ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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Polygones réguliers       Polygones : généralités | polyèdres réguliers

L'étude des polygones réguliers convexes (angles et côtés de même mesure) est née de la volonté des mathématiciens grecs de l'Antiquité d'améliorer la précision du calcul de la circonférence sur lesquels se pencheront tout particulièrement Archimède et, bien plus tard au 15è siècle : Nicolas de Cusa dans le calcul du célèbre nombre π, rapport de la circonférence à son diamètre.

La possibilité de construire ces polygones aux seuls moyens de la règle et du compas (construction au sens d'Euclide) n'est pas assurée.

Gauss énonça qu'un polygone régulier de n côtés est constructible si, condition suffisante , n est un nombre premier de Fermat, de la forme :

22^p + 1 (^ signifiant ici exposant)

Gauss affinera sa condition sous une forme plus générale qui sera entièrement démontrée par Wantzel en 1837. Les cas n = 3 (triangle équilatéral), n = 4 (carré), n = 6 (hexagone régulier), n = 8 (octogone régulier), n = 12 (dodécagone régulier) sont évidents.

  Un carré se construira aisément en traçant un cercle et deux diamètres perpendiculaires. Ces diamètres sont alors les diagonales du carré :


Construire à la règle et au compas (au sens d'Euclide) un carré dont on a tracé un des côtés.

L'hexagone régulier est bien connu des élèves dès l'école primaire par reports du rayon et pour l'obtention de rosaces  :


Sauriez-vous construire sur une feuille blanche, à la règle et au compas (
au sens d'Euclide), un hexagone régulier
dont on a déjà  tracé un des côtés ?

Gauss construisit (1796) le polygone régulier à 17 côtés et prouva la non constructibilité de l'ennéagone régulier (9 côtés).

En vertu du théorème de Gauss-Wantzel, il en est de même, en particulier, de n = 7 (heptagone) et n = 11 (hendécagone ou undécagone) : non constructibles à la règle et au compas.

Construction approchée de l'ennéagone par Al-Biruni :

Par contre, le cas n = 5 (pentagone) est constructible puisque 5 = 22 + 1 mais la construction n'est pas simple !

  Une rondelle de tomate est une approche d'un pentagone régulier inscrit dans un cercle...

Construction des pentagone & décagone réguliers :

Euclide réussit à construire le pentadécagone régulier (n =15); les angles au centre font 24° = 360°/15. Or 24 = 2 72 - 120 et 72 et 120 sont respectivement les angles au centre du triangle équilatéral et du pentagone régulier. D'où la construction...

On parle aussi de polygone (régulier) étoilé. Par exemple, à partir du décagone régulier convexe, en joignant un sommet sur 3, on obtient le décagone étoilé :

    

  Coxeter


Sublime.. No more comment...

Pentagramme :  Périmètre du cercle :  Pavages :


Dans un polygone régulier, on appelle apothème la distance (commune) du centre à l'un des côtés ( aire du cercle).
Soit p le périmètre du polygone, et a son apothème. Montrer que son aire est S = ½ap.
 


Kiosque octogonal - Parc du château de Fontainebleau

  Pour en savoir plus (constructions diverses et célèbres) :


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