ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Matrices & changement de base
   
diagonalisation , triangulation

Cette page suppose connues les notions d'application linéaire, de matrice d'application linéaire , de déterminant , de valeur propre et de vecteur propre :

 Applications linéaires & matrices , notions sur les déterminants , valeurs propres

Soit E un espace vectoriel de dimension n sur le corps K = R ou C (nombres réels ou complexes). On note B = (e1, e2, ..., en) et B' = (e'1, e'2, ..., e'n) deux bases de E.

Il s'agit, connaissant les coordonnées x1, x2, ..., xn d'un vecteur u relativement à B, d'exprimer ses coordonnées x'1, x'2, ..., x'n relativement à B' et inversement. Chaque vecteur e'j s'exprime de façon unique dans la base B sous la forme :

On a alors :

 

On identifie cette dernière égalité à :

Ce qui fournit, selon la multiplication d'une matrice par un vecteur colonne :

La matrice :

est appelée matrice de passage de B à B'.

 Cette appellation est regrettable car elle devrait exprimer le contraire puisqu'on exprime ci-dessus les anciennes coordonnées en fonction des nouvelles : on obtient les anciennes coordonnées xi de u dans la base B en fonction des nouvelles coordonnées x'i dans la base B'. La matrice P est inversible puisque ses colonnes représentent les vecteurs de la base B' écrits dans la base B. Avec la notation matricielle, on a donc :

u/B = Pu/B' et (en multipliant par P-1) :  u/B' = P-1u/B

Calcul pratique d'une matrice inverse :

Lorsque dim E = 2; si B = (i,j) et B' = (u,v) avec u = i + 3j et v = -2i + j, on a :

Pour un vecteur X = x.i + y.j = x'.u + y'.v, on aura :

 

soit, d'une part : x = x' - 2y' , y = 3x' + y' , d'autre part : x' = (x + 2y)/7 , y' = (-3x + y)/7


Matrices semblables :

Si f est un endomorphisme d'un espace vectoriel E de dimension n sur le corps K = R ou C, notons M/B sa matrice relativement à B = (e1, e2, ..., en) et si X/B = (x1, x2, ..., xn), posons Y = f(X). En passant à la base B' = (e'1, e'2, ..., e'n), on peut écrire sous forme matricielle, en notant P la matrice de passage :

X/B = PX/B' , Y/B = PY/B' , Y = M/B X

Par suite :

PYB' = (M/B x P)X/B'

et en multipliant par P-1 :

YB' = (P-1 x M/B x P)X/B'

Ce qui montre que la matrice de f, relativement à B', est :

M/B' = P-1 x M/B x P

On dit que les matrices M/B' et M/B sont semblables. D'une façon générale, deux matrices M et N sont dites semblables s'il existe une matrice inversible P telle que N = P-1 x M x P.


Vérifier que la relation "est semblable à" est une
relation d'équivalence dans l'ensemble n des matrices carrées d'ordre n.

Noter que lorsque P est orthogonale, le calcul de P-1 s'en trouve grandement facilité : dans ces condition P-1 = tP (transposée de P).

Trace d'une matrice et d'un endomorphisme :    

On appelle ainsi la somme des éléments diagonaux d'une matrice et on note Tr(A) = Σaii la trace de la matrice A = (aij). La trace jouit de remarquables propriétés algébriques.

  1. C'est une forme linéaire : Tr(A + B) = Tr(A) + Tr(B) et Tr(αA) = αTr(A).

  2. La trace est invariante par transposition : Tr(tA) = Tr(A).
    En particulier si A est orthogonale, Tr(A
    -1) = Tr(A).

  3. Tr(AB) = Tr(A)Tr(B).

  4. Deux matrices semblables ont même trace : Tr(P-1 x A x P) = Tr(A x P-1 x P) = Tr(Ax I) = Tr(A).

Preuve du point 3 : notons pij = Σk(aikbkj), Σk désignant une somme par rapport à k, et qij = Σk(bikakj) les termes généraux des matrices AB et BA. Tr(AB) = Σipii = Σikaikbki). Mais on peut intervertir l'ordre de sommation Σpii = Σkiaikbki) = Σkibkiaik) =  Σkqkk = Tr(BA).

