ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

RIBAUCOUR Albert, français, 1845-1893

Polytechnicien, ingénieur des Ponts & chaussées, il occupa plusieurs postes dont celui d'ingénieur de la Marine à Rochefort. Il enseigna la géométrie en tant que répétiteur à l'École polytechnique de 1873 à 1878. Réintégrant les Travaux publics, on lui doit principalement la construction du bassin de Saint-Christophe dans le cadre de l'aménagement des canaux de la Durance. Ribaucour quittera la France pour l'Algérie et s'installera à Philippeville (aujourd'hui Skikda, sur la côte orientale).

En mathématiques, son attention se porta principalement sur l'étude des surfaces, branche dans laquelle il publia de nombreux résultats originaux (dès 1868) sur leurs courbures (périmorphie) en France et en Belgique.

Trièdre de Darboux-Ribaucour, courbure des surfaces :
Courbes de Ribaucour :

Dans ses Recherches sur les surfaces à courbure moyenne constante, Ribaucour recherche les courbes planes pour laquelle en tout point, le rayon de courbure est proportionnel à la sous-normale.

sous-normale : segment de la normale compris entre le point de la courbe et l'axe des abscisses; ci-contre, il s'agit du segment MN. On définirait de même la sous-tangente.

Ces courbes furent étudiées auparavant par Bernoulli et Leibniz.

Un exemple simple :  sur le graphique ci-dessous, on a tracé le cercle osculateur en un point M à la chaînette (en rose) d'équation :

x 2cosh(x/2)

Le point C est le centre de ce cercle (en noir). Le rayon de courbure R est CM. La droite (CM) est perpendiculaire à la tangente en M et la sous-normale est alors MN. Nous avons tout simplement ici R = MN.

Cas général : d'une façon générale, le rayon de courbure est R = (1 + y'2)3/2/y" et la normale en M(x,y) a pour équation

Y - y = (-1/y')(X - x)

Le point N est obtenu lorsque X = 0. On en déduit MN = | y | (1 + y'2)1/2, conduisant à une équation différentielle de la forme :

1 + y'2 = k.yy"   (e)

Exemple du cercle :       

Ramené à l'origine, on a x2 + y2 = r2, d'où 2x + 2yy' = 0, puis en dérivant une seconde fois : 2 + 2yy" + 2y'2 = 0. Ainsi :

1 + y'2 = -yy"

Un cercle est donc une courbe de Ribaucour pour laquelle k = -1.

La résolution de l'équation différentielle (e) n'est pas toujours facile. comme x n'apparaît pas, on peut poser p = y' = dy/dx. Ainsi :

Ce qui nous conduit, en remplaçant dans (e), à :

On est ramené à une équation différentielle du 1er ordre à variables séparables.

Un cas simple apparaît avec k = 2 :

Vu que 1 + y'2 = 2yy", le produit yy" doit rester positif. Recherchons alors une fonction x y = f(x) convexe et positive. En intégrant, on obtient y = C(1 + p2) = C(1 + y'2), où C désigne une constante arbitraire. Dérivons par rapport à x : dy/dx = 2Cy'y". Donc :

p = 2Cp.dp/dx

C'est dire que y" = dp/dx est constante. On est alors amené à écrire y = ax2 + bx + c que l'on identifie dans (e). On obtient une famille de paraboles :

 

Ci-dessus : la parabole y = x2 + x + 0,5 en choisissant a = b = 1. On a CM = 2MN


Dini  Mittag-Leffler
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