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Méthode du pivot selon Gauss      version JavaScript        @ Pas de théorie, je veux utiliser le programme en ligne | @ version VisualBasic pour Microsoft Excel

Un système d'équations linéaires de n équations linéaires et de p inconnues x₁, x₂, ..., x_p est la donnée de n égalités du premier degré liant les inconnues x₁, x₂, ... et x_p. Dans l'enseignement secondaire, on limite généralement la résolution de tels systèmes à trois équations (n = 3) et trois inconnues x, y et z (au collège n = p = 2). On trouvera quelques exemples "concrets" ci-dessous :

Considérons le système n x n de n équations linéaires à n inconnues x₁, x₂,…,x_n :

a_1,1x₁ + a_1,2x₂ + … + a_1,nx_n = b₁
a_2,1x₁ + a_2,2x₂ + … + a_2,nx_n = b₂
…
...
a_n,1x₁ + a_n,2x₂ + … + a_n,nx_n = b_n

où les a_i,j et les b_i sont des réels donnés, i et j variant de 1 à n. Le système peut s'écrire AX = B où A désigne la matrice des a_i,j , X la matrice colonne des x_i et B la matrice colonne des b_i. On suppose que le système est de Cramer : il admet une unique solution. C’est dire que le déterminant de A est non nul.

Cas général, théorème de Rouché :  »               ∗∗∗ un exemple simple

Nous utilisons les notations suivantes :

• Li désigne la i-ème équation (ou ligne) du système
• Si k ≠ 0, kLi désignera l'équation ka_i,1x₁ + ka_i,2x₂ + … ka_i,nx_n = kb_i
• L'écriture Li ==> Li - kLj signifiera que l'équation Li est remplacée par celle obtenue en lui soustrayant l'équation kLj.

La méthode de Gauss consiste à trianguler la matrice A, selon le principe de la réduction du même auteur, afin de ramener le système à la forme :

a_1,1x₁ + a_1,2x₂ + …        + a_1,nx_n = b₁
      a'_2,2x₂ + a'_2,3x₃ + … + a_2,nx_n = b₂
                  a'_3,3x₃  + … + a'_3,nx_n = b₃
                                        ... ... ...
                   a'_n-1,n-1x_n-1 + a'_n,nx_n = b_n-1
                                         a'_n,nx_n = b_n

à la fin du processus, la matrice A est alors devenue triangulaire (supérieure) :

On a fait apparaître des zéros au-dessous des termes diagonaux de i = 2 à i = n - 1. Dans ces conditions, on obtient tout d'abord x_n = b_n/a'_n,n, puis x_n-1, … , x₂, x₁.

Quitte à permuter les lignes, on peut supposer que a_1,1 est non nul. Si cela s'avère impossible, l'inconnue x₁ est arbitraire et le système n'est pas de Cramer. Pour éliminer x₁ en ligne 2, il suffit de retirer a_2,1/a_1,1 x L1 à L2, soit :  L2  ==> L2 - a_2,1/a_1,1x L1.

Le terme constant b₂ subit la même transformation : b₂  ==> b₂ - a_2,1/a_1,1x b₁. D'une façon générale, pour éliminer x₁ dans les lignes 2 à n, donc faire apparaître des zéros au-dessous de a_1,1, on procède à la transformation :

Li  ==> Li - a_i,1/a_1,1x L1   et   b_i  ==> b_i - a_i,1/a_1,1x b₁

La matrice du système est désormais de la forme :

On cherche maintenant à éliminer x₂ dans les lignes 3 à n : cela revient à réitérer le procédé sur la matrice A' privée de ses premières ligne et colonne :

extraite de A et sur le membre de droite (matrice colonne des constantes) privé de b₁. On procède à la transformation Li  ==> Li - a'_i,2/a'_2,2 x L2 , i variant de 3 à n.

Si a'_2,2 s'était avéré nul, on aurait permuté les lignes jusqu'à trouver un a'_k,2 non nul. Si cela n'est pas possible, alors x₂ est arbitraire : le système ne serait pas de Cramer.

 ➔  Le procédé se poursuit pour éliminer x_k dans les lignes k, pour k < n. Les éléments diagonaux servant de diviseur sont appelés pivots. Remarquer que lors de l'élimination de x_k, les lignes de rang inférieur ne sont pas modifiées.

On parle parfois de la méthode du pivot maximum : elle consiste, quitte à permuter les lignes de la matrice, à prendre comme pivot, à chaque étape, celui qui est le plus grand en valeur absolue afin de limiter les erreurs d'arrondi inévitables dues à un diviseur trop faible (pertes de chiffres significatifs).

On a entré successivement : 2,3,-1,-6, puis 3,-1,2,11  et  7,4,-10,-8, c'est à dire le système :

2x₁ + 3x₂ - x₃ = -6
3x₁ - x₂ + 2x₃ = 11          L'ordinateur donne la solution 2, -3, 1
7x₁ + 4x₂ - 10x₃ = -8

2x₁ + 3x₂ - x₃ = -6
3x₁ - 2x₂ - 8x₃ = 4
7x₁ + 4x₂ - 10x₃ = -8

l'ordinateur dit être désolé.... En effet : L2 = L3 - 2L1.

∗∗∗
Résolution d'un système 4 x 4 par triangulation