Le résultat 4 permet de définir la trace d'un endomorphisme φ de E : c'est la trace de la matrice de φ dans une base quelconque de E (indépendance par rapport à la base utilisée). On a alors en particulier :

  1. Tr(φ1 + φ2) = Tr(φ1) + Tr(φ2) et Tr(αφ) = αTr(φ1).

  2. Tr(φ1 o φ2) = Tr(φ2 o φ1) = Tr(φ1) x Tr(φ2)

Matrice diagonale :

Théorème : 

Lorsque E est de dimension finie n, si f est un endomorphisme admettant n valeurs propres distinctes de vecteurs propres associés v1, v2, ..., vn , alors ceux-ci constituent une base de E et relativement à cette base (v1, v2, ..., vn) la matrice de f prend la forme diagonale :

On dit que la matrice de f a été réduite à la forme diagonale ou, plus simplement, diagonalisée.

Remarques :    

det (P-1MP) = det P-1 x det M x det P = det P-1 x det P x det M = det M car det P-1 = 1/det P

Mais qu'en est-il lorsque f possède des valeurs propres multiples ? la diagonalisation est possible dans certains cas.
En particulier si une base de vecteurs propres est orthogonale :

Théorème :     

Toute matrice symétrique (c'est à dire lorsque aij = aji) est diagonalisable au moyen d'une matrice de passage orthogonale.

   Exercice 2 sur cette page , Étude d'une matrice de Markov           Jacobi

Matrice triangulaire (ou matrice trigonale) :

Si une matrice n'est pas diagonalisable, on peut chercher à obtenir une matrice triangulaire,  c'est à dire une matrice de la forme :

ce qui est toujours possible lorsque K = C. On parle de matrice triangulable (ou trigonalisable) et de triangulation. La matrice ci-dessus est, plus précisément triangulaire supérieure, car les éléments éventuellement non nuls sont situés au-dessus des éléments diagonaux δ1, δ2, ..., δn. Dans le cas contraire, on parle de matrice triangulaire inférieure.

Réduite de Gauss :

 Indépendamment de tout endomorphisme, on peut manipuler une matrice en tant qu'opérateur sur des vecteurs colonnes, Par exemple, si on écrit, relativement à une base B = (i,j) :

c'est pour signifier que M x i = 2i + j et nous écrivons que M x j = i - j ou encore :

               matrice colonne

Théorème de Jordan :    

Lorsque K = C, toute matrice carrée peut se mettre, au moyen d'un changement de base approprié, sous la forme :

où les blocs Δ1, Δ2, ... Δn sont des matrices carrées dont les termes δi,i de la diagonale principale sont égaux, les autres termes étant nuls à l'exception de δi,i+1 = 1 (terme situé "à droite" d'un terme diagonal).

                         

 Si K = R, cette forme peut être obtenue pour une matrice n x n par recherche de ses valeurs propres si celle-ci admet n valeurs propres éventuellement multiples :

   __   __

1. E est de dimension 2 sur R; B = (i,j) est une base de E; f est l'endomorphisme dont la matrice relativement à B est :

       (matrice de changement de base)

 

2. On considère la matrice :

Ses colonnes s'identifient à la matrice d'un endomorphisme f d'un espace vectoriel réel E de dimension 3, relativement à une base B = (i, j, k)

et vérifier ce résultat en appliquant la formule de changement de base M' = P-1MP où P est la matrice de passage de B à B' en calculant au préalable la matrice inverse P-1.

 on voit donc, sur cet exemple, qu'une matrice dont les valeurs propres sont multiples peut être diagonalisée.

  Un autre exemple                Réduction d'une forme quadratique :


3. E est de dimension 3 sur R; B = (i,j,k) est une base de E; relativement à B une matrice M s'écrit :

 

  Exemple emprunté à G. Lefort dans son livre d'exercices (1964) illustrant avec brio le cours de MM. Pisot & Zamansky.

        Rép : w(1/3, 1/3, 0) relativement à B.
 système différentiel linéaire : d'ordre 2 , d'ordre 3 (valeurs propres complexes)


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