ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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BOMBELLI Raffaele, italien, 1526-1572

Ingénieur à Bologne où il fut attaché aux travaux d'assainissement des marais de Toscane, on le connaît surtout en tant qu'algébriste pour avoir repris, du vivant de Cardan, les travaux de ce dernier en utilisant une symbolique plus adéquate proche de celle de Chuquet et un raisonnement plus rigoureux.

Bombelli y ajoutait la résolution de certains problèmes de Diophante. Son traité Algebra, parte maggiore dell' aritmetica, divisa in tre libri, apparu dès 1550, fut publié en italien l'année de sa mort.

Sa résolution de l'équation du 3e degré, où il utilisa dans les calculs, à titre transitoire, des racines carrées imaginaires de nombres négatifs, avec l'usage de la "racine carrée" de -1 dans la résolution de l'équation du 3ème degré ( ci-dessous), a été le point de départ de la construction des nombres complexes. L'équation du 4ème degré sera traitée, en partie, par Ferrari.

Équation du 3è degré selon Bombelli, premier usage de nombres "imaginaires" :

Un usage transitoire des nombres imaginaires... imaginé par Bombelli :

Le cas de l'équation x3 = 15x + 4 présenté par Bombelli dans son Algebra est fort intéressant : selon la célèbre formule de Cardan relative à l'équation x3 = px + q, il cherche à donner un sens à l'expression :

issue de :

ce que se refusa à faire Cardan dans un tel cas. Il sait que 4 = 2 + 2 est solution de son équation. Or, x est la somme de deux racines cubiques dont les termes, en langage moderne sont conjugués : 2 + (-121) et 2 - (-121).

Partant de (ab) = (a)(b), Bombelli les écrit 2 ± 11 et exprime l'idée que ces racines cubiques sont de la même forme conjuguée. Devant obtenir 4, il suggère que 2 ± 11 doit s'écrire 2 ± a. Il n'y a plus qu'à élever au cube avec = -1 et on doit avoir :

(2 + a)3 = 8 - 6a2 + (12a - a3)  = 2 + 11

On voit nécessairement que 8 - 6a2 = 2, donc  6a= 6, soit a = ±1. Il nous faut 12a - a3 = 11, par conséquent a = 1 et (2 + )3 = 2 + 11. Finalement :

x = (2 + 11) + (2 + 11) = 4

les nombres imaginaires se sont évanouis (comme on disait à l'époque).

Pour en savoir plus :

Les notations de Bombelli dans son traité d'algèbre :

Les textes des algébristes italiens (comme la plupart des textes mathématiques européens de l'époque) sont écrits en latin, une expression comme

2x3 - 5x2 = 6x + 3

s'écrivait :

2C m. 5Q aequatur 6R p. 3

C désigne le cube de l'inconnue, Q est son carré (quadratus en latin), aequatur signifie s'égalent (du latin aequare), R désigne l'inconnue (la chose : res en latin), m. et p. (ou m et p surmontés d'un tilda : ~) signifient moins et plus (minus et plus en latin, meno et più en italien). Afin d'écrire 5x3, Bombelli utilisa ce que Chuquet nota 53 (notation puissance d'aujourd'hui). La notation fractionnaire usuelle est utilisée.

Bombelli, qui travailla beaucoup avec les radicaux, se servit également du R pour désigner les racines. Des calculs complexes avec radicaux virent apparaître des crochets afin de regrouper les termes :

 

car dans cette équation, R.q. désigne la racine carrée (quadratique, Cardan utilisa r.quad.). L'écriture R.c. désignait la racine cubique et RR.q. la racine quatrième.


Algebra de Bombelli (1572),Source : Florian Cajori

On peut lire :

24 - 20x = 4x2 - 16x + 16

  Al Qalasadi         La mise en place du système décimal :             Voir aussi :

Un usage des fractions continues :

On doit à Bombelli (1572) le développement en fraction continue de la racine carrée de 2 :

On savait depuis Pythagore et Aristote que ce nombre n'était pas rationnel : il ne peut pas s'écrire en tant que fraction élémentaire (quotient de deux nombres entiers).

Pour obtenir ce développement, remarquer que 2 est solution de l'équation :

et remplacer indéfiniment x par le second membre de cette égalité.


Ferrari  Recorde
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