notée (comme le célèbre nombre) est alors définie par :

Noter que la probabilité d'une valeur ponctuelle, Prob(T = t), est ici nulle : on peut tout aussi bien poser, comme dans le cas discret : p(t) = Prob(T t). La zone jaune ci-dessus représente p(0) = 0,5.  La zone verte, pour t > 0, représente l'intégrale de f sur [o,t] . On a donc :

Les propriétés élémentaires du calcul intégral et du calcul des probabilités permettent d'écrire :

      Prob (a < T < b) = (b) - (a)
      Prob (-a < T < a) = 2(a) - 1
      (-t) = 1 - (t)

 Des tables fournissant (t) sont à la disposition des statisticiens. Outre le programme "maison" en ligne ci-dessous, utilisant la méthode de  Poncelet, on pourra se référer au site Statsoft à l'adresse :

• Tables de distribution : http://www.statsoft.com/textbook/sttable.html . Pour la loi de Gauss, il s'agit du signet Z Table.

© Copyright StatSoft, Inc., 1984-2005 - z désigne ici notre t

Calcul de  p(t), -5 < t < 5 :                                   

Sur cet intervalle, le programme assure 4 décimales exactes et affiche l'erreur maximale

  Prendre garde à entrer, par exemple, 2.7 (mode anglo-saxonne) et non pas 2,7 (à la french) !

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La demande mensuelle X d'un produit, exprimée en milliers d'unités, a évolué sur l'année écoulée
suivant le tableau ci-dessous :

En supposant que X suit une loi normale et que la demande restera sensiblement identique pour l'année en cours, calculer la probabilité pour que la demande mensuelle soit supérieure à 125 milliers d'unités.

Réponse : La moyenne est m = Sx_i /6 = 137. La variance, carré de l'écart-type est S(x_i - m)²/6 = S(x_i - m)²/6 - m² = 23,9.. 24. La variable normale centrée réduite de X est donc T = (X - 137)/24, soit X = 24T + 137 et on a :
Prob (X > 125) 1 - Prob (X 125) = 1 - Prob(T -0.5) = 1 - (-0.5) = (0.5) = 0,69

On a représenté à gauche les Prob{B = k} d'une loi binomiale B(6,½). On voit une répartition en cloche rappelant la loi normale : cette dernière apparaît effectivement en tant qu'approximation acceptable d'une loi binomiale lorsque n est "grand" avec p et q = 1 - p "non voisins" de 0.

Les paramètres de la loi normale sont alors la moyenne (espérance mathématique) m = np et la variance (carré de l'écart-type) ² = npq. Pourquoi cela ?

Explication :

Pour une loi binomiale B(n,p), on a : Prob{B = k} = C_n^k x p^kq^n-k et on sait que :

Une application (un peu compliquée...) de la formule de Stirling, permet de se débarrasser des factorielles au profit de l'exponentielle. On aboutit alors, en posant t_k = (k - m)/ (variable centrée réduite) à :

     (pk)

C'est ainsi que Prob{B = k} est sensiblement égal (pour n "grand") à f(t_k) où f désigne la densité gaussienne.

Il est d'usage de préciser les conditions licites d'approximation (suivant les auteurs : n > 30 ou n > 50 avec npq >10 ou bien np >15 et nq > 15, etc.), mais tout dépend du phénomène étudié et de la précision voulue. Par des raisons de symétrie de la courbe en cloche, l'approximation en question sera d'autant meilleure que si p et q seront "voisins", donc si p et q sont tous deux "proches" de 0,5. Un exemple d'application est donné dans le paragraphe suivant.

 Notons que la loi binomiale peut aussi être approchée par une loi de Poisson.

Théorème central limite :

Une P.M.E. produit des enveloppes postales dont le poids suit une loi normale N d'espérance mathématique m = 1,950 g et un écart-type de 0,025 g. Ces enveloppes sont conditionnées par lots de 1000. On prend au hasard un lot.
1°/ A combien peut-on estimer dans ce lot le nombre d'enveloppes dont le poids excède 2 g ?
2°/ Calculer la probabilité qu'au plus 30 enveloppes de ce lot aient un poids supérieur à 2 g.

Réponses : La variable normale centrée réduite de N est T = (N - 1,95)/0,025. Donc N = 0,025T + 1,95.
1°/ Prob (N > 2) Prob (0,025T + 1,95 > 2)   Prob(T > 2) = 1 - (2) = 0,0228 = 22,8 ^o/oo (en pour mille). Le nombre (entier) cherché est donc 23.
2°/ La situation s'interprète comme un tirage de 30 enveloppes dans une population d'effectif 1000. Il s'agit d'une loi binomiale B(n = 1000, p = 23/1000) que l'on peut approcher par la loi normale de moyenne np = 23, d'écart-type σ = (npq), q = 1 - p, soit σ = 4,74. Prob (B ≤ 30) = Prob[T ≤ (30 - 23)/4,74] 0,93.

Loi binomiale et trompeuse intuition... :      

Étudions cet exemple très simple d'utilisation de la loi normale afin d'approcher la loi binomiale :

Si l'on joue n fois (n pair) à pile ou face, par exemple 100 fois,
quelle est la probabilité d'obtenir 50 "pile" ?

La réponse qui vient souvent à l'esprit est "0,5" ou "pas loin de 0,5"... Tout à fait faux : on doit ici appliquer la loi binomiale de paramètre n = 100 et p = 0,5. Si X est le nombre de "pile" obtenus :

             Calcul des C_n^p par l'ordinateur :

On est à 8 chances sur 100, très loin de 50 sur 100 !!!

