ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Matrices & changement de base
   
diagonalisation , triangulation , exercices

Cette page suppose connues les notions d'application linéaire, de matrice d'application linéaire, de déterminant, de valeur propre et de vecteur propre :

  Applications linéaires & matrices , notions sur les déterminants , valeurs propres

La résolution de systèmes d'équations linéaires algébriques ou différentiels, l'étude de suites récurrentes et d'une façon générale tout sujet d'étude se résumant à une équation du type AX = B, peut être grandement facilité si l'on peut exprimer le problème dans une base (changement de coordonnées) où la matrice A du système considéré prend une expression simplifiée : le plus possible de zéros.

Soit E un espace vectoriel de dimension n sur le corps K = R ou C (nombres réels ou complexes). On note B = (e1, e2, ..., en) et B' = (e'1, e'2, ..., e'n) deux bases de E.

Il s'agit, connaissant les coordonnées x1, x2, ..., xn d'un vecteur u relativement à B, d'exprimer ses coordonnées x'1, x'2, ..., x'n relativement à B' et inversement. Chaque vecteur e'j s'exprime de façon unique dans la base B sous la forme :

On a alors :

 

On identifie cette dernière égalité à :

Ce qui fournit, selon la multiplication d'une matrice par un vecteur colonne :

La matrice :

est appelée matrice de passage de B à B'.

 Cette appellation est regrettable car elle devrait exprimer le contraire puisqu'on exprime ci-dessus les anciennes coordonnées en fonction des nouvelles : on obtient les anciennes coordonnées xi de u dans la base B en fonction des nouvelles coordonnées x'i dans la base B'. La matrice P est inversible puisque ses colonnes représentent les vecteurs de la base B' écrits dans la base B. Avec la notation matricielle, on a donc :

u/B = Pu/B' et (en multipliant par P-1) :  u/B' = P-1u/B

Calcul pratique d'une matrice inverse :

Lorsque dim E = 2; si B = (i,j) et B' = (u,v) avec u = i + 3j et v = -2i + j, on a :

Pour un vecteur X = x.i + y.j = x'.u + y'.v, on aura :

 

soit, d'une part : x = x' - 2y' , y = 3x' + y' , d'autre part : x' = (x + 2y)/7 , y' = (-3x + y)/7


Matrices semblables :

Si f est un endomorphisme d'un espace vectoriel E de dimension n sur le corps K = R ou C, notons M/B sa matrice relativement à B = (e1, e2, ..., en) et si X/B = (x1, x2, ..., xn), posons Y = f(X). En passant à la base B' = (e'1, e'2, ..., e'n), on peut écrire sous forme matricielle, en notant P la matrice de passage :

X/B = PX/B' , Y/B = PY/B' , Y = M/B X

Par suite :

PYB' = (M/B x P)X/B'

et en multipliant par P-1 :

YB' = (P-1 x M/B x P)X/B'

Ce qui montre que la matrice de f, relativement à B', est :

M/B' = P-1 x M/B x P

On dit que les matrices M/B' et M/B sont semblables. D'une façon générale, deux matrices M et N sont dites semblables s'il existe une matrice inversible P telle que N = P-1 x M x P.


Vérifier que la relation "est semblable à" est une
relation d'équivalence dans l'ensemble n des matrices carrées d'ordre n.

Noter que lorsque P est orthogonale, le calcul de P-1 s'en trouve grandement facilité : dans ces condition P-1 = tP (transposée de P).

Trace d'une matrice et d'un endomorphisme :    

On appelle ainsi la somme des éléments diagonaux d'une matrice et on note Tr(A) = Σaii la trace de la matrice A = (aij). La trace jouit de remarquables propriétés algébriques.

  1. C'est une forme linéaire : Tr(A + B) = Tr(A) + Tr(B) et Tr(αA) = αTr(A).

  2. La trace est invariante par transposition : Tr(tA) = Tr(A).
    En particulier si A est orthogonale, Tr(A
    -1) = Tr(A).

  3. Tr(AB) = Tr(A)Tr(B).

  4. Deux matrices semblables ont même trace : Tr(P-1 x A x P) = Tr(A x P-1 x P) = Tr(Ax I) = Tr(A).

Preuve du point 3 : notons pij = Σk(aikbkj), Σk désignant une somme par rapport à k, et qij = Σk(bikakj) les termes généraux des matrices AB et BA. Tr(AB) = Σipii = Σikaikbki). Mais on peut intervertir l'ordre de sommation Σpii = Σkiaikbki) = Σkibkiaik) =  Σkqkk = Tr(BA).

Le résultat 4 permet de définir la trace d'un endomorphisme φ de E : c'est la trace de la matrice de φ dans une base quelconque de E (indépendance par rapport à la base utilisée). On a alors en particulier :

  1. Tr(φ1 + φ2) = Tr(φ1) + Tr(φ2) et Tr(αφ) = αTr(φ1).

  2. Tr(φ1 o φ2) = Tr(φ2 o φ1) = Tr(φ1) x Tr(φ2)

Matrice diagonale :

On dit qu'une matrice A = (aij) est diagonale pour exprimer que les seuls éléments non nuls de A sont ceux de même rang en ligne et en colonne, à savoir les aii (pour tout i j, aij = 0). Si, par un changement de base, une matrice s'avère diagonale, on dit qu'elle a été diagonalisée.

