ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
 POISSON Siméon
Denis,
français, 1781- 1840
loi de Poisson |
Brillant
polytechnicien, élève de
Fourier
et de Laplace,
astronome et physicien. Il occupa de nombreux et importants postes
d'enseignement : professeur à l'Ecole Polytechnique,
professeur de mécanique à la faculté des
sciences de Paris, directeur de l'enseignement mathématique
des collèges de France. Élevé à la dignité de pair de France par
Louis-Philippe (1837), Poisson fut
nommé doyen de la faculté des sciences quelques mois
avant sa mort.
On le connaît bien sûr pour sa célèbre loi de probabilités portant son nom (Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile, 1837), mais ses travaux portent cependant principalement en électricité, magnétisme, mécanique céleste, mouvements vibratoires (théorie de la chaleur, théorie des ondes).
En introduisant de nombreux concepts mathématiques liés aux équations de Laplace (théorie du potentiel électrostatique, équations aux dérivées partielles), Poisson apparaît, à la suite de Daniel Bernoulli et Fourier comme le bâtisseur de la physique mathématique moderne (étude, au moyen de la seule analyse mathématique, du comportement d'un phénomène, en tant que conséquence des lois -attribuées par l'expérience- qui le régissent).
C'est à la demande de Poisson et de Fourier, dès 1834, qu'une chaire de Calcul
des probabilités et de physique mathématique sera créée à la faculté des
sciences de Paris (1850). Cette mise en place tardive s'explique par le manque
de considération de ces branches nouvelles reposant, pour certains esprits, sur
un manque de rigueur.
Kolmogorov
Membre éminent de l'Académie des Sciences, section de physique générale (élu en 1812), Poisson rejettera cependant et curieusement les travaux du jeune Galois en 1831.
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Potentiel et laplacien : |
Suite aux travaux de Laplace en électrostatique, c'est avec Poisson que la théorie mathématique du potentiel prend véritablement sa place avec le français Poisson (Sur la distribution de l'électricité à la surface des corps conducteurs, 1811). On le considère aujourd'hui comme le fondateur de la physique mathématique.
Dans un champ de forces de composantes X, Y, Z (dans un système de coordonnées) agissant dans un domaine D, le potentiel en un point est donné par l'intégrale :
D (Xdx
+ Ydy + Zdy)Selon DSB (Dictionary of Scientifc Biography), Green apparaît être le premier à avoir ainsi appelé cette intégrale U en 1828.
L'ensemble des points du champ d'égal potentiel est une surface (surface équipotentielle). L'électricité (potentiel électrostatique), la mécanique céleste (potentiel gravitationnel), la thermodynamique (équation de la chaleur), l'équation dite des télégraphistes (propagation du potentiel dans un câble en tant que signal électromagnétique), relèvent d'équations aux dérivées partielles ardues, attachées à l'équation de Laplace :
auxquelles se confronteront tout particulièrement Gauss et Dirichlet et plus proche de nous Chazy et Poincaré avec le problème des n corps.
| La loi de Poisson : |
Ce n'est que très tardivement (trois ans avant sa mort) que Poisson se tourne vers le calcul des probabilités (Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile, 1837) et énonce sa célèbre loi, limite d'une loi binomiale à espérance mathématique constante.
Cette implication des mathématiques et du hasard dans la société fut à l'époque l'objet de houleux débats philosophiques.
Une variable aléatoire discrète X à valeurs entières suit une loi de Poisson de paramètre l lorsque :
Cette loi intervient dans des processus aléatoires dont les éventualités sont faiblement probables et survenant indépendamment les unes des autres : cas des phénomènes accidentels, d'anomalies diverses, des problèmes d'encombrement ("files d'attente"), des ruptures de stocks, etc.
Étude la loi de Poisson, tables (programme JavaScript)
: Loi binomiale & loi de Poisson :
Loi exponentielle (durée sans vieillissement) :
Loi binomiale et loi de Poisson
, files d'attente , accidents du travail , en raison d'encombrement
| La loi des grands nombres selon Poisson : |
Dans son traité de 1837 Sur la probabilité des jugements, Poisson exhibe (page 137 et suivantes) une variante de la loi des grands nombres de Jakob Bernoulli. C'est d'ailleurs lui qui qualifia ainsi le célèbre résultat du génial mathématicien suisse :
= Page 7 du traité de 1837 =
Soit Xn une suite de variables aléatoires indépendantes à valeurs dans {0,1} de lois de probabilités Prob{Xn = 1} = πn et donc Prob{Xn = 0} = 1 - πn. Dans le cas de variables de Bernoulli, πn ne dépend pas de n : il existe p, 0 < p < 1, tel que πn = p pour tout n. Soit alors pn la moyenne arithmétique de 1 à n des πk : pn = (π1 + π2 + ... +πn)/n. Dans ces conditions, Poisson montra que la loi faible des grands nombres de Bernoulli se prolonge à :
Comme le précise Paul Deheuvels
(université Paris VI, spécialiste en statistique et calcul des
probabilités, réf. 3,), contrairement à ce
que l'on pourrait s'attendre, les distributions de probabilité distinctes
n'affectent en rien la validité de la loi des grands nombres. Tout au contraire,
Wassily Hoeffding, statisticien américain (1914-1991) prouva en 1956 que, pour
ε = 
et pn
= (π1 + π2
+ ... +πn)/n fixé,
les événements {ΣXi - pn
} et {ΣXi -
pn
-
} ont une
probabilité maximale lorsque les πi sont
égaux. Par suite, l'événement contraire {|
ΣXi -
pn
|
} a, pour ces valeurs, une probabilité
minimale !
Lois fortes des grands nombres :
Pour
en savoir plus :
Problèmes d'enseignement. Applications pratiques des lois
de probabilité
Cours d'analyse et de mathématiques sociales de l'EHESS sur le site Numdam :
http://archive.numdam.org/ARCHIVE/MSH/MSH_1969__25_/MSH_1969__25__35_0...pdf
Bessel