En l'absence d'ordinateur, calculer C₁₀₀⁵⁰ "à la main" ou 1/2¹⁰⁰ n'est pas trivial et une calculatrice peut également ne pas apprécier... : 50 ! (factorielle 50) est de l'ordre de 310⁶⁴. Mais il est ici légitime d'utiliser une approximation de la loi binomiale par la loi normale ( paragraphe précédent) :  on a m = np = 50. L'écart-type est :

et t_k = (k - m)/ = 0 puisque k = 50. D'où,  par usage de la formule (pk) ci-dessus  :

Prob{X = 50} = 0,7978 0,08

Obtenir exactement 50 "pile" est effectivement "très" improbable sur 100 coups... En effet, vous conviendrez de la proximité des nombres mesurant les probabilités de X = 47 à X = 53 : ces valeurs varient symétriquement et sensiblement entre 0,07 et 0,08 (le maximum est obtenu en X = 50) : or 7 x 0,07 = 0,49. Pas loin de 0,5 : on a, grosso modo, 1 chance sur 2 d'obtenir un résultat entre 47 et 53. Plus n est grand, plus petites sont les chances d'obtenir autant de "pile" que de "face" !

Voyons cela en termes élémentaires :

Notons P l'événement "pile est sorti" et F l'événement contraire "face est sorti", on a :

• si n = 2 : il nous faut 1 "pile". Il y a 2² = 4 éventualités : PP, PF, FF et FP équiprobables; deux sont favorables : PF ou FP; p = 2/4 = 1/2. On a un demi pile !.. En termes de loi binomiale :

p = C₂¹ x (0,5)¹ x (0,5)¹ = 2 x 0,25 = 0,50

• si n = 4 : il nous faut 2 "pile". Il y a déjà là 2⁴ = 16 éventualités. Procédons par ordre... :
      - on peut obtenir 4 "pile" : PPPP, soit 1 cas;
      - on peut obtenir 3 "pile" : PPPF, PPFP, PFPP, FPPP, soit 4 cas;
      - on peut obtenir 2 "pile" : PPFF, PFPF, PFFP, FFPP, FPFP, FPPF, soit 6 cas;
      - on peut obtenir 1 "pile" : cas symétrique de 3 "pile" : FFFP, FFPF, FPFF, PFFF, soit 4 cas
      - on peut obtenir 0 "pile" : FFFF, cas symétrique de 1 "pile", soit 1 cas

Sur ces 16 cas, 6 sont favorables : p = 6/16 = 3/8 = 0,375 : la probabilité diminue car le nombre de cas augmente et chacun veut sa part... En termes de loi binomiale : p = C₄² x (0,5)² x (0,5)² = 6 x 0,625 = 0,375.

• si n = 10, il y a 2¹⁰ = 1024 cas et seulement 252 cas favorables (C₁₀⁵), soit une proba de 1/4 environ.

Combinatoire & calcul des C_n^p :

Pour éviter des erreurs ou "oublis", on peut aussi procéder en construisant un arbre des éventualités (à gauche) :

La distribution des "pile" est conforme à la courbe de Gauss. Si X désigne le nombre de faces obtenues, on a par exemple :

 Prob (X = 1) = Prob (X = 99), Prob (X = 49) = Prob (X = 51), ...

car "pile" et "face" sont complémentaires et équiprobables (en supposant la pièce de monnaie parfaitement équilibrée...).
 

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Calculer Prob(B = k) par la loi binomiale   :            Prob ( x < B < y)

La probabilité p = 0,5 est, selon la loi faible des grands nombres, une valeur fortement probable lorsque n devient très grand de la fréquence des "pile". Effectivement, jouez à pile ou face 100 fois, vos chances d'obtenir un nombre de "piles" proche de 50 sont fortes. Proche de 50, pas égal à 50... Bien vu ?
 

Soit X le nombre de "pile" obtenus. X suit une loi binomiale B(100, 1/2). On a vu ci-dessus que son espérance mathématique est 50 et son écart-type 5 : calculons alors la probabilité p d'obtenir entre 45 et 55 "pile". En termes de loi binomiale, cette probabilité s'écrit :

      (si le "entre" est au sens strict, on sommera de 46 à 54).

Le calcul de cette somme n'est pas simple. On obtient 0,632 (sens large) et 0,728 (sens strict). Mais le calcul par sommation est ici encore à éviter : on approxime par la loi normale :

p = Prob(45 < X < 55) Prob[(45 - m)/s < T < (55 - 50)/s]

et on lit sur la table de la loi normale centrée réduite :

p = Prob(-1 < T < 1) = 2p(1) - 1 0,6828

Ce qui est conforme au calcul exact obtenu par la loi binomiale. Noter que la fourchette 40 < X < 60 est "beaucoup plus" probable, elle fournit p = 0,965.

Cette probabilité (d'obtenir n fois pile et n fois face) sensiblement égale à . En effet, la valeur exacte est donnée par la loi binomiale :

Mais, selon la formule de Stirling, nous avons :

Ce qui fournit :

Ainsi, contrairement à l'opinion commune, plus vous jouez à pile ou face, moins vous avez de chances d'obtenir une probabilité proche de 0,5 pour vos n/2 "pile" : normal, dit la loi normale..., car vous augmentez le nombre d'éventualités, lesquelles ont chacune une petite chance de se réaliser.