Théorème : 

Lorsque E est de dimension finie n, si f est un endomorphisme admettant n valeurs propres distinctes de vecteurs propres associés v1, v2, ..., vn , alors ceux-ci constituent une base de E et relativement à cette base (v1, v2, ..., vn) la matrice de f prend la forme diagonale :

Remarques :    

det (P-1MP) = det P-1 x det M x det P = det P-1 x det P x det M = det M car det P-1 = 1/det P

Mais qu'en est-il lorsque f possède des valeurs propres multiples ? la diagonalisation est possible dans certains cas.
En particulier si une base de vecteurs propres est orthogonale :

Théorème :     

Toute matrice symétrique (c'est à dire lorsque aij = aji) est diagonalisable au moyen d'une matrice de passage orthogonale.

   Exercice 2 sur cette page , Étude d'une matrice de Markov           Jacobi

Matrice triangulaire (ou matrice trigonale) :

Si une matrice n'est pas diagonalisable, on peut chercher à obtenir une matrice triangulaire,  c'est à dire une matrice de la forme :

ce qui est toujours possible lorsque K = C. On parle de matrice triangulable (ou trigonalisable) et de triangulation. La matrice ci-dessus est, plus précisément triangulaire supérieure, car les éléments éventuellement non nuls sont situés au-dessus des éléments diagonaux δ1, δ2, ..., δn. Dans le cas contraire, on parle de matrice triangulaire inférieure.

Réduite de Gauss :

 Indépendamment de tout endomorphisme, on peut manipuler une matrice en tant qu'opérateur sur des vecteurs colonnes, Par exemple, si on écrit, relativement à une base B = (i,j) :

c'est pour signifier que M x i = 2i + j et nous écrivons que M x j = i - j ou encore :

               matrice colonne

Théorème de Jordan :    

Lorsque K = C, toute matrice carrée peut se mettre, au moyen d'un changement de base approprié, sous la forme :

où les blocs Δ1, Δ2, ... Δn sont des matrices carrées dont les termes δi,i de la diagonale principale sont égaux, les autres termes étant nuls à l'exception de δi,i+1 = 1 (blocs de Jordan). Si K = R, cette forme peut être obtenue pour une matrice n x n par recherche de ses valeurs propres si celle-ci admet n valeurs propres éventuellement multiples.

 

On parle de diagonalisation par blocs ou, parfois, de jordanisation d'une matrice, fort utile dans la résolution d'équations différentielles linéaires ainsi que dans celle de systèmes de suites récurrentes linéaires.

Pour plus de théorie, on pourra consulter le lien proposé en fin de page consacrée à Jordan                       



Systèmes différentiels linéaires :
d'ordre 2 (valeurs propres réelles) , d'ordre 3 (valeurs propres complexes)


1. E est de dimension 2 sur R; B = (i,j) est une base de E; f est l'endomorphisme dont la matrice relativement à B est :

       (matrice de changement de base)

2. On considère la matrice :

Ses colonnes s'identifient à la matrice d'un endomorphisme f d'un espace vectoriel réel E de dimension 3, relativement à une base B = (i, j, k)

et vérifier ce résultat en appliquant la formule de changement de base M' = P-1MP où P est la matrice de passage de B à B' en calculant au préalable la matrice inverse P-1.

 on voit donc, sur cet exemple, qu'une matrice dont les valeurs propres sont multiples peut être diagonalisée.

Réduction d'une forme quadratique :


3. E est de dimension 3 sur R; B = (i,j,k) est une base de E; relativement à B une matrice M s'écrit :

 

  Exemple emprunté à G. Lefort dans son livre d'exercices (1964) illustrant avec brio le cours de MM. Pisot & Zamansky.

        Rép. : w(1/3, 1/3, 0) relativement à B.

4. On se propose de trianguler la matrice M ci-dessous écrite dans une B = (i,j,k) de E .

i/ Que devient M relativement à la base B' = (k,j,i) ?

ii/ Dans quelle base simple M est-elle triangulaire ?

iii/ Mais pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué. Calculer les valeurs propres de la matrice.
Rép. : det(A - λI) = -(λ3 - 3λ - 2); λ1 = -1 (double) et λ2 = 2.

4i/ Montrer que l'on peut choisir u = -i + j - k, v = i + 2j + 4k, w = j comme base de E où u et v sont des vecteurs propres etr que Si P est la matrice de passage relative à cette base, on a :

  On voit là que la réduction d'une matrice à la forme triangulaire n'est pas unique. Elle dépend de la base choisie. Lorsqu'il est possible de jouer sur les échanges de linges (ce qui revient à échanger la place de deux vecteurs de base), il ne faut pas hésiter...



Un autre exemple
 


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