ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
 Polygones réguliers
selon Gauss
 Polygones
: généralités |
L'étude des
polygones réguliers convexes (angles
et côtés de même mesure) est né
de la volonté des mathématiciens grecs de l'Antiquité d'améliorer
la précision du calcul de la circonférence sur lesquels se pencheront
tout particulièrement Archimède
et, bien plus tard au 15è siècle :
Nicolas de
Cusa dans le
calcul du célèbre nombre p, rapport de la circonférence à son diamètre.
La possibilité de construire ces polygones
aux seuls moyens de la règle et du compas (construction
au sens d'Euclide) n'est pas assurée.
Gauss énonça qu'un polygone régulier de n côtés est constructible si, condition suffisante , n est un nombre premier de Fermat, de la forme
22^p + 1 (^ signifiant ici exposant)
Gauss affinera sa condition sous une forme plus générale qui sera entièrement démontrée par Wantzel en 1837.
Les cas n = 3 (triangle équilatéral), n = 4 (carré), n = 6 (hexagone régulier), n = 8 (octogone régulier), n = 12 (dodécagone régulier) sont évidents.
Un
carré se construira aisément en traçant un
cercle, un diamètre et sa médiatrice. Le diamètre est alors une diagonale du
carré.
Construire à la règle et au compas (au
sens d'Euclide) un carré dont on a tracé un des côtés.
L'hexagone régulier est bien connu des élèves dès l'école primaire par reports du rayon et pour l'obtention de rosaces :
Construire à la règle et au compas (au
sens d'Euclide) un hexagone régulier
dont on a tracé
un des côtés.
Gauss construisit (1796) le polygone régulier à 17 côtés et prouva la non constructibilité de l'ennéagone régulier (9 côtés).
En vertu du
théorème de
Gauss-Wantzel, il en est de même, en particulier, de n =
7 (heptagone) et n = 11 (hendécagone
ou undécagone) : non constructibles à la
règle et au compas.
Une
rondelle de tomate, approche d'un pentagone régulier inscrit dans un cercle...
Par contre, le cas n = 5 (pentagone) est constructible puisque 5 peut s'écrire 22 + 1 mais la construction n'est pas simple !
Théorème de Gauss-Wantzel :
Construction des pentagone & décagone
réguliers :
Euclide
réussit à construire le pentadécagone
régulier (n =15; les angles au centre font 24° = 360°/15.
Or 24 = 2
72 - 120 et 72 et 120 sont respectivement les angles au centre du triangle équilatéral
et du pentagone régulier. D'où la construction...
On parle aussi
de polygone (régulier) étoilé. Par exemple,
à partir du décagone régulier convexe, en joignant un sommet sur 3, on
obtient le décagone étoilé :
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Pentagramme :
Périmètre du cercle : Pavages :
Dans un polygone régulier, on appelle
apothème la distance
(commune) du centre à l'un des côtés.
Soit p le périmètre du polygone, et a son apothème. Montrer que son aire est S =
½ap.
Pour
en savoir plus (constructions diverses et célèbres) :
Theorie des corps,
la règle et le compas
par Jean-Claude Carrega.
Éd.
Hermann - Paris, 1